2022年研究生《数值分析》试卷 .pdf

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1、2009 级研究生数值分析试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyyxyxu223),(，其中，yx,由统计方法得到，分别为4,2 yx, 统计方法的误差限为0.01, 试求出u的误差限)(u和相对误差限)(ur. 解：)(23)(6)(),()(),()(222yxyxxxyxyyyyxuxxyxuu6. 016. 044.001.0)412(01.0)448(0.010714566. 03)()(22xyyxuur二.(6分) 已知函数13)(3xxf计算函数)(xf的 2 阶均差2, 1, 0f, 和 4 阶均差4, 3,2, 1,0f. 解：21142512) 1()2(2

2、, 1, 311401)0()1 ( 1,0ffffff9232102 1, 02, 1 2, 1,0fff0! 4)(4, 3,2, 1,0)4(ff三.(6 分) 试确定求积公式 : )1( )0( 121)1 ()0(21)(10ffffdxxf的代数精度 . 解：记10)(dxxfI)1( )0( 121)1 ()0(21ffffIn1)(xf时：1110dxI100121221nIxxf)(时：2110 xdxI21 11121 121nI2)(xxf时：31102dxxI3120121 121nI3)(xxf时：41103dxxI4130121 121nI精选学习资料 - - -

3、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页4)(xxf时：51104dxxI6140121 1 21nI求积公式)1( )0( 121)1 ()0(21)(10ffffdxxf具有 3 次代数精度 . 四 .(12分 ) 已 知 函 数122)(23xxxxf定 义 在 区 间 -1,1上 , 在 空 间, 1)(2xxSpanx上求函数)(xf的最佳平方逼近多项式 . 其中, 权函数1)(x,154)(),(,1532)(),(,34)(),(210 xxfxxfxxf. 解：0)(),()(),(21)(),(1101101100dxxxxxxd

4、xxx32)(),()(),()(),(112110220dxxxxxxxx0)(),()(),(1131221dxxxxxx52)(),(11422dxxxx解方程组1541532345203203203202210aaa得15161210aaa则)(xf的最佳平方逼近多项式为：1516)(2xxxp五.(16 分) 设函数)(xf满足表中条件 : k0 1 2 kx0 1 2 )(kxf1 0 1 )( kxf-2 0 (1) 填写均差计算表 ( 标有 *号处不填 ): kkxkxf,1kkxxf,21kkkxxxf0 0 1 * * 1 1 0 -1 * 2 2 1 1 1 (2) 分别

5、求出满足条件)2, 1,0(),()(),()(22kxfxNxfxLkkkk的 2 次 Lagrange 和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页Newton差值多项式 . (3) 求出一个四次插值多项式)(4xH, 使其满足表中所有条件 . 并用多项式降幂形式表示. 解：12) 12)(02() 1)(0()20)(10()2)(1()(22xxxxxxxL12)1)(0(1)0)(1(1)(22xxxxxxN令)2)(1()(12)(24xxxbaxxxxH则)2()()2)(1)()2)(1(22)( 4xxba

6、xxxbaxxxaxxxH)1()(xxbax由1220)12(2)2(24)2( 2)21)(22) 1( 44bababaHbaH解得5, 3ba因此1820143)2)(1()53(12)(23424xxxxxxxxxxxH六.(16 分) (1). 用 Romberg方法计算31dxx, 将计算结果填入下表 (* 号处不填 ). kkT212kS22kC32kR0 2.73205 * * * 1 2.78024 2.79630 * * 2 2.79306 2.79734 2.79740 * 3 2.79634 2.79743 2.79744 2.79744 (2). 试确定三点 Gau

7、ss-Legender 求积公式1120)()(kkkxfAdxxf的 Gauss 点kx与系数kA, 并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分 : 31dxx. 解：过点（ 1，-1）和点（ 3，1）作直线得ytx所以积分11312dttdxx由三次 Legendre多项式)35(21)(33xxxp得得Gauss点：,515, 0,515210 xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页再由代数精度得32535305155152111220112011210dtxAAdtxAAdtAAA即9/100

8、22020210AAAAAAA解得,95,98,95210AAA所以三点 Gauss-Legendre求积公式为：5159509851595)(11fffdxxf因此79746. 2515295298515295211dxtI七.(14 分) (1) 证明方程02ln xx在区间 (1,) 有一个单根 . 并大致估计单根的取值范围. (2) 写出 Newton 迭代公式 , 并计算此单根的近似值 .( 要求精度满足 : 5110|kkxx). 解：令2ln)(xxxf), 1 (,011)( xxxf 即)(xf在区间), 1(单调增又04)(,02ln)2(22eeff所以02ln xx在区

9、间), 1 (有一单根), 1 (20exNewton 迭代公式为1ln112ln1kkkkkkkkkxxxxxxxxx令20 x计算得0 x2 |1kkxx1x3.386294 1.386294 2x3.149938 0.236356 3x3.146194 0.003744 4x3.146193 0.000001 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页八. (12分) 用追赶法求解方程组 : 022112111131124321xxxx的解. 解： 由计算公式1,2, 2,111111nicnibacbiiiiiiii

10、i得,2, 1, 1,21, 1,2432111125211322212b52222222cc53521133323b35333333cc37352144434b因此135152121137253125121211113112即LUA令bLy解022137253125124321yyyy得23753214321yyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页令yUx解237532113515212114321xxxx得21104321xxxx九. (12分) 设求解初值问题00)(),(yxyyxfy的计算格式为 : ),

11、(),(111nnnnnnyxbfyxafhyy, 假 设11)(,)(nnnnyxyyxy, 试 确 定 参 数ba,的值, 使该计算格式的局部截断误差为二阶, 即截断部分为 : )(3ho.（注：原题中)(2ho错误）解：),(),(111nnnnnnyxbfyxafhyy)( )( )(1nnnxbyxayhxy)( 21)( )( )( )(2nnnnnxyhxhyxyhbxhayxy)( 21)( )( )()(32nnnnxbyhxbyhxybahxy对比)( 61)( 21)( )()(321nnnnnxyhxyhxhyxyxy得2/11bba， 即2/1ba时该计算格式具有二阶精度. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页