2022年第五章系统的稳定性机械工程控制基础教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案Chp.5系统稳定性基本要求1了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2掌握 Routh 判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh 判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3掌握 Nyquist 判据；4理解 Nyquist 图和 Bode 图之间的关系；5掌握 Bode 判据；6理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。重点与难点本章重点1Routh 判据、 Nyquist 判据和 Bode 判据的应用；2系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist 图和 Bode

2、 图的表示法。本章难点 Nyquist 判据及其应用。1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。（图 5.1.2）讨论：线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输入量种类、性质无关。系统不稳定必伴有反馈作用。（图 5.1.3）若 x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。将 X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) 稳定若反馈加强E(s) 不稳定稳定性是自由振荡下的定义。即 xi(t)=0 时，仅存在xi(0-)或 xi(0+) 在

3、xi(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。2、系统稳定的条件：对anpn+an-1pn-1+a1p+a0 x0(t)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0 xi(t)令 B(s)= anpn+an-1pn-1+ a1p+a0 A(s)= bmpm+bm-1pm-1+ b1p+b0初始条件： B0(s) A0(s)则 B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)Xi(s)- B0(s)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀教案Xi(s)=0,由初始条件引起的输出： L-1变换根据稳定性定义，若

4、系统稳定须满足，即 zi为负值。系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极点全部位于 s 复平面的左半部。讨论：特征根中有一个或以上的根的实部为正系统不稳定；临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。若，则系统不稳定。零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统本身的固有特性。稳定性判定方法：a)直接求解出特征方程的根（高阶困难）b)确定特征根在 s 平面上的分布：时域： Routh 判据，胡尔维茨判据频域： Nyquist判据， Bode判据2 劳斯（ Routh）判据Routh 判据在特征方程系数和根

5、之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。一、必要条件：特征方程： B(s)= anpn+an-1pn-1+a1p+a0=0必要条件： B(s)=0 的各项系数ai符号均相同，且不等于0;或 an 0 an-10 a1 0 a00 （证明）二、充要条件：（Rough稳定性判据）： 1 、Rough表：将特征方程系数排成两列：偶： an an-2 an-4 an-6奇： an-1 an-3 an-5 an-7 Rough数列表： （p.124 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀教案 sn an a

6、n-2 an-4 an-6 a0sn-1an-1 an-3 an-5 an-7 a1 0sn-2 A1A2A30 sn-3B1B2B30 s00 0 0 2、判据：Rough列表中第一列各项符号均为正且不等于0若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。例 1，已知系统特征方程 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0 试判定其稳定性。解：a4=1 a3=8 a2=17 a1=16 a0=5 (过程 ) ai0 （ i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1 ，8，15，13.3,5)均大于 0，故系统稳定。例 2，已知系统特征方程 B(s)=s3-4s2+s+6=

7、0 试判定其稳定性。解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳定的根？(过程 ) 有二个负实根，实际上s3-4s2+s+6=（s-2 ） (s+1)(s-3)例 3，已知系统试判定其稳定性。解： B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0 (过程 ) 符号改变二次，存在两个不稳定的根。例 4， 设有系统方框图如下，已知 =0.2， n=86.6， 试确定 k 取何值时， 系统方能稳定。 (p.126图) (过程 ) 三、特殊情况：1、Rough列表中任一行第一项为0，其余各项不为0 或部分不为0。造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行Rough计算。措施：以任一

8、小正数代替 0 的那一项，继续计算。例： B(s)=s3-3s+2=0 （求解）若用 代替后，系统Rough列表第一列均为正，临界稳定（共轭虚根）用因式（ s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行Rough计算后判断（ A为任意正数）。例： B(s)=s3-3s+2=0 （求解，取a=3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀教案2、Rough列表任一行全为0。原因：系统特征方程的根出现下列一种或多种情况时会发生。具有相异符号的实数根（如s=2）；虚根时（如s=j5 ）；共轭复数根时（如）解决：利用全为0

9、 这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程（辅助方程）；对辅助方程取导数得一新方程；以新方程的系数取代全为0 的哪一行，继续进行Rough计算。例： B(s)=s4+s3-3s2-s+2=0 （求解）例： B(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0 （求解）3 Nyquist判据时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用； 时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：图解法：由几何作图判定系统稳定性；由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法或实验法获得）；可

