2022年立体图形的体积表面积侧面积几何重心与转动惯量计算公式 .pdf

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1、 4立体图形的体积、外表积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、立体图形的体积、外表积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 *Ja 为棱长， d 为对角线a,b,h分别为长 ,宽,高,d 为对角线体积3aV外表积26aS侧面积24aM对角线ad3重心 G 在对角线交点上2aGQ体积abhV外表积)(2bhahabS侧面积)(2bahM对角线222hbad重心 G 在对角线交点上2hGQ转动惯量取长方体中心为坐标原点 ,坐标轴分别平行三个棱边mhbJx)(12122mhaJy)(12122mbaJz)(12122mhbaJo)(121

2、222(当hba时,即为正方体的情况 ) 表中 m 为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章， 3，五. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 Ja,b,c为边长 ,h 为高a 为底边长 ,h 为高,d 为对角线n 为棱数 ,a 为底边长 ,h 为高,g 为斜高体积FhV外表积MFS2侧面积hcbaM)(式中 F 为底面积重心2hGQ(P、Q 分别为上下底重心 ) 转动惯量对于正三棱柱 (a=b=c)取 G 为坐标原点,z 轴与棱平行

3、mahaJz1248324体积hahaV225981.2233外表积ahaahaS61962.563322侧面积ahM6对角线224ahd重心2hGQ(P、Q 分别为上下底重心 ) 转动惯量取 G 为坐标原点 ,z轴与棱平行mahaJz12583524体积FhV31外表积FMS侧面积agnnFM2式中 F 为底面积 ,F 为一侧三角形面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页重心4hGQ(Q 为底面的重心 ) 图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 Ja,b,c,p,q,r 为棱长h 为高体积0

4、11111010101028812222222222222cbacpqbpraqrV重心PQGQ41(P 为顶点 ,Q 为底面的重心 ) 体积) (3FFFFhV式中FF , 分别为上下底面积重心324FFFFFFFFPQGQ(P,Q 分别为上下底重心 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页a,a 分别为上下底边长 ,n 为棱数 ,h为高,g为斜高体积213aaaahFV外表积FFMS侧面积gaanM)(2式中FF , 分别为上下底面积重心2222324aaaaaaaahGQ(P、Q 分别为上下底重心 ) 图形体积

5、 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J两底为矩形 ,a,b ,a,b分别为上下底边长 ,h 为高,1a为截头棱长体积 ) )(6babbaaabhV1bbabbaa重心2232babaababbabaababPQGQ(P ,Q 分别为上下底重心 ) 体积) 2(6aahbV精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页底为矩形 ,a,b 为其边长 ,h 为高,a 为上棱长r 为半径重心22aaaaPQGQ(P 为上棱中点 ,Q 为下底面重心 ) 体 积33352360. 0634ddrV外表积24 rS重心

6、G 与球心 O 重合转动惯量取球心 O 为坐标原点mrJJJzyx252mrJo253图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页半球体 r 为半径 ,O 为球心r 为球半径 ,a为弓形底圆半径 ,h为拱高 ,为锥角(弧度) r 为球半径 ,a 为拱底圆半径 ,h 为拱高体积331232drV外表积23 rS侧面积22 rM重心rGO83转动惯量取球心 O为坐标原点 ,z轴与 GO重合mrJJJzyx252mrJo253体积hrhrV220944.232外表积

7、)2(ahrS侧面积 (锥面部分 ) rM重心)2(83hrGO转动惯量z轴与 GO 重合2sin2cos2cos1215225rJz2cos2cos32533hmr体 积)3(3)3(6222hrhhahV外表积)2()2(222aharhS侧面积 (球面部分 ) )(222harhM重心)3()2(432hrhrGO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J球台 r 为球半径 ,a,a分别为上下底圆的半径 ,h 为高R为中心半径 ,D 为中心直径 ,r

8、为圆截面半径 ,d为圆截面直径体积)33(6222haahV外表积)2(22aarhS侧面积rhM22222222hhaaar重心222443323haaaahGO22222233422haahaahGQ(Q 为下底圆心 ) 体积222242DdRrV外表积DdRrS224重心 G 在圆环的中心上转动惯量取圆环的中心为坐标原点,z 轴垂直于圆环所在平面mRrJJyx28522mRrJz2243精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J圆柱体 r 为底面半径

9、,h 为高R为外半径 ,r 为内半径 ,h 为高r 为底圆半径 ,h,H 分别为最小 ,最大高度 ,为截角,D 为截头椭圆轴体积hrV2外表积)(2hrrS侧面积rhM2重心2hGQ(P,Q 分别为上下底圆心 ) 转动惯量取重心 G 为坐标原点 ,z 轴垂直底面mhrJJyx34122mrJz22体积thRrRhV2)(22外表积)(222rRMS侧面积RhrRhM4)(2式中 t 为管壁厚 ,R 为平均半径重心2hGQ转动惯量取 z 轴与 GQ 重合mrRJz2)(22体积)(22hHrV外表积cos112rMS2DhHrr侧面积)(hHrM截头椭圆轴22)(4hHrD重心)(4tan422

10、hHrhHGQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页)(2tan2hHrGK(GQ 为重心到底面距离 ,GK 为重心到轴线OO的距离 ) 图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 Jh 为截段最大高度 ,b 为底面拱高 ,2a 为底面弦长,r 为底面半径 , 2为弧所对圆心角 (弧度) 体积)(3)3(3222arbrarabhVcossin31sin33abhr侧面积 (柱面部分 ) )(2arbbrhM体积abcabcV1888.434重心G 在椭球中心 O 上转动惯量取椭球中心为坐标原点 ,

11、z轴与 c轴重合mcbJx)(5122macJy)(5122mbaJz)(5122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页a,b,c为半轴图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G 与转动惯量 J体积hrV23外表积)(lrrS侧面积rlM母线22hrl重心4hGQ(Q 为底圆中心 ,O 为圆锥顶点) 转动惯量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页r 为底圆半径 ,h 为高,l 为母线r,R分别为上 ,下底圆半径 ,h 为高,l 为母线

12、上下底平行 ,F,F分别为上 ,下底面积 ,0F为中截面面积 ,h 为高取圆锥顶点为坐标原点 ,z 轴与 GQ重合mhrJJyx22453mrJz2103体积)(322RrrRhV外表积)(22rRMS侧面积)(rRlM母线22)(hrRl圆锥高 (母线交点到底圆的距离 ) rRhrhH重心2222324rRrRrRrRhGQ(P ,Q 分别为上下底圆心 ) 体积)4(60FFFhV注 棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、圆柱等都是拟棱台的特例图形体积 V、外表积 S、侧面积 M、几何重心 G与转动惯量 J精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

13、11 页，共 12 页d 为上,下底圆直径 ,D 为中截面直径 ,h 为高母线为圆弧时 : 体积)2(26180.0)2(122222dDhdDhV2)2(08727.0dDh母线为抛物线时 : 体积2243215dDdDhV)348(05236.022dDdDh重心2hGQ(P,Q 分别为上下底圆心 ) 二、多面体正四面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 图形面数 f4 8 12 20 棱数 k6 12 30 30 顶点数 e4 6 20 12 体积 V31179.0a34714.0a36631.7a31817.2a外表积 S27321.1a24641.3a26457.20a26603.8a表中 a 为棱长 . 欧拉公式 一个多面体的面数为f，棱数为 k，顶点数为 e,它们之间满足2fke精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页