2022年第五章平面向量阶段质量检测 .pdf

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1、优质资料欢迎下载第五章平面向量一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 a(2cos ，1)， b(sin ，1)，且 ab，则 tan 等于() A2B.12C 2 D12解析： ab， 2cos 1sin ，tan 2. 答案： A 2若点 P 分有向线段AB所成的比为13，则点 B 分有向线段PA所成的比是 () A32B12C.12D3 解析： 由条件得AP13PB，则APPB13PBPB，即AB23PB，PB32AB32BA，故 B 分PA的比为32. 答案： A 3若将函数y cos(x3)的图象按向量a 平移

2、后得到函数ysinx 的图象，则a 可以为() A(6，0) B(6，0) C(56，0) D(56，0) 解析： 设向量 a(m，n)，在函数ycos(x3)的图象上任取一点(x，y)，设其按向量a 平移后得到点(x，y)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页优质资料欢迎下载则 y cos(x3)，ysinx，又 xmxyny，ynsin(xm)， ysin(x m)n，而 y cos(x3)，n0，又 y cos(x3)cos(3x) sin2k 2(3x)sin(2k 6 x) sin(xm)，kZ， m 2k

3、 6，kZ.结合选项，只有B 选项符合答案： B 4若在 ABC 中， |AB|3，|BC|5，|AC|4，则 |5ABBC|() A410 B285 C2 10 D.190 解析 ：根据三边边长易知ABC 为直角三角形cosAB，BC35. |5ABBC|225|AB|2|BC|210|AB| |BC|cosAB，BC 160. |5ABBC| 4 10. 答案 ：A 5在 ABC 中，角 A，B 所对的边长为a，b，则“ ab”是“ acosAbcosB”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析： a b? AB? acosAbcosB，条件是充分的；

4、acosAbcosB? sinAcosAsinBcosB? sin2Asin2B? 2A2B 或 2A2B ，即 AB 或 AB2，故条件是不必要的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页优质资料欢迎下载答案： A 6(文 )如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为() A.518B.34C.32D.78解析： 设等腰三角形的底边为a，顶角为 ，则腰长为2a. 由余弦定理得cos 4a2 4a2a28a278. 答案： D (理)ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为(

5、) A.9 22B.924C.9 28D92 解析： 由余弦定理得：三角形第三边长为22322 23133，且第三边所对角的正弦值为1132223，所以 2R3223? R928. 答案： C 7(2010 济南模拟 )已知 A(a,0)，B(0， a)(a0)，AP tAB(0t1)，O 为坐标原点，则 |OP|的最大值为() A.32aB.22aC.12aDa解析： 由题意知，OPtOB (1t) OA(ata， ta)， |OP|2t22t1 a2(t12)212 a 当 t 0 或 1 时， |OP|取得最大值a. 答案： D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

6、总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页优质资料欢迎下载8若平面向量a(1,2)与 b 的夹角是180 ，且 |b|3 5，则 b 的坐标为() A(3， 6) B(3,6) C(6， 3) D (6,3) 解析 ：由题意设b a (1,2)由 |b|3 5得 29. 3. 因为 a 与 b 的夹角是180 .所以 3. 答案 ：A 9(文 )设向量 a 与 b 的夹角为 ，a(2,1)，a2b (4,5)，则 cos 等于() A.1010B.31010C.35D.45解析 ：设 b(x，y)，因为 a(2,1)， a2b (2,1)2(x， y) (22x,12y)(4,5

7、)，即 2 2x4,12y5，解得： x1，y2，即 b(1,2)，故 cos a b|a|b|(2， 1) (1，2)552112545. 答案 ：D (理)已知 |a|2|b|，且 b0，若关于x 的方程 x2|a|xa b0 有两相等实数根，则向量 a 与 b 的夹角是() A6B3C.3D.23解析 ：由关于x 的方程有两个相等实数根可得 |a|24a b0? a b|a|24，cosa，ba b|a| |b|a|24|a|2212，又 a， b0， ， a， b23. 答案 ：D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共