10、判断系统相对稳定性；可指出各环节对系统稳定性的影响。一、预备知识： 1、三种函数的零、极点关系：（Gk(s)、GB(s)、F(s) ）(图 5.3.1)Gk(s)=G(s)H(s) F(s)=1+ G(s)H(s) zi： Gk(s)的零点；pi：Gk(s)的极点。上述各函数零点和极点的关系：（p.131）结论：闭环系统稳定充要条件为GB(s)全部极点具有负实部F(s)函数的全部极点均具有负实部，即通过Gk(s)= G(s)H(s) 判断 GB(s)的稳定性。2、映射概念：设函数 F(s)=Re(s)+jIm(s) 而 s=+j 两个函数： F(s)，s 两个复平面： F(s) ， s s 上

11、的每一个点对应 F(s) 上有一个映射的点，称为像点或映射轨迹。例：已知F(s)= s2，求 s=1+j2 的像点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编优秀教案F(s)= s2=（ 1+j2）2 =-3+ j4 即 s 平面上点（ 1，j2 ）在 F(s) 复平面上的像点为 -3， j4 (tu 2)3、映射定理（幅角原理）：设 F(s)为一有理数， 设 Ls为 s 平面上的一封闭曲线（看成点的封闭轨迹）， LF为 F(s)平面上的对应曲线，则：Ls在 F(s) 平面上的映射轨迹LF，也必然是一条封闭曲线。(t

12、u 2)若 Ls包围了 F(s)的 zi个零点和 pi个极点，则Ls上某动点s 沿 Ls顺时针方向转一周时，它在 B(s) 上的映射轨迹LB将会顺时针方向包围OB原点 N次（N=z-p）。(tu 2)二、 Nyquist判据： 1 、映射定理的推广：F(s)=1+ G(s)H(s) 为有理数，满足映射定理。在 s 上，当s 按顺时针方向沿整根虚轴（-j +j）及R= 的半径组成的封闭曲线Ls（实际上为 s平面的右半部）转一周时，若虚轴上无F(s)的极点，则在Ls在 F(s) 平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点OB共 N次。 (tu 2)根据闭环系统稳定充要条件，特征方程F(s)=0 的

13、根均为负实数或实部为负的复数，即F(s)在 s 平面右半部无零点，系统稳定下的映射为N=-p复平面下系统稳定的充要条件：若 s虚轴上无F(s)=1+ G(s)H(s) 的极点，则当s 沿-j +j按顺时针方向转一周时，其在 F(s) 平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点 OB共 N次，系统才能稳定，否则就不稳定。 2 、N=-p 含义的变通：N=-p 的实质就是利用特征函数F(s)=1+ G(s)H(s) 的零、极点分布来判定系统是否稳定，实用上不方便，希望判据建立在开环基础上。含义变通：在N=-p 中的 F(s)的极点数p，理解为开环G(s)H(s)的极点数；将 F(s) 平面转换成

14、G(s)H(s) 平面； F(s) 的原点就是 G(s)H(s) 的（ -1 ，j0 ）点。令 s=j ，则 s 取值 -j +j，变成 取值 - +。通过上述转换，将N=-p 含义重新引申为： N：开环G(s)H(s)轨迹包围（ -1 ， j0 ）点的次数，即开环轨迹顺，逆时针方向包围（-1 ，j0 ）点次数之代数和。 P: 开环 G(s)H(s)在 s平面右半部的极点数。 2 、Nyquist判据：充要条件：当 取值 - +时，其开环G(j )H(j )轨迹必须逆时针包围（-1 ，j0 ）点 p 次，则系统稳定，否则就不稳定。讨论： a) Nyquist判据在 GH 平面上判断；过程： s

15、 上 Nyquist轨迹映射到 GH 上的 Nyquist轨迹 G(j )H(j )，根据 G(j)H(j )包围（ -1 ，j0 ）点的次数来判断系统的稳定性。 b) 应用简单： 一般开环系统为最小相位系统，p=0， 故只需看开环Nyquist图是否包围（ -1 ，j0 ）点，不包围则稳定。若开环系统为非最小相位系统，p0（开环不稳定），则看Nyquist图是否逆时针包围（-1 ，j0 ）点 p 圈。 c) 开、闭环稳定性关系：开环不稳定，闭环可能稳定开环稳定，闭环可能不稳定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精

