2022年高考二轮小专题圆锥曲线题型归纳 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳基础知识 ：1直线与圆的方程；2椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；3椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a、b、c、e、p、渐近线。基本方法：1 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；2 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公

2、式一个共五个等式；5 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1 “常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2 “是否存在”问题当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法 ，才能使计算具有可行性 ，关键是积累“转化”的经验；6大多数问题只要忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，

3、即可自然而然产生思路。一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题7.【2015 高考重庆，理10】设双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点为1，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过 B,C 分别作 AC，AB 的垂线交于点D.若 D 到直线 BC 的距离小于22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、( 1,0)(0,1)UB、(, 1)(1,)UC、(2,0)(0,2)UD、(,2)(2,)U【答案】 A【考点定位】双曲线的性质. 【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于, ,a b c的不等式，根据已知条件和双曲线中精选

4、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页学习好资料欢迎下载, ,a b c的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a b的不等关系，解不等式可得所求范围解题中要注意椭圆与双曲线中, ,a b c关系的不同10.【 2015 高考浙江， 理 5】如图， 设抛物线24yx的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A. 11BFAFB. 2211BFAFC. 11BFAFD. 2211BFAF【答案】 A. 【考点定位】抛物线的标准方程及其

5、性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习. 12.【2015 高考北京，理10】已知双曲线22210 xyaa的一条渐近线为30 xy，则 a【答案】33【解析】双曲线22210 xyaa的渐近线方程为1yxa，303xyyx，0aQ,则133,3aa【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用

6、已给渐近线方程求参数 . 【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页学习好资料欢迎下载准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“ 0” ，利用已知渐近线方程，求出参数a的值 . 11.【2015 高考新课标2，理 11】已知 A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在 E 上， ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120 ，则 E 的离心率为（）A5B2C3D2【答案】 D 【解析】 设双曲线方

7、程为22221(0,0)xyabab，如图所示，ABBM，0120ABM，过点M作MNx轴，垂足为N，在Rt BMN中，BNa，3MNa，故点M的坐标为(2 ,3 )Maa，代入双曲线方程得2222abac，即222ca，所以2e，故选 D【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题18.【2015 高考新课标2，理 20】 （本题满分12 分）已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M()

8、证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由【答案】 ()详见解析；（）能，47或47精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【解析】 ()设直线:lykxb (0,0)kb，11(,)A x y，22(,)B xy，(,)MMM xy将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbxbm，故12229Mxxkbxk，2(3)23(9)mk kk解得147k，247k因为0,

9、3iikk，1i，2，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系【名师点睛】 ( )题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线l的斜率；设直线l的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点， 并寻找两条直线斜率关系；（） 根据 ()中结论， 设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用2PMxx以及直线l过点(,)3mm列方程求k的值23,【2015 高考安徽，理20】设椭圆 E 的方程为222210 xyabab，点

10、O 为坐标原点，点A 的坐标为0a，点 B 的坐标为0 b，点 M 在线段 AB 上，满足2BMMA，直线 OM 的斜率为510. （ I）求 E 的离心率 e；（ II）设点 C 的坐标为0b，N 为线段 AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E的方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【答案】（I）255； （II ）221459xy. 【考点定位】 1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用. 【名师点睛】椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要

11、载体，不管对其如何进行改编与设计，抓住基础知识、考基本技能是不变的话题.解析几何主要研究两类问题：一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质.曲线方程的确定可分为两类：若已知曲线类型，则采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、相关点法等求解.本题是第一种类型，要利用给定28.【2015 高考陕西，理20】 （本小题满分12 分）已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（I）32； （II

12、）221123xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【解析】试题分析：（I）先写过点,0c，0,b的直线方程， 再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II ）先由（ I）知椭圆的方程，设的方程，联立2222144yk xxyb，消去y，可得12xx和12x x的值，进而可得k，再利用10可得2b的值，进而可得椭圆的方程试题解析：（I）过点,0c，0,b的直线方程为0bxcybc+-=，学优高考网则原点到直线的距离22bcbcdabc，由12dc=，得2222abac=-，解得离心率32