8、 12 页优质资料欢迎下载10 已知非零向量AB，AC和BC满足ABACABACBC0， 且ACACBCBC22，则 ABC 为() A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形解析 ：ABAB、ACAC、BCBC均为单位向量由ABACABACBC0，得 |AB|AC|. 由ACACBCBC11cosC22，得 C45 . 故三角形为等腰直角三角形答案 ：D 11如图， AB 是半圆 O 的直径， C，D 是弧 AB 的三等分点， M，N 是线段 AB 的三等分点，若OA6，则MDNC的值为() A13 B26 C18 D36 解析 ：MDNC (ODOM) (OCON)ODO

9、COMOCODONOMON6 6cos60 62cos120 62cos120 22cos180 26. 答案 ：B 12设 a(a1，a2)，b(b1，b2)定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2) (a1b1，a2b2)已知 m2，12，n3，0，点 P(x，y) 在 ysinx 的图象上运动，点 Q 在 yf(x)的图象上运动， 满足OQmOPn(其中 O 为坐标原点 )，则 yf(x)的最大值 A 及最小正周期T 分别为() A2，B2,4C.12，4D.12， 解析 ：设 Q(x0， y0)，OQ(x0，y0)，OP(x，y)，精选学习资料 - - - - - - - - -

10、 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页优质资料欢迎下载OQmOPn， (x0，y0) 2，12(x，y)3，0 2x，12y 3，0 2x3，12y ，x0 2x3，y012y，?x12x06，y 2y0.代入 ysinx 中得， 2y0sin12x06，所以最大值为12，周期为4 . 答案 ：C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上13已知点P 分有向线段AB的比是13，则点 B 分有向线段AP的比为 _解析 ：如图所示，由于P 分AB的比为13，AP13PB. ABAPPB13PBPB43PB43BP，故 B 分有向线段

11、AP的比为43. 答案 ：4314 (文)若向量 a(12 ，23 )与 b(4,1)共线，则 _. 解析 ：依题意得4(23 )(12 )0，由此解得 12. 答案 ：12(理)已知 a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数 _. 解析 ：(ab)b， (ab) ba bb2 15 0， 15. 答案 ：1515已知平面向量a， b，c 满足 abc0，且 a 与 b 的夹角为135 ，c 与 b 的夹角为120 ，|c|2，则 |a|_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页优质资料欢迎下载解析 ： 根据已

12、知条件， 组成以 |a|，|b|，|c|为边长的三角形， 由正弦定理得|a|sin(180120 )|c|sin(180 135 )，又 |c| 2，所以 |a|6. 答案 ：6 16在直角坐标系xOy 中，i、j 分别是与x 轴， y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，ABij，AC2imj，则实数m_. 解析 ：本题考查了向量的运算由已知可得BCACABi(m 1)j. 当 A90 时，ABAC(ij) (2imj) 2m0，m 2. 当 B90 时，BABC (ij) i (m1) j (1m1) m 0，m0. 当 C90 时，CACB (2imj) i(m1)j2m(m1)m2

13、m20，此时 m 不存在故m0 或 2. 答案 ：0 或 2 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (本小题满分10 分)如图，在平行四边形ABCD 中， M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知AM c，ANd，试用 c，d 表示AB，AD. 解：法一 ：设ABa，ADb，则 aANNBd (12b)，bAMMDc (12a)，将 代入 得 ad(12)c (12a) ? a43d23c，代入得 b c(12)(43d23c)43c23d. 故AB43d23c，AD43c23d. 法二： 设AB a，ADb.因 M，N 分别为 CD，BC 中点，

14、所以BN12b，DM12a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页优质资料欢迎下载因而cb12ada12b?a23(2dc)b23(2cd)，即AB23(2dc)，AD23(2cd)18 (本小题满分12 分)(2010 黄冈模拟 )已知 ABC 中， AB8，AC3，BC7，A 为圆心，直径 PQ4， 求BPCQ的最大值、 最小值，并分别指出取得最值时CB与PQ夹角的大小解： 在ABC 中，由余弦定理知cosBAC8232 7228312，故 BAC60 . 所以BPCQ(BAAP) (CAAQ) BACAAPAQA

