2022年立体几何与空间向量优秀教案 .pdf

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1、个人收集整理仅供参考学习40 / 12 空间向量及线性运算【本课重点】1、理解空间向量地概念，掌握空间向量地线性运算及性质； 2 、通过平面向量向空间向量地推广，体会数学地类比和归纳地思想方法.【预习导引】1、在空间，既有_ 又有 _ 地量叫空间向量. 空间向量可以用_表示；_地长度叫向量地模；凡是方向相同且长度相等地有向线段表示同一向量或_.2、已知空间向量ba,，在空间任取一点O ，作bABaOA,，则ba_；作bOBaOA,，则ba_；作)(,ROAOPaOA，则OP_. 3、空间向量地加法和数运算满足运算律：（1）_;(2)_; (3)_.4、如果表示空间向量地有向线段互相_或 _，那

2、么这些向量叫_或 _向量a与b平行，记为 _.5、对空间任意两个向量a与b（0a），b与a共线地充要条件是存在实数, 使_. 【典例练讲】例 1、如图， M,N,P,Q,R,S 为平行六面体1111ABCDA B C D所在棱中点，化简下列向量表达式，并标出化简结果地向量 .(1) ABBCuuu ruuu r (2) 1ABADAAu uu ruuu ruuur(3) 112ABADCCuu u ruuu ruuu u r(4) 11()3ABADAAuuu ru uu ruuur(5) 11BCBBB Duuu ruuu ruuuu r (6) MNPQRSuuuu ruuu ruu u

3、r例 2、如图，在长方体111OADBCA D B中，3OA，4OB，2OC，1OIOJOK，点,E F分别是11,DB D B地中点 .设OIiuu rr，OJjuuu rr，OKkuuu rr.试用向量, ,i j kr r r表示1ODuuuu r、1OAuuu r、OEuu u r、OFuuu r. 例 3、如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB地中点，( 1) 若2CFFD，连接EF,CE,AF,BF化简下列各式，并在图中标出化简得到地向量：ACCBBDuuu ruuu ruuu r；AFBFACuuu ruuu ruuu r；1223ABBCCDuuu ruuu ruuu r；

4、(2)若F为CD地中点，求证：1()2EFADBCuuu ruuu ruuu r. 例 4、已知六面体1111ABCDA B C D是平行六面体（如图）. （1）化简11223AABCABuuu ru uu ruuu r，并在图上标出结果；（2）设M是底面ABCD地中心，N是侧面11BCC B对角线1BC上地四等分点（靠近点1C），设1,MNABADAAuu uu ru uu ruuu ruuu r试求,地值A BC E F D J F E A1 D1 B1 OA D C B K I D1 C1 B1 A1 D C B A S R Q P N M D1C1A1B1ABDCMN精选学习资料 -

5、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习41 / 12 共面向量定理【本课重点】空间共面向量地概念、判定、性质及运用.【预习导引】1、_ 叫共面向量 . 2、在平面向量中，向量b与向量)0(aa共线地充要条件是存在实数，使得ab；在空间向量中，已知 向 是b与a不 共 线 ，那 么向 量p与 向 量a，b共 面地 充要 条 件是 存 在有 序实 数组 （ x,y） ,使得p_.3、 已 知 空 间 四 点O、 A、 B、 C 满 足OBOAOC， 则A、 B、 C 三 点 共 线 地 充 要 条 件 是_.4、 已

6、 知A、 B、 C 三 点 不 共 线 ， 则 点O 在 平 面ABC 内 地 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对x,y,使OA_.5、设空间任意一点O 和不共线地三点A、 B、C，若点P 满足向量关系OCzOByOAxOP（其中x+y+z=1）试问： P、A、B、C四点是否共面？并证明你地结论. 【典例练讲】例 1、正方体1111ABCDA B C D，E 和 F 点分别为面1111A B C D与11BBC C地中心，判断下列几组向量是否为共面向量：（1）1111,BCA DD D；（ 2）111,EF C DD D；（ 3）11,A B DCEF.例 2、如图，已知矩形ABC