13、ca=. (II) 解法一：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=. (1) 依题意，圆心2,1是线段的中点，且|AB |10=. 易知，不与x轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x=+，代入 (1)得2222(1 4)8 (21)4(21)40kxkkxkb+-=设1122(,y ),B(,y ),A xx则221212228 (21)4(21)4,.1 41 4kkkbxxx xkk+-+=-= -+由124xx+= -，得28 (21)4,1 4kkk+-= -+解得12k =. 从而21282x xb=-. 于是22212121215|AB |1|410(2)22xxxxx xb

14、. 由| AB |10=，得210(2)10b -=，解得23b =. 故椭圆的方程为221123xy+=. 解法二：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=. (2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页学习好资料欢迎下载考点： 1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程； 6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置. 【名师点晴】本题主要考查的是直线方程、点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质、椭圆的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置

15、，属于难题解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易失分 解本题需要掌握的知识点是截距式方程，点到直线的距离公式和椭圆的离心率，即截距式方程1xyab（在x轴上的截距a，在y轴上的截距b） ，点000,x y到直线:0lxyC的距离0022xyCd，椭圆22221xyab（0ab）的离心率cea25.【2015 高考重庆，理21】如题（ 21）图，椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为12,F F过2F的直线交椭圆于,P Q两点，且1PQPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页学习好资料欢迎下载F2

16、F1PQyxO（1）若1222,22PFPF，求椭圆的标准方程（2）若1,PFPQ求椭圆的离心率. e【答案】（1）22+y =14x； （2）63【解析】试题解析： （ 1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数a的值，而由1PQPF，应用勾股定理可得焦距，即c的值，因此方程易得； （2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于, ,a b c的一 个 等 式 ， 题 中 涉 及 到 焦 点 距 离 ， 因 此 我 们 仍 然 应 用 椭 圆 定 义 ， 设1PFm， 则22PFam，22(2)22QFPQPFmamma，于是有12242QFaQFam， 这样在1Rt

17、 PQF中求得2(22)ma，在12Rt PF F中可建立关于,a c的等式，从而求得离心率. (1)由椭圆的定义，() ()122|PF |PF |22224aa=+=+-= ，故 =2.学优高考网设椭圆的半焦距为c，由已知12PFPF，因此() ()222212122|FF |PF |PF |22222 3c =+=+-=，即3c=.从而22b1ac=-=故所求椭圆的标准方程为22+y =14x. (2)解法一：如图 (21)图，设点P00(,y )x在椭圆上，且12PFPF，则22222000022y+=1,xxycab+=求得22200=2,y.cbxabac精选学习资料 - - -

18、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页学习好资料欢迎下载由12|PF |=| |PF |PQ ,得00 x,从而22222222222221| PF | =2+c2222.cbababaabaabac由椭圆的定义，1212|PF |PF | 2 ,|QF |QF | 2aa+=+=,从而由122|PF |=|PQ|= |PF |+|QF |， 有11|QF | 42|PF |a=-又由12PFPF，1|PF |=|PQ|知11|QF |2 |PF |=，因此()12+ 2 |PF |=4a于是()()222224 .aaba+-=解得21411

19、63222e. 【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力【名师点晴】 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值注意在椭圆中c2a2b2，在双曲线中c2a2b2. 圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用；求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于a， b，c 的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中a，b， c 的关系，求出所求的椭圆、双曲线中a，c 之间的比例关系，根据离心率定义求解如果是求解离心率的范围，则需要建立关于a，c 的不等式【2015 高考湖南，理13】设F是双曲线C：22221xyab

20、的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为. 【答案】5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【考点定位】双曲线的标准方程及其性质. 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222bac，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来. 【2015 高考上海，理9】已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的

21、2倍，和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C若1C的渐近线方程为3yx，则2C的渐近线方程为【答案】32yx【考点定位】双曲线渐近线【名师点睛】 (1)已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分bma或amb讨论 (2)与双曲线22221xyab共渐近线的可设为2222(0)xyab；(3)若渐近线方程为byxa，则可设为2222(0)xyab；(4)相关点法求动点轨迹方程16.【 2015 高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线22122:10,0 xyCabab的渐近线与抛物线22:20Cxpy p交于点,O A B，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为. 【答案】32【解析】