15、PCABAAQ 124AQ (BAAC)8AQBC 812PQBC故BPCQ的最大值为8124722，此时BP与PQ夹角为 0. BPCQ的最小值为8124 7 6，此时BC与PQ夹角为 . 19 (本小题满分12 分)在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，已知向量 m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA)，且满足mn， bc3a. (1)求角 A 的大小；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页优质资料欢迎下载(2)求 sin B6的值解 ：(1)mn，1cosA2sin2A，即 2cos

16、2AcosA 10，解得 cosA 1(舍去 )，cosA12.又 0A ，A3. (2)bc3a， 由正弦定理可得sinBsinC3sinA32. 又 C (AB)23B，sinB sin23 B 32，即32sinB32cosB32，sin B632. 20 (本小题满分12 分)如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45 的方向做匀速直线航行，速度为 152海里 /小时，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南 40 海里处的B 岛出发，朝北偏东 (tan 12)的方向作匀速直线航行，速度为 105海里 /小时(1)求出发后3 小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最

17、近距离为多少海里？解： 以 A 为原点， BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系设在 t 时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)则x1152tcos45 15ty1x1 15t，由 tan 12可得，cos 2 55，sin 55，故x2105tsin 10t，y2105tcos 4020t40.(1)令 t3， P、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ|(4530)2(4520)2850534. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页优质资料欢迎下载即出发后3 小时两

18、船相距5 34海里(2)由(1)的解法过程易知：|PQ|(x2x1)2(y2y1)2(10t15t)2(20t4015t)250t2400t1 600 50(t4)2800202，当且仅当t4 时， |PQ|取得最小值202. 即两船出发后4 小时时，相距202海里为两船的最近距离21 (本小题满分12 分 )已知 ABC 的面积为S，满足3S3，且ABBC6，AB与BC的夹角为 . (1)求角 的取值范围；(2)求函数 f( )sin2 2sin cos 3cos2的最小值解： (1)由题意知，ABBC |AB| |BC|cos 6，S12|AB| |BC|sin( )12|AB| |BC|

19、sin ，由，得S612tan ，即 3tan S. 由3S 3，得33tan 3，即33tan 1. 又 为AB与BC的夹角， (0， ， 6，4(2)f( )sin2 2sin cos 3cos2 1sin2 2cos2 2sin2 cos2 22sin(2 4) 6，4， 2 4712，34， 当 2 434，即 4时， f( )取得最小值为3. 22 (本小题满分12 分)已知向量a(3cosx， cosx)，b(0，sinx)，c(sinx，cosx)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页优质资料欢迎下载

20、d(sinx， sinx)(1)当 x4时，求向量a、b 的夹角；(2)当 x0，2时，求 c d 的最大值；(3)设函数 f(x)(ab) (cd)，将函数f(x)的图象按向量m 平移后得到函数g(x)的图象，且 g(x)2sin2x1，求 |m|的最小值解： (1)x4， a (62，22)，b(0，22)，则 a b (62，22) (0，22)12，cosa，ba b|a| |b|1222212， 向量 a、b 的夹角为3. (2)c d(sinx，cosx) (sinx，sinx)sin2xsinxcosx1cos2x2sin2x21212(sin2xcos2x) 1222sin(2

21、x4) x0，2， 4 2x434. 当 2x42，即 x38时，c d 取最大值212. (3)f(x) (a b) (cd) (3cosx， cosxsinx) (2sinx，sinxcosx) 2 3sinxcosxcos2xsin2x3sin2x cos2x2sin(2x6)设 m(s，t)，则g(x)f(xs)t2sin2( xs)6t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页优质资料欢迎下载 2sin(2x2s6)t2sin2x1， t1，sk 12(kZ)易知当 k0 时， |m|min21441. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页