2022年知识要点-对数及对数函数 .pdf

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1、第 2 讲对数及对数函数知识梳理对数的概念如果 ab=N a0，a1 ，那么 b 叫做以 a为底 N 的对数，记作logaN=b ab=NlogaN=ba0，a1，N 0. 二、对数的运算性质logaMN =logaM+logaN. logaNM=logaM logaN. logaMn=nlogaM. M0，N0，a0，a1三、对数换底公式：logbN=bNaalogloga0，a1，b0， b1，N0 . 四、对数函数的图像及性质函数 y=logaxa 0，a1 叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下Oxyy=l ogx aOxyaay=l ogxa11110()对数函数的性质：定义域：0

2、， + ；值域： R；过点 1， 0 ，即当 x=1 时， y=0. 当 a1 时，在 0，+上是增函数；当0a1 时，在 0，+上是减函数。五、对数函数与指数函数的关系对数函数logayx与指数函数xya互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称 .。重、难点突破重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。重难点： 1对数函数性质的拓展同底数的两个对数值)(logxfa与)1, 0)(logaaxga的大小比较假设0)(,0)(, 1xgxfa，则0)()()(log)(logxgxfxgxfaa假设0)(, 0)(, 10 xgxfa，则)(

3、)(0)(log)(logxgxfxgxfaa同真数的对数值大小关系如图对应关系为1xyalog， 2xyblog，3xyclog， 4xydlog精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页则作直线1y得badc10即图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大2常见对数方程或对数不等式的解法1形如) 1, 0)(log)(logaaxgxfaa转为)()(xgxf，但要注意验根对于)(log)(logxgxfaa，则当1a时，得)()(0)(xgxfxg；当10a时，得)()(0)(xgxfxf2形如0)(logxFa或)0)

4、(log(0)(logxFxFaa的方程或不等式，一般用换元法求解。3形如cxgxf)(log)(的方程化为)()(xgxfc求解，对于cxgxf)(log)(的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决热点考点题型探析考点 1 对数式的运算例 1湛江市09 届高三统考已知lg 2,lg3,ab用,a b表示12log45解题思路 应设法对数换底公式将12log45换成以常用对数， 并且设法将12 与 45 转化为 2、3 来表示解析 12log45452lg3lg521lg122lg 2lg32lgbaab名师指引 对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运

5、算可能要综合其他知识交汇命题新题导练 1 高州中学09 届月考51log41log45的结果是解析 1；14lg)5lg(5lg)4lg(4lg51lg5lg41lg51log41log452 中山市09 届月考假设3log 41x，求44xx的值解析 310；431log 3log 4x144log 3log 31104444333xx3 广东吴川市09 届月考如果33loglog4mn，那么nm的最小值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页A4；B34；C9； D 18 解析 18；由33loglog4mn得4)(

6、log3mn，所以8134mn，又由题知0,0 nm从而，182 mnnm，当且仅当9nm时取“ =”考点 2 对数函数的图像及性质题型 1：由函数图象确定参数的值例 2 函数 ylog2ax1 a0的图象的对称轴方程是x 2，那么 a等于 ( ) A.21;B.21;C.2; D.2 解题思路 由于函数图象的对称轴方程是x 2,所以可以利用特殊值法求解解析 如利用 f0=f 4 ，可得 0=log2|4a1|.|4a+1|=1. 4a+1=1 或 4a+1=1.a0， a=21. 故选 B 名师指引 函数图象的对称性是常考知识点，高考要求要掌握几种基本的对称。题型 2：求复合函数值域及单调区