22、设OA所在的直线方程为byxa,则OB所在的直线方程为byxa, 解方程组22byxaxpy得：2222pbxapbya，所以点A的坐标为2222,pbpbaa, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页学习好资料欢迎下载抛物线的焦点F的坐标为 :0,2p.因为F是ABC的垂心，所以1OBAFkk, 所以，2222252124pbpbbapbaaa. 所以，2222293142cbeeaa. 【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质. 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几

23、何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键. 点评： 常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。二、 “是否存在”问题29.【2015 高考新课标1，理 20】在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线ykxa(a0)交与 M,N 两点，（）当k=0 时，分别求C 在点 M 和 N 处的切线方程；（） y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由 . 【答案】（）0axya或0axya（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N 的坐标，再利用导数

24、求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线C 的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN 的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN 的斜率为0,即可求出,a b关系，从而找出适合条件的P 点坐标 . 试题解析：（）由题设可得(2, )Ma a，( 22,)Na，或( 22,)Ma，(2, )Na a. 12yx，故24xy在x=2 2a处的到数值为a，C 在(22 , )a a处的切线方程为学优高考网(2)yaa xa，即0axya. 故24xy在x=-2 2a处的到数值为-a，C 在( 2 2 , )a a处

25、的切线方程为(2)yaa xa，即0axya. 故所求切线方程为0axya或0axya. 5 分（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点，11(,)M x y，22(,)N xy，直线 PM，PN 的斜率分别为12,k k. 将ykxa代入 C 得方程整理得2440 xkxa. 12124 ,4xxk x xa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页学习好资料欢迎下载121212ybybkkxx=1212122()()kx xabxxx x=()k aba. 当ba时，有12kk=0，则直线

26、PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故 OPM= OPN，所以(0,)Pa符合题意 . 12分【考点定位】抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力【名师点睛】 对直线与圆锥曲线的位置关系问题，常用设而不求思想，即设出直线方程代入圆锥曲线方程化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将交点的横坐标之和与积一元二次方程的系数表示出来，然后根据题中的条件和所求结论，选择合适的方法进行计算，注意题中条件的合理转化，如本题中， 将角 OPM =OPN相同转化为直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，进而转化为直线PM 的斜率与直线PN 的斜率之和为0，再将其坐

27、标化，即可列出方程，解析几何题思路固定，字母运算复杂，需要细心和耐心. 30.【2015 高考北京， 理 19】已知椭圆C：222210 xyabab的离心率为22，点01P，和点A mn，0m都在椭圆C上，直线 PA 交 x轴于点 M （）求椭圆C的方程，并求点M 的坐标（用m ， n表示）；（）设O为原点，点B 与点 A 关于 x 轴对称，直线PB 交 x 轴于点N问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQMONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由【答案】 (1)2212xy,(,0)1mMn,(2)存在点Q （0，2 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

28、 - - - - - - -第 12 页，共 30 页学习好资料欢迎下载考点： 1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题 . 【名师点睛】本题考查直线和椭圆的有关知识及解存在性命题的方法，本题属于中偏难问题，思维量和运算量均有，利用待定系数法求出椭圆方程，利用直线方程的斜截式写出直线方程，求出点M 、N的坐标，利用直角三角形内锐角三角函数正切定义求出tan、 tanOQMONQ，根据二者相等，解出Q点坐标，说明存在点符合条件的点Q. 三、过定点、定值问题26.【2015 高考四川，理20】如图，椭圆E：2222+1(0)xyabab的离心率是22，过点P（ 0,1）的动直

29、线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆 E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆 E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【答案】（1）22142xy； （2）存在， Q 点的坐标为(0,2)Q. 【解析】（1）由已知，点(2,1)在椭圆 E 上. 因此，22222211,2,2ababcca解得2,2ab. 所以椭圆的方程为2

30、2142xy.学优高考网（2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D 两点 . 如果存在定点Q 满足条件，则|1|QCPCQDPD，即| |QCQD. 所以 Q 点在 y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y. 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N 两点 . 则(0,2),(0,2)MN，由|QMPMQNPN，有00|2 |21|2 |21yy，解得01y或02y. 所以，若存在不同于点P 的定点 Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q. 下面证明：对任意的直线l，均有|QAPAQBPB. 当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l的斜率存在时，可设