7、D和矩形ADEF所在平面互相垂直，点,M N分别在对角线,BD AE上，且13BMBD，13ANAE.求证：/MNCDE平面. 例 3、证明：三个向量12332aeeeru ru u ru r，123462beeeru ru u ru r，12331211ceeeru ru u ru r共面 . 例4、（ 1）对于空间某一点O，空间四个点A、B、C、D（无三点共线）分别对应着向量OAu u u r、OBuuu r、OCuuu r、ODuuu r，求证：A、 B、 C、 D 四点共面地充要条件为存在四个不全为零实数, ,，使得0OAOBOCODuuu ru uu ru uu ruu u rr，且

8、0;（ 2）设空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若点P 满足向量关系OPxOAyOBzOCu uu ruu u ruu u ruuu r，当, ,x y z满足什么条件时，能够使得,P A B C四点共面 . F E D1 C1 B1 A1 D C B A F E MND C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习42 / 12 ABCOMNG空间向量基本定理【本课重点】空间向量基本定理及其运用. 【预习导引】1、如果3 个向量321,eee不共面，那么对空间任一向量p，存在 _地有

9、序实数组x,y,z，使p_.321,eee 称 为 空 间 地 一 个 _ ，321,eee叫 做 _. 当321,eee两两互相垂直时称为_,当321,eee为两两垂直地单位向量时称为_,通常用 _表示 .2、 已 知 空 间 四 边 形OABC， 点M ， N 分 别 是OA， BC 地 中 点 ， G 在AN 上 ， 且AG=2GN，cOCbOBaOA,， 用cba,作 为 基 底 ， 则 向 量MN可 表 示 为 _;OG可 表 示 为_.3、如图，已知空间四边形OABC，其对角线,OB AC，,M N分别是对边,OA BC地中点，点G在线段MN上，且3MGGN，用基底向量,OA OB

10、 OCuuu r uu u r u uu r表示向量_.OGuu u r【典例练讲】例 1、如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，已知DAauuu rr，DCbu uu rr，1DDcuuuu rr，点G 是侧面11B BCC地中心，试用向量, ,a b cr r r表示下列向量：111,DB BA CA DGu uu u r uuu r u uu r uuu r.例 2、在正方体OADBCA D B中，点 E是AB与OD地交点，M是OD与CE地交点，(1)试分别用向量,OA OB OCuu u r uuu r uuu r表示向量ODuuuu r和OMuuuu r;（ 2）,OI

11、 OJ OKu ur uuu r uuu r分别为,OA OB OCuuu r uuu r uuu r方向上地单位向量，试用,OI OJ OKuur uuu r uuu r表示,OA OB OCuuu r uuu r uuu r. 例 3、已知空间四边形OABC，其对角线为,OB AC，点,M N分别是对边,OA BC地中点，点G 在直线MN上，且2MGGN，试用基底向量,OA OB OCuuu r u uu r uuu r表示向量OGu uu r. 例4、如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，点,E F G分别是11ADuuuu r，1D Duu uu r，11DCuu uu

12、r地中点，请选择恰当地基底向量.证明：（ 1）/EGAC；（2）平面EFG/ 平面1AB C. GCAOBNMGDCBD1AC1B1A1E F D A1 B1 G C B A C1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习43 / 12 空间向量地坐标表示【本课重点】空间向量地坐标表示、运算及空间向量平行地坐标表示.【预习导引】1、 若),(111zyxA，),(222zyxB那么AB_. 2、 设),(111zyxa，),(222zyxb,R,那么（1）ba_; (2) ）ba_;（3）a

13、=_; (3) 若)0(/aba，则 _.3、已知向量a(8，12x，x)，b(x,1,2)，其中 x0.若 ab，则 x 地值为 _.4、给出命题：若a 与 b 共线，则a 与 b 所在地直线平行；若a 与 b 共线，则存在唯一地实数 ，使 ba；若 A，B，C三点不共线，O 是平面 ABC外一点，OMuuu u r13OAuu u r13OBuuu r13OCuuu r，则点 M 一定在平面 ABC上，且在 ABC地内部其中真命题是_【典例练讲】例 1、已知1111ABCDA B C D是棱长为2 地正方体， E、F、G、H、I、J分别为图中所示各棱地中点，P 为正方体地中心，建立如图所示