7、间例 3 已知 fx =log313(x1)2 ，求 f x的值域及单调区间. 解题思路 通过研究函数fx的单调性解析 真数 3(x1)23， log313(x1)2 log313=1，即 fx的值域是1， + . 又 3(x 1)20，得 13x1+3，x 13，1时， 3(x1)2 单调递增，从而f x单调递减；x 1，1+3时， 3(x1)2 单调递减， fx单调递增 . 名师指引 对数函数与二次函数的复合函数的最值值域与单调性是常考知识点，解决的方法就是充分利用组成复合函数的各个基本函数的单调性以及复合函数的单调性法则。新题导练 4 东皖高级中学09 届月考假设函数(0,1)xfxaa

8、a是定义域为R 的增函数，则函数log1afxx的图象大致是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页解析 D；由函数(0,1)xfxaaa是定义域为R 的增函数知10a，所以函数xyalog在), 0(上的减函数，将xyalog的图象向左平移一个单位即得log1afxx的图象，故应选D 5 09 年山东济宁设,m nR，函数lognymx的图象如图2，则有A0,01mn；B0,1mnC0,01mn；D0,1mn解析 A；由图知，10n，并且由图象知lognymx的图象是由xynlog的图象向下平移得到的，故0m考点 3 指

9、数、对数函数的综合应用题型 1：利用对数函数的复合函数的单调性求值域例 4 已知 x 满足26xaa24xxaa( 0,1 )aa, 函数 y2121loglog()aaaxa x的值域为0,81, 求 a 的值解题思路 欲求 a的值就设法寻找a 的等式，但是这里没有等式，我们应该利用函数的单调性，求出其值域，依据已知条件寻求关于a 的不等式组解析 由26xaa24xxaa24( 0,1 )()()0 xxaaaaaa4,2x由 y2121loglog()aaaxa x2131(log)228ayx,0,81y21131(log)02log18228aaxx, ,4x2 当1a时, 为loga

10、x单调增函数 , log 22a且log 41a,此时 a的值不存在 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页 当01a时, 为logax单调减函数 ,log 21a，1log 422aa. 名师指引 对数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它的图像与性质并能进行一定的综合运用. 题型 2：指数函数与对数函数的反函数关系例 5设函数 fx是函数gx=x)21(的反函数，则f4x2的单调递增区间为A. 0，+ ；B.，

11、 0 ；C.0，2 ；D. 2，0解题思路 先根据对数函数logayx与指数函数xya互为反函数写出函数fx的表达式，然后再研究复合函数的单调性求其单调递增区间解析 显然xxf21log)(，从而得)4(log)4(2212xxf，其定义域为)2, 2(.)0 ,2(x时，24x单调递增；)2 ,0 x时，24x名师指引 对数函数logayx与指数函数xya是一对特殊的基本初等函数，它们互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称，高考中时有涉及新题导练 5 执信中学09 届月考已知0.11.32log 0.3,2,0.2abc，则, ,a b c的大小关系是AabcBcabCacbDbca解析

12、 C；由于01log3 .0log22a，12201.0b，) 1 ,0(2.03. 1c，所以应选择 C 6.四会中学09 年月考假设13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，则Aabc；Bcab；Cbac；Dbc3，1Mx或x3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页223 4xxfx=2)2(324xx, t2x令1Mx或x3，2t08t或f(x)=34)32t (3t3t4222t08t或由二次函数性质可知：344,-f(x)2t0时，当；,-160-f(x)8t时，当当34)x(f ,logx,32t2322时即

13、：x综上可知：当,logx322时f(x)取到最大值为43，无最小值。抢分频道基础稳固训练：1 1_50lg2lg5lg2； 2)223(log)12(_ 解析 11； 22；110lg2lg5lg2lg)2lg5(lg5lg2lg)5lg2lg5(lg)5lg1(2lg5lg50lg2lg5lg2222)12(log)12(log)223(log2)12(2)12()12(2已知)0()32(232aa，则a32log= 解析 3；由9432a得323223)32()32()94(a，所以3log32a3(2007 全国 )函数( )yf x的图像与函数3log(0)yxx的图像关于直线yx

