2022年示范教案函数的表示法第二课时 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 2 课时分段函数导入新课思路 1.当 x1 时,f(x)=x+1; 当 x1时,f(x)=-x, 请写出函数f(x)的解析式 .这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题. 思路 2.化简函数y=|x|的解析式 ,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题. 推进新课新知探究提出问题函数 h(x)=-1x-1,x1,x,-x与 f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么区别? 请举出几个分段函数的例子. 活动： 学生讨论交流函数解析式的区别.所谓 “ 分段函数 ”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例. 讨论结果： 函数 h(x

2、) 是分段函数 ,在定义域的不同部分,其解析式不同 .说明 :分段函数是一个函数 ,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 ;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等 . 例如 :y=0, 1, 0,0 xx等. 应用示例思路 11.画出函数y=|x|的图象 . 活动： 学生思考函数图象的画法:化简函数的解析式为基本初等函数;利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式. 解法一： 由绝对值的概念,我们有 y=0.xx,-0,xx,所以 ,函数 y=|x|的图象如图1-2-2-10 所示 . 图 1-2-2-

3、10 解法二： 画函数 y=x 的图象 ,将其位于 x 轴下方的部分对称到x 轴上方 ,与函数 y=x 的图象位于 x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10 所示 . 变式训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载1.已知函数y=.4,2, 40,2,0,42xxxxxxx(1)求 ff f(5)的值 ; (2)画出函数的图象. 分析 :本题主要考查分段函数及其图象.f(x) 是分段函数 ,要求 ff f(5) ,需要确定ff(5)的取值范围 ,为此又需确定f(5) 的取值范围 ,

4、然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解 .画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象. 解： (1)54, f(5)=-5+2=-3. -30, ff(5) =f(-3)=-3+4=1. 010 的图象 . 步骤 :画整个二次函数y=x2的图象 ,再取其在区间 (-,0 上的图象 ,其他部分删去不要;画一次函数y=-x 的图象 ,再取其在区间(0,+ )上的图象 ,其他部分删去不要;这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图 1-2-2-12 所示 . 图 1-2-2-12 函数 y=f(x) 的图象位于x 轴上方的部分和y=|f(x)| 的图象相同 ,函数 y=f(x) 的

5、图象位于x 轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)| 的图象的一部分.利用函数y=f(x) 的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数 y=f(x) 的图象画出函数y=|f(x)| 的图象 . 2.某市 “ 招手即停 ” 公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5 千米以内 (含 5 千米 ),票价 2 元; (2)5 千米以上 ,每增加 5 千米 ,票价增加 1 元(不足 5 千米按 5 千米计算 ), 如果某条线路的总里程为20 千米 ,请根据题意 ,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象 . 活动：学生讨论交流题目的条件,弄清题意 .本例是一个实际问题,有

6、具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载不同的计算方法,故此函数是分段函数. 解： 设里程为 x 千米时 ,票价为 y 元,根据题意得x(0,20. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式: 图 1-2-2-13 y=.2015,5,1510,4,105 ,3,50 ,2xxxx根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图 1-2-2-13 所示 . 点评： 本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用

7、函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式. 注意： 本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. 变式训练2007 上海中学高三测试,理 7 某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 千米 ,票价是每千米0.5 元,如果超过100 千米 ,超过部分按每千米0.4 元定价 ,则客运票价y(元)与行程千米数x(千米 )之间的函数关系

8、式是_. 分析 :根据行程是否大于100 千米来求出解析式. 答案： y=.100,4.010,1000,5. 0 xxxx思路 21.已知函数f(x)=.0, 1,0, 1,0,22xxxxxx(1)求 f(-1),f f(-1) ,ff f(-1) 的值 ; (2)画出函数的图象. 活动： 此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系. 解： (1)f(-1)=0;ff(-1)=f(0)=1;fff(-1)=f(1)=-12+2 1=1. (2)函数图象如图1-2-2-14 所示 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

9、 -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载图 1-2-2-14 变式训练2007 福建厦门调研,文10 若定义运算ab=,baabab则函数f(x)=x (2-x) 的值域是_. 分析 :由题意得 f(x)=.1,2, 1,xxxx画函数 f(x) 的图象得值域是(-,1 . 答案： (-,1点评： 本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=.,),(,),(2211DxxfDxxf(D1,D2, , 两两交集是空集 )的图象步骤是(1)画整个函数y=f1(x)的图象 ,再取其在区间D1上的图象 ,其他部

10、分删去不要; (2)画整个函数y=f2(x)的图象 ,再取其在区间D2上的图象 ,其他部分删去不要; (3)依次画下去 ; (4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象. 2.如图 1-2-2-15 所示 ,在梯形 ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点 P 从 B 点开始沿着折线BC、CD、DA 前进至 A,若 P 点运动的路程为x,PAB 的面积为y. 图 1-2-2-15 (1)写出 y=f(x) 的解析式 ,指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并求出函数的值域. 活动： 学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P 点运动到不同的

11、位置,y 的求法是不同的(如图 1-2-2-16 的阴影部分所示). 图 1-2-2-16 可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,则 PAB 的面积的计算方式由点P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载所在的位置来确定. 解： (1)分类讨论 : 当 P 在 BC 上运动时 ,易知 B=60 ,则知y=21 10 (xsin60)=235x,0 x 4.当 P 点在 CD 上运动时 , y=21 10 23=1

12、03,4x 10.当 P 在 DA 上运动时 , y=21 10 (14-x)sin60=235x+353,100,x=0,x0 段上的图象 ,合在一起得函数的图象. (1)如图 1-2-2-19 所示 ,画法略 . 图 1-2-2-19 (2)f(1)=12=1,f(-1)=11=1,f f(-1) =f(1)=1. 3.某人驱车以52 千米 /时的速度从A 地驶往 260 千米远处的B 地,到达 B 地并停留1.5 小时后,再以 65 千米 /时的速度返回A 地.试将此人驱车走过的路程s(千米 )表示为时间t 的函数 . 分析 :本题中的函数是分段函数,要由时间t 属于哪个时间段,得到相应

13、的解析式. 解： 从 A 地到 B 地,路上的时间为52260=5(小时 );从 B 地回到 A 地,路上的时间为65260=4(小时).所以走过的路程s(千米 )与时间 t 的函数关系式为s=.5.105 .6),5 .6(65260,5.65,260,50,52ttttt拓展提升问题 :已知函数 y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n N*. (1)求:f(2),f(3),f(4),f(5); (2)猜想 f(n),nN*. 探究 :(1)由题意得f(1)=1, 则有f(2)=f(1)+2=1+2=3, f(3)=f(2)+2=3+2=5, f(4)=f(3)+2=5+2=7, f

14、(5)=f(4)+2=7+2=9. (2)由(1)得f(1)=1=21-1, f(2)=3=22-1, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载f(3)=5=23-1, f(4)=7=24-1, f(5)=9=25-1. 因此猜想f(n)=2n-1,n N*. 课堂小结本节课学习了 :画分段函数的图象;求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用. 作业课本 P25习题 1.2 B 组3、4. 设计感想本节教学设计容量较大,特别是例题条件有图,建议使用信息技术来完成.本节重点设计了分段函数 ,这是课标明确要求也是高考的重点,通过分段函数问题能够区分学生的思维层次,因此教学中应予以重视. (设计者：刘菲)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页