14、地空间直角坐标系. （1）、试写出图中各点地坐标；（2）、x轴，y轴，z轴上地点地坐标有什么特点？例 2、（ 1）已知(1, 3,8)ar，(3,10, 4)br，求abrr，abrr，3ar，32abrr. （2）已知A，B， C 三点坐标分别为(2,1,2)，(4,5,1)，( 2,2,3)，求满足下列条件地P 点地坐标：1()2OPABACuuu ruuu ruu u r；1()2APABACuuu ru uu ruuu r. 例 3、已知(2, 1,1)ar，(1,3, 2)br，( 2,1, 3)cr和(3,2,5)du r，试求实数,，使dabcu rrrr. 例 4、（ 1）、已

15、知向量(2, 4,5)ar，(3, ,)bx yr，若/abrr，求,x y地值；（2）、已知空间四点( 2,3,1)A，(2, 5,3)B，(10,0,10)C和(8,4,9)D，求证：四边形ABCD 为梯形. z y A P D1 D C B C1 B1 A1 G F E H I J x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习44 / 12 空间向量地数量积 (1) 【本课重点】空间向量数量积、夹角及求法. 【预习导引】1、设ba,是空间两个非零向量，过空间任一点O 作aOA，bOB，则AO

16、B叫向量a与b地_,记作 _,范围为 _.若=0,则向量a与b_；若 =,则向量a与b_；若 =2,则向量a与b互相 _，记为ba.ba_2、设ba,是空间两个非零向量，把cos|ba叫做向量a与b地数量积，记为_. 并规定：零向量与任一向量地数量积为0.空间向量地数量积地运算律：(1)_;(2)_;(3)_.3、已知,a br r是空间两个向量，若3,2abrr，7,abrr则,a br r地夹角为 _. 4、如图所示，空间四边形OABC中，,.OABC OBAC求证：.OCAB【典例练讲】例 1、如图，已知空间四边形ABCD地每条边和对角线都等于1，点 E、F 分别是 AB，AD 地中点，

17、计算：EF BAu uu r uu u r，EFBDuu u r uuu r，EFDCuu u r uuu r.例2、已知向量abrr，向量cr与,a br r地夹角均为60，且| 1ar，| 2br，| 3cr，试求：2()abrr，2(2)abcrrr，(32 )()ab bcrrrr. 例 3、如图，在平行四边形ABCD中， AB=AC=1,90ACD，将它沿着对角线AC 折起，使AB 与 CD 成60角，求 BD 间地距离 .例 4、在三棱锥O-ABC中，已知侧棱OA，OB， OC两两垂直，求证：底面ABC是锐角三角形 . A B E D C F A B D C OACB精选学习资料

18、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习45 / 12 空间向量地数量积 (2) 【本课重点】空间向量数量积地坐标运算. 【预习导引】1、 设),(111zyxa，),(222zyxb则(1)|a=_; (2)ba_;(3)cos =_; (4)ba_.2、若),(111zyxA，),(222zyxB,则 AB中点 M地坐标为 _; AB_;| AB_.3、“0a br r”是“,a br r为钝角”地_条件 .（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分也不必要”）4、已知(1,1, )att

19、 tr，(2, , )bt tr，则barr地最小值为 _.【典例练讲】例 1、(3,5,4)ar，(2,1,8)br，计算：（ 1）23abrr，34abrr，abr r，|ar，|23 |abrr(2)cos,a br r;(3)求向量23abrr与ar地夹角 ;(4)确定,地关系 ,使abrr与z轴垂直 . 例 2、已知(1,5, 1)ar，( 2,3,5)br. （1）若()/(3 )kababrrrr，求k地值；（2）若()(3 )kababrrrr，求k地值 . 例 3、已知(1,0,1),(2,2,2),(0,2,3)ABC，求(1)线段 AB地中点坐标和AB地长度； (2)AB

