2022年任意角三角函数的概念-陶维林 .pdf

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1、学习必备欢迎下载教学设计任意角三角函数的概念一内容和内容解析三角函数是学生将要学习的又一个基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来它在物理学、 天文学、 测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础角的概念已经由锐角扩展到0360内的角，再扩展到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩展任意角三角函数概念的出现是角的概念发展的必然结果比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“

2、线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此， 可以用角的终边与单位圆的交点的坐标以及坐标的比值来表示任意角的三角函数这样做，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为它的性质的研究带来了方便从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩展的过程，产生了“符号问题” 因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函

3、数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用解决这一重点的关键， 是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说， “角是实数” ，三角函数是定义在实数集上的函数各种不同的三角函数定义

4、了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、 运动、变化、对应等数学思想方法二目标和目标解析本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义学生已经学习过锐角三角函数sin，cos，tan，了解三角函数是直角三角形中边长的比值， 这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素这是任意角三角函数概念的“生长点”理解任意角三角函数（正弦、余弦、 正切） 定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值扩展到点的坐标或坐标的比值因此， 对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三

5、角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的要实现让学生 “理解” 任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让学生参与任意角三角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载函数定义的过程让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸让学生参与定义，感受任意角三角函数定义的合理性，感受到这个定义是自然的既然锐角集合是任意角集合的子集，那么，锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况，是一个包含关系三教学问题诊断分析从锐角三角函数到任意角

6、三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习” ，是一个从特殊到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让学生“再创造”抽象程度高的上位概念（参与定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上，尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者

7、尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）因为学生刚刚接触弧度制， 未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么可以在复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，2）内的角，以便分散这个难点四教学支持条件分析利用几何画板软件，可以动态改变角的终边位置，从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，便于学生认识任意角的位置的改变，所对应的三角函数值也改变的特点，体验运动、变化、 对应的思想； 感受终边相同的角具有相同的三角函数值；也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况，加深对任意角三角函数概念的理解，

8、增强教学效果五教学过程设计1理解锐角三角函数要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数锐角三角函数是任意角三角函数的先行组织者问题 1：任意画一个锐角，借助三角板，找出sin的近似值教师用几何画板任意画一个锐角要求学生自己任意画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角的对边长、斜边长，计算比值意图： 复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础突出：（1）与点的位置的选取无关；（2）是三角形中线段长度的比值（对边斜边） 问题 2：sin 是直角三角形中，角的对边长与斜边长的比值根据相似三角形性质，这个比值与所画点的位置无关你认为，哪条边画成单

9、位长方便呢？意图：把斜边画成单位长，比较方便这样，对边的长度值就可以作为sin了为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做准备cos的计算也方便sin，cos，tan三个中主要是前两个，tan并不独立， tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载sincos问题 3：三角函数就只有三个吗？意图：引导学生发现问题、提出问题应该有 6 个三条边相互比，应该有6 个比除了sin对边斜边，cos 邻边斜边，tan对边邻边， 其余还有： csc 斜边对边（cosecant） ，sec斜边邻边（secant） ，co

10、t邻边对边（cotangent） 虽然这些不是“新课程标准”所要求的，考试也不会考，但是，应该引导学生勤于思考，逐步学会提出问题、研究问题给学生一个“底”，这对于完善知识结构有好处问题 4：sin称为角 的正弦函数 “函数”自然有定义域，定义域是什么？意图：从初中的锐角（角度制），引导到弧度制，也就是（0，2）这个区间内的实数分散难点，减少在讨论任意角三角函数的定义域时的障碍2任意角三角函数定义的“再创造”教师利用几何画板，把角 的顶点定义为原点，一边与 x 轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角问题 5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0360内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系

11、中，使得角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合在这样的环境中，你认为，对于任意角，sin怎样定义好呢？意图：这个问题并不显得突然可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，发展思维另一方面，抓住正弦函数这个特殊函数，先解剖这个“麻雀”有两种可能的回答可能 1：在 的终边上任意画一点P（x， y） ，|OP|rsinyr这一定义是锐角三角函数定义的自然延伸，锐角三角函数成了它的特殊情况如果出现以上的情况，则再问“都是这样的吗？”（企图引导单位圆定义法）如果直接出现以下的“可能2” ，则以势而下 （因为前面已经有引导，取r 为特殊值比较好，而

12、且教师的问题中还包括“怎样定义好”）可能 2： （取 r 为单位长）设角的终边与单位圆的交点为P（x， y） siny， cosx，tan yx3任意角三角函数的定义域问题 6：siny，称为 的正弦函数，那么，这个函数的定义域是什么？意图：三角函数也是函数，自然应该关心它的定义域先讨论正弦函数我们已经建立了角的弧度值，角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系，因此， 这个函数的定义域是R，即一切实数引导以弧度制表示它的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载问题 7：cosx，tanyx的定义域分别

13、是什么？意图：利用定义，抓住“坐标”，再讨论余弦函数、正切函数的定义域cosx，定义域也是一切实数tanyx（ x0）的定义域是 | 2k，kZ，R 4任意角三角函数的认识（对定义的体验）（1）认识到终边位置相同的角所有三角函数值都相等问题 8： （连续口头提问）指出下列函数值：sin6；sin136；sin（116） 意图：角的终边位置决定了三角函数的大小终边位置相同的角所有三角函数值都相等于是有sin（ 2k） sin，cos（2k） cos，tan（2k） tan （其中 kZ）（2）认识三角函数在各象限中的符号问题 9：当 在哪几个象限时，sin0？为什么？角 的哪些三角函数值在第二、

14、三象限都是负数？为什么？cos在各象限中的符号情况怎样？tan呢？tan在哪些象限中取正数？为什么？意图：运用定义（突出“坐标”）解决问题（3）通过求角的三角函数值进一步体验任意角三角函数的定义问题 10：求76的正弦、余弦、正切值；若 32，请说出sin，cos，tan；说出几个使得cos1 的的值意图：运用定义解决问题阶段小结：（1）方法：抓住各三角函数的定义不放；（2）知识：各象限中三角函数的符号特点，特殊角的三角函数值，等5练习（ 1）确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：cos260；sin（3） ；tan（5） （ 2）求下列三角函数值：精选学习资料 - - - - - -

15、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载cos174；tan（236） ；sin（1140） 6小结通过问题小结问题 11：等会儿就下课了，你走出教室，有人问你：“过去你就知道了锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？意图：突出锐角三角函数是三角形中边长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值这是本节课的核心收获还有其他收获吗？如任意角三角函数的定义域；任意角三角函数关注角的终边位置，终边相同的角所有三角函数值都相等；各象限三角函数的符号，等六目标检测设计（ 1）54，写出 的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tan的值（ 2）求下列三角函数的值：cos（236） ；tan（256） （ 3）角 的终边与单位圆的交点是Q，点 Q 的纵坐标是12，说出几个满足条件的角（ 4）点 P（3， 4）在角 终边上，说出sin，cos，tan分别是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页