14、对称，则( )f x_。解析 ( )f x)(3Rxx；由题意知，xf是函数3log(0)yxx的反函数，故( )f x)(3Rxx4 广州市09 届高三年级第一学期中段考假设偶函数xfRx满足xfxf2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页且1 ,0 x时, xxf则方程xxf3log的根的个数是( ) A. 2 个； B. 4 个； C. 3 个； D. 多于 4 个解析 A；由xfxf2知xf是周期为2 的函数， 又1 , 0 x时, xxf由xf是偶函数和周期性，在同一坐标系中作出xfy和xy3log的图象，可知

15、它们的图象有两个交点，故方程xxf3log的零点个数是2 5设151121)31(log)31(logx，则 x 属于区间A 2， 1 ； B 1，2 ； C 3， 2 ； D 2，3解析 D；因为)5121(log51log21log)31(log)31(log313131151121x10log101log331，而327log10log9log2333，所以 x 属于 2，3综合提高训练：6 潮州金山中学09 届高三检测假设点( , )A x y在第一象限且在236xy上移动，则3322loglogxyA最大值为1；B最小值为1；C最大值为2；D没有最大、小值解析 A；依题意知0,0 y

16、x，因为236xy，所以123log6log9log6log2)32(log6log)3)(2(log6)3)(2(log)(logloglog23232323223232323232323yxyxyxxyyx当且仅当1,23yx时取到“ =” ，故应选 A 7 湛江市09 届统测给出四个函数图象分别满足：()( )( );f xyf xf y()( )( )g xyg xg y()( )( )u x yu xu y()( )( ).v x yv xv y与以下函数图象对应的是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页abc

17、dAadcbB. bcadC. cabdD. dabc解析 D；显然满足()( )( );f xyf xf y的函数应是kxy这种类型，故图象应是d；满足()( )( )g xyg xg y应该是指数函数，故图象应是a；满足()( )( )u x yu xu y的应是对数函数， 故图象应是b； 满足()( )( ).v x yv xv y的应是幂函数nxy，就此题而言，其图象应是c8 深圳翠园、宝安中学09 届联考以下表中的对数值有且仅有一个是错误的：x3 5 8 9 15 xlgba2caca333ba2413cba请将错误的一个改正为lg解析 lg15=3a-b+c ；如果ba23lg，则

18、baba24)2(23lg29lg可见，ba23lg是错误的，那么ba249lg也是错误的，这与题意矛盾；反过来，ba249lg也不是错误的，否则ba23lg是错误的；同样，如果ca5lg，则)1 (3)5lg1(32lg38lgca， 如果ca5lg是错误的， 那么ca3338lg也错误，这与题意矛盾；显然ca3338lg也不是错误的，否则ca5lg也错误；所以，cbacaba3)()2(5lg3lg)53lg(15lg所以应将最后一个错误的改正为cba315lg9 重庆南开中学09 届模拟 函数22log1log1xfxx，假设1221fxfx其中1x、2x均大于，则1 2fx x的最小值

19、为A35； B23；C45；D554精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页解析 B；由1221fxfx得11)2(log1)2(log1log1log22221212xxxx，从而得1log4log2222xx，所以511log4)1(log1log4logloglog)(log121212122212212xxxxxxxx326211)(log211)(log1)(log)(21221221221xxxxxxxxf10已知函数 1)1() 1lg()(22xaxaxf1假设)(xf的定义域为R，求实数a的取值范围；2假

20、设)(xf的值域为R，求实数a的取值范围；解析 11a或35a； 2351a依题意01) 1() 1(22xaxa对一切Rx恒成立当012a时，必须有0)1(4)1(01222aaa，即1a或35a当012a时，1a，当1a时，0)(xf满足题意，当1a时不合题意故1a或35a依题意，只要1)1() 1(22xaxat能取到), 0(的任何值，则)(xf的值域为R，故有0)1(4)1(01222aaa，即351a又当012a时，即1a，当1a时12xt符合题意，当1a时，不合题意故351a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页