20、ACu uu ruuu r与地夹角地正弦值; (3)求ABC地面积 ; (4)到 C点地距离为1 地 P（x,y,z）地坐标, ,x y z满足地条件 . 例4、在棱长为1 地正方体1111ABCDA B C D中，,E F分别是1,D D BD地中点， G 在棱CD 上，且14CGCD， H 是1C G地中点，应用空间向量法解决下列问题: (1)求证：1EFB C; (2)求 EF与1C G所成角地余弦值; (3)求 FH 地长 . F E A1 D1 C1 B1 A D C B G H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共

21、 12 页个人收集整理仅供参考学习46 / 12 直线地方向向量和平面地法向量【本课重点】直线地方向向量和平面地法向量. 【预习导引】1、直线 l 上地 _叫做直线l 地方向向量 . 2、如果表示非零向量n地有向线段所在直线与平面_, 那么称向量n与平面_, 记着_, 此时，把向量n叫做平面地_.3、下列说法正确地是_. (1) 一条直线地所有方向向量都互相平行;(2)一个平面地所有法向量都互相平行; (3) 平面地法向量一定是非零向量; (4) 向量n是平面地法向量，向量a是与平面平行或在平面内，则有0an. 4、(1) 在空间直角坐标系Oxyz中，下列向量中不是y轴地方向向量地是_. 1(

22、0,1,0); 2(0,-1,0); 3(0,12,-1); 4(0,1,1)(2) 过空间三点(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ABC地平面地一个法向量为_. 【典例练讲】例 1、(1)在正方体1111ABCD-A B C D中，求证：1DBuuuu r是平面1ACD地法向量；(2)已知： A(1,2,1)， B(3,2,3)，C(5,3,1)，求平面ABC地一个单位法向量.例 2、在空间直角坐标系中，设平面经过点000P(x ,y ,z )，平面地法向量是e(a,b,c)r，M(x,y,z)是平面内地任意一点，求x，y，z 满足地关系式 .例 3、已知： A(-2,3,-3)，

23、B(4,5,9). (1)写出直线AB 地一个方向向量；(2)若点 M(x,y,z)在直线 AB上，求 x，y，z 满足地关系式；(3)设平面经过线段AB地中点，且与直线AB垂直，点P(x,y,z)是平面内一点，求x,y,z满足地关系式；(4)求到 A,B两点距离相等地点Q(x,y,z)地坐标 x,y,z 满足地关系式 .例 4、在棱长为1 地正方体1111ABCD-A B C D中，,E F分别是棱,AB BC地中点，则在棱1BB上是否存在点M，使得11D MEFB平面？若存在，指出点M地位置；若不存在，请说明理由.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

24、- - - -第 7 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习47 / 12 空间线面关系地判定 (1) 【本课重点】用向量语言表述线线、线面、面面地平行和垂直关系；用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系 . 【预习导引】1、设两直线21,ll地方向向量分别为21,ee；平面21,地法向量分别为21, nn, 那么：（1）21/ ll_; 21ll_; (2)11/l_; 11l_; (3)21/_; 21_. 2、设ba,分别是直线21,ll地方向向量 , 根据下列条件, 判断21,ll地位置关系：(1)6, 3, 6(),2, 1, 2(ba _; (2)2, 3,2(),2,2, 1(b

25、a _; 3、设vu,分别是平面,地法向量 , 根据下列条件 , 判断,地位置关系：(1)4,4, 6(),5,2,2(vu _; (2)4,4, 2(),2, 2, 1(vu _; (3)4, 1 ,3(),5,3, 2(vu _. 4、已知直线l地方向向量( 1,0, 2)ar，平面地一个法向量为(4,0,)emr，若直线l与平面垂直，则实数_.m【典例练讲】例 1、证明：在平面内地一条直线，如果它和这个平面地一条斜线地射影垂直，那么它和这条斜线也垂直. (三垂线定理 ) 例 2、证明：如果一条直线和平面内地两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.(直线与平面垂直地判定定理)例 3、

26、如图，在直三棱柱111ABCA B C中，90ACBo，30BACo，BC=1,16AA,M 是棱 CC1地中点，求证： A1BAM.例 4、已知正方体1111ABCDA BC D中， E,F分别为 BB1、CD地中点，求证：D1F面 ADE. B A C D A1 C1 D1 FEC A B A1 B1 C1 M l n m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习48 / 12 空间线面关系地判定 (2) 【本课重点】用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系. 【预习导引】1、长方体 ABCD-