31、直线l的方程为1ykx，A、B 的坐标分别为1122(,),(,)x yxy. 联立221,421xyykx得22(21)420kxkx. 其判别式22168(21)0kk，所以，12122242,2121kxxx xkk. 因此121212112xxkxxx x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页学习好资料欢迎下载易知，点B 关于 y 轴对称的点的坐标为22(,)Bxy. 【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归

32、与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 【名师点睛】高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系解答.本题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作B 的对称点将问题转化 . 【2015 高考湖南， 理 20】已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:1(0)yxCabab的一个焦点，1C与2C的公共弦的长为2 6. （1）求2C的方程；（2）过点F的直线l与1C相交于A，B两点，与2C相交于C

33、，D两点，且ACuuu r与BDuuu r同向（）若| |ACBD，求直线l的斜率（）设1C在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形【答案】（1）22198yx； （2） （i）64， （ii）详见解析 . 【解析】试题分析：（1）根据已知条件可求得2C的焦点坐标为)1 ,0(，再利用公共弦长为62即可求解；（2） （i）设直线l的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页学习好资料欢迎下载斜率为k，则l的方程为1kxy，由214ykxxy得216640 xkx，根据条件可知ACuu

34、u vBDuuu v，从而可以建立关于k的方程，即可求解； （ii ）根据条件可说明FAuu u r2211111024xxFMyuu uu r，因此AFM是锐角，从而180MFDAFMo是钝角，即可得证试题解析：（1）由1C：24xy知其焦点F的坐标为(0,1)，F也是椭圆2C的一焦点，221ab，又1C与2C的公共弦的长为2 6，1C与2C都关于y轴对称，且1C的方程为24xy，由此易知1C与2C的公共点的坐标为3(6,)2，229614ab，联立，得29a，28b，故2C的方程为22198xy； （2）如图，11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C xy，44(,)D xy

35、，（ i ）ACu uu v与BDuuu v同向，且|BDAC，ACuuu vBDuu u v，从而31xx42xx，即12xx34xx，于是2124xx12x x2344xx34x x，设直线l的斜率为k，则l的方程为1kxy，由214ykxxy得216640 xkx， 而1x，2x是 这 个 方 程 的 两 根 ， 124xxk，124x x ， 由221189ykxxy得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【考点定位】 1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要

36、考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此类问题的关键： （1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，222cba等； （2）当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量. 【2015 高考上海，理21】已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于、和C、D，记得到的平行四边形CD的面积为S. （1）设11,x y，22C,xy，用、C的坐标表示点C到直

37、线1l的距离，并证明11212Sx yx y；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页学习好资料欢迎下载（2）设1l与2l的斜率之积为12，求面积S的值 . 【答案】（1）详见解析（2）2S【解析】证明： （1）直线1:l110y xx y，点C到1l的距离12122211y xx ydxy. 221122 xy，所以C122112222SSdx yx y. 解： （2）设1:lykx，则2:l12yxk. 设11,x y，22C,xy. 由2221ykxxy，得212112xk. 同理2222212211122kxk

38、k. 由1，22121221211222212212221221kkxxkSx yx yxkxx xkkkkk，整理得2S. 【考点定位】直线与椭圆位置关系【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单三角形面积公式的选用也是解题关键.点评： 证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参

39、数的特殊值探求定点，然后给出证明。四最值问题17.【2015 江苏高考， 12】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线122yx右支上的一个动点。若点P到直线01yx的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为. 【答案】22【解析】设( , ),(1)P x yx，因为直线10 xy平行于渐近线0 xy，所以点P到直线01yx的距离恒大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页学习好资料欢迎下载于直线10 xy与渐近线0 xy之间距离，因此c 的最大值为直线10 xy与渐近线0 xy之间距离，为12.22【考点定位】双曲

40、线渐近线，恒成立转化【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口. 与渐近线有关的结论或方法还有：(1) 与双曲线22221xyab共渐近线的可设为2222(0)xyab；(2) 若渐近线方程为byxa，则可设为2222(0)xyab；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4) 22221(0.0)xyabab的一条渐近线的斜率为22221bcaeaa. 可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 22.【2015 高考山东，理20】平面直角坐

41、标系xoy中，已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F，以1F为圆心以3 为半径的圆与以2F为圆心以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C上. ()求椭圆C的方程；（）设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于,A B两点，射线PO交椭圆E于点Q. ( i ) 求OQOP的值；（ii ）求ABQ面积的最大值. 【答案】（I）2214xy； （ II）( i )2 ； （ii）6 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页学习好资料欢迎