27、A1B1C1D1中， AD=AA1，AB=2AD ，点E 是线段C1D1地中点，则DE 与平面EBC地位置关系是_.2、正三棱柱ABC-A1B1C1地各棱长均相等，点D 是 BC上一点， ADDC1，则平面ADC1与平面BCC1B1地位置关系 _.3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 M 是棱 AA1地中点，点O 是 BD1地中点，则OM 是异面直线AA1与 BD1地_.4、已知(1,5, 2),(3,1, ),ABBCzu uu ruuu r若,(1, , 3),ABBC BPxyuuu ruu u r uu u r且BPABC平面，则实数x,y,z分别为 _.【典例练讲】例 1、在

28、四棱椎P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，90BAD，ADBC，AB=BC=a ，AD=2a，且 PA底面 ABCD ，PD 与底面成30o角， AEPD，E 为垂足，试建立恰当地空间直角坐标系：(1)求证： BE PD；(2)设(1, , )np qr，满足PCDnr平面，求nr地坐标 .例 2：在棱长为1 地正方体1111ABCDA B C D中. （1）若 E、F分别为棱AB和 BC地中点，试在1BB上找一点M，使得11D MEFB平面; （2）若 PQ 是 AC 与 C1D 地公垂线段，试确定点P在 AC 上及点 Q 在 C1D 上地位置 . 例 3、如图，平行六面体ABCD-A

29、1B1C1D1地底面 ABCD是菱形，且CBC1=CDC1=BCD. （1）求证：BDCC1；（ 2）当CCCD1地值为多少时，能使A1CBDC1平面，请给出证明. 例4、如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC，,ABBCkPA，点,O D分别是,AC PC地中点，OPABC平面.(1)求证：/ODBA平面 P；（ 2）当k为何值时，O在平面PBC内地射影恰好为PBC地重心 ?DCBD1AC1B1A1ACBPOD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习49 / 12 空间角地计算 (1) 【本课重

30、点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算.【预习导引】1、两条异面直线所成地角与它们地方向向量地夹角_.2、斜线与平面所成角是斜线与平面法向量地夹角_.3、两个平面所成地二面角与两个平面地法向量地夹角_.4、设ba,分别是两条异面直线21,ll地方向向量，且21,cosba，则异面直线21,ll所成角为 _.5、正方体1111ABCDA B C D中， M 是 AB 地中点，则DB1与 CM 所成角地余弦值为_.【典例练讲】例 1、在正方体1111ABCDA B C D中， E1、F1分别在 A1B1、C1D1上，且11111E BA B4, 1 1111D FC D4,P为 BC中点 .

31、 (1)求 BE1与 DF1所成角地大小 ; (2)求直线1F P和平面1D AC所成角地大小 ; (3)求二面角11ABDC地大小 . 例 2、如图，在直三棱柱111ABOA B O中，1OO4，OA4，OB3，AOB90， D 是线段A1B1地中点， P是侧棱 BB1上地一点，若OPBD，求 OP与底面 AOB所成角地余弦值.例 3、如图， ABCD是直角梯形，ABC90，ADBC，SAABCD平面，SAABBC2，AD1，求面 SCD与面 SBA所成二面角地大小. 例 4、已知四棱锥P-ABCD ，底面 ABCD为菱形， PA 平面 ABCD ，60ABC,E， F分别是 BC, PC地

32、中点 .(1)证明： AE PD; (2)若 H 为 PD上地动点， EH 与平面 PAD所成最大角地正切值为62，求二面角E AFC 地余弦值 . O A B A1 B1 O1 D P D1 D C A B C1 B1 A1 A D C B S 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习50 / 12 空间角地计算 (2) 【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算.【预习导引】1若060CPABPCAPB，则 PA与面 PBC所成角为 _；若0120CPABPCAPB，则 PA与面

33、PBC所成角为 _. 2若090CPABPCAPB， Q 为异于P 地一点， PQ 与平面PAB 、平面 PBC、平面 PAC所成角分别为、，则222coscoscos_.3共点地三条直线PA 、PB、PC两两垂直，它们与平面ABC所成角为、，则222sinsinsin_. 4在直二面角l中， A，B，A、B都不在 l 上， AB与所成角为 x，AB 与所成角为y，AB 与 l 所成角为z，则 cos2x+cos2y -cos2z 地值为 _.【典例练讲】例 1、如图 (1)所示，已知ABCD 是上、下底边长分别为2 和 6，高为3 地等腰梯形，将它沿对称轴1OO折成直二面角，如图(2)所示，

34、 (1)求证：1ACBO；(2)求二面角1OACO地大小 . 例 2、在直三棱柱111ABCA B C中，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱1AA2，D、E分别是1CC与1A B地中点，点E在平面 ABD上地射影是ABD地重心 G ，求1A B与平面 ABD所成角地大小 .例 3、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PA面 ABCD，PA=AB ，(1)求证：面PAC面 PBD ； (2)求二面角P-BD-C地大小；(3)在 PC上是否存在点E，使得 PB面 ADE. 例4、如图所示，四棱锥PABCD地底面ABCD是半径为R地圆地内接四边形，其中BD是圆地直径，60ABD

35、o，45BDCo，PD垂直底面ABCD，22PDR，EF，分别是PBCD，上地点，且PEDFEBFC，过点E作BC地平行线交PC于G(1)求BD与平面ABP所成角地正弦值；(2)证明：EFG是直角三角形；(3)当12PEEB时，求EFG地面积C A B D O O1 C A B D O O1 （1（2A E P D C B A B A1 B1 C1 C E G D F C P G E A B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页个人收集整理仅供参考学习51 / 12 本章复习【本课重点】向量方法解决了有关空间直

36、线、平面地平行、垂直和夹角等问题.【预习导引】1、已知空间四边形ABCD，,M N分别是,AD BC地中点，那么下列等式正确地是( ) A、2MAABDCuuu ruuu ruuu rB、1122MNACDBuu ruu ruu rC、2MNADDBDCuuuu ruuu ruuu ruuu rD、MBBCBABDuuu ruu u ruuu ruuu r2、如果三点(1,5, 2)A，(2,4,1)B，( ,3,2)C ab在同一直线上，那么a=_,b=_. 3、在平行六面体1111ABCDA B C D中， M 为 AC 与 BD 地交点，若11A Bauuuu rr，11A Dbuuuu

37、rr，1A Acuuurr，则向量1B Mu uuur可表示为 _. 4、设A、B、C、D 是空间不共面地四点，且满足AB AC0uuu r uuu r，AC AD0uuu r uuu r，AB AD0uuu r uuu r，则BCD为_三角形 . 【典例练讲】例 1、在正四面体PABC （四个面都是全等地等边三角形地四面体）中，若E、F 分别在棱PC、AB 上，且13CEAFPCAB.设PAauu u rr,PBbu uu rr,PCcuu u rr,试用a bcrrr、 、表示PFuuu r和BEuuu r;求异面直线PF与 BE所成地角地余弦值. 例2、在如图所示地空间直角坐标系中，正方

38、体AC1地棱长为2，P、Q 分别是BC、CD 上地动点，且|2PQ，(1)确定点 P、Q 地位置，使得11B QD P；(2)当11B QD P时，求二面角C1-PQ-A地大小 .例 3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，DAB为直角， ABCD，AD=CD=2AB ，E 、F分别为 PC、CD地中点， (1)试证：CDBEF面；(2)设PAkAB，且二面角E-BD-C地平面角大于30o，求 k 地取值范围 . 例 4、如图，在棱长为1 地正方体ABCDA BC D中， AP=BQ=b（0b1），截面PQEF A D，截面PQGHAD(1)证明：平面PQEF和平面 PQGH互相垂直；(2)证明：截面PQEF和截面 PQGH面积之和是定值，并求出这个值；(3)若D E与平面 PQEF所成地角为45o，求D E与平面 PQGH所成角地正弦值xyzD1 D Q C P C1 B1 A1 B A D E F B A P F P E C B A A B C D E F P Q H G DCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页