42、下载试题解析：（I）由题意知24a，则2a,又2223,2cacba可得1b, 所以椭圆C 的标准方程为2214xy. （II ）由（ I）知椭圆E 的方程为221164xy, （i）设00,P xy，OQOP，由题意知00,Qxy因为220014xy, 又22001164xy，即22200144xy,所以2，即2OQOP. （ii ）设1122,A x yB xy将ykxm代入椭圆E 的方程，可得2221484160kxkmxm由0，可得224 16mk则有21212228416,1414kmmxxx xkk所以221224 16414kmxxk因为直线ykxm与轴交点的坐标为0,m精选学习

43、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页学习好资料欢迎下载所以OAB的面积222222 1641214kmmSmxxk222222222 (164)24141414kmmmmkkk令221 4mtk,将ykxm代入椭圆 C 的方程可得222148440kxkmxm由0，可得2214mk由可知01t因此22424St ttt,故2 3S当且仅当1t，即2214mk时取得最大值2 3由（ i）知，ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6 3. 【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的

44、最值问题.【名师点睛】本题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质以及直线与椭圆的位置关系，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键. 27.【2015 高考湖北，理21】一种作图工具如图1 所示 O 是滑槽 AB 的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽 AB 滑动，且1DNON，3MN当栓子D在滑槽 AB 内作往复运动时， 带动N绕 O 转动一周 （D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C以 O 为原点， AB

45、 所在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系（）求曲线C 的方程；（）设动直线l 与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,P Q 两点若直线l 总与曲线 C 有且只有一个公共点，试探究：OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由BADOMN【答案】（）221164xy； （）存在最小值8. xDOMNy第 21 题图 1 第 21 题图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【解析】（）设点( , 0) (| |2)D tt，00(,),( , )N

46、xyM x y ，依题意，学优高考网2MDDNuuuu ruuur，且 | | 1DNONuuuru uu r，所以00(,)2(,)txyxty，且22002200()1,1.xtyxy即0022 ,2.txxtyy且0(2)0.t tx由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t不恒等于0，于是02tx ，故00,42xyxy，代入22001xy，可得221164xy，即所求的曲线C 的方程为221.164xy（）（1）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 为4x或4x，都有14482OPQS. （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线1:()2lykxmk，由22,416,ykxmxy消去 y，

47、可得222(14)84160kxkmxm. 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k mkm，即22164mk. 又由,20,ykxmxy可得2(,)1212mmPkk；同理可得2(,)1212mmQkk. 由原点 O 到直线 PQ 的距离为2|1mdk和2|1|PQPQkxx，可得第 21 题解答图xDOMNyPQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页学习好资料欢迎下载考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值. 【名师点睛】本题以滑槽，长短杆为背

48、景，乍一看与我们往年考的很不一样，但是只要学生仔细读题均能找到椭圆的a,b,c. 那么第一问就迎刃而解了，第二问仍然为圆锥曲线的综合问题。直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确21.【2015 高考浙江，理19】已知椭圆2212xy上两个不同的点A，B关于直线12ymx对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）

49、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页学习好资料欢迎下载【答案】（1）63m或63m； （2）22. 试题分析：（1）可设直线AB 的方程为1yxbm，从而可知22121xyyxbm有两个不同的解，再由AB中点也在直线上，即可得到关于m的不等式，从而求解； （2）令1tm，可将AOB表示为t的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解. 试题解析：（1）由题意知0m，可设直线AB 的方程为1yxbm，由22121xyyxbm，学优高考网消去y，得222112()102bxxbmm，直线1yxbm与椭

50、圆2212xy有两个不同的交点，224220bm，将AB 中点2222(,)22mbm bMmm代入直线方程12ymx解得2222mbm，。由得63m或63m； （2）令166(,0)(0,)22tmU，则42223222|112ttABtt，且 O 到直线 AB 的距离为22121tdt，设AOB的面积为( )S t，221112( )|2()22222S tAB dt，当且仅当212t时，等号成立，故AOB面积的最大值为22. 【考点定位】1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值 . 【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系等知识点，在直线与椭圆相交背景下求三