16、编优秀教案 d) 绘制开环 =0 +的 Nyquist图即可判断。原因：开环Nyquist图对实轴对称。三、对虚轴存在极点的处理：Nyquist判据中规定开环Gk(s)中不能含有s=0 和 s=jk（k 为实数）的极点，否则，这些极点处的幅角是个不确定值，因而，这些点的映射轨迹也不确定。但工程上大多数Gk(s)会含有 s=0 或 s= jk 的极点，此时，Nyquist判据仍可使用，但需对Ls曲线修正。四、应用举例：1、开环稳定，判断闭环稳定性：Gk(s)在 s 右半部无极点， p=0，则=0 +时 Gk(j)不包围（ -1 ，j0 ）点，即 N=0，则系统稳定，否则就不稳定。例 1，0 型系

17、统例 2，0 型系统例 3，型系统例 4，型系统例 5，型系统2、开环不稳定，判断闭环稳定性：对 p0，若需闭环稳定，则N=-p，即在 取值 - +时， Gk(j)逆时针包围（ -1 ，j0 ）点 p 次。例：高阶系统四、典型环节对系统稳定性的影响：1、比例环节G(s)=k 若 Gk(j)-180o, 则 k 无论如何变化，系统总是稳定的；Gk(j)-180o, 则 k Gk(j)随之增大，可能包围（-1 ，j0 ）点。2、惯性环节高频时（ ）， G(j ) -90o, 增加了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定不利，惯性环节越多，系统越难稳定。3、导前环节G(s)=Ts+1 高频时（ ），

18、G(j ) +90o, 减少了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定有利。若系统需较多惯性环节时，用导前环节保持其稳定性。4、积分环节精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编优秀教案高低频均产生90o滞后幅角，对系统稳定性影响大。积分环节越多，系统越不容易稳定。措施：增加导前环节，增加内部负反馈或降低系统“型”号。5、延时环节G(s)=e-s不改变原系统的副频特性，仅使系统的相频特性变化。4 系统的相对稳定性绝对稳定性判断出系统属于稳定、不稳定或临界稳定，还不能满足设计要求，应进一步知道稳定或不稳定的程度，即稳定或不

19、稳定离临界稳定尚有多远，才能正确评价系统稳定性能的优劣，此即相对稳定性。一、系统相对稳定性的两个指标： 1 、两种坐标对应关系：Gk(j)可用极坐标（ Nyquist图）和对数坐标（Bode 图）表示，二者有对应关系： a) 极：单位圆对：零分贝线（幅频特性）相当于： GH=1 20lg GH=0dBb)极：负实轴对：-180o水平线（相频特性）原因：负实轴上的每一点的幅角都等于-180o c) 极：开环轨迹与单位圆的交点c对：幅频特性曲线与零分贝线的交点。交点 c 处的频率 c称为剪切频率、幅值穿越频率、幅值交界频率。 d) 极：开环轨迹与负实轴的交点g对：相频特性曲线与-180o水平线的交

20、点。交点 g 处的频率 g称为相位穿越频率、相位交界频率。2、幅值和相位裕量：幅值和相位裕量是衡量系统离临界稳定有多远的两个指标。 (1)幅值裕量Kg：定义：在相位交界频率g处 Gk(j) 的倒数。在对数坐标上，讨论：a)若 G(j g)H(j g) 1,Kg1, 即 Kg(dB) 0系统具有正幅值裕量。若 G(j g)H(j g) 1,Kg1, 即 Kg(dB) 0系统具有负幅值裕量。b)对最小相位系统p=0，正幅值裕量对应的开环轨迹不包围（-1，j0），闭环稳定，负幅值裕量对应的开环轨迹包围（-1， j0），闭环不稳定。c)Kg实际上是系统由稳定（或不稳定）到达临界稳定点时，其开环传递函数

21、在g处的幅值 G(j g)H(j g)需扩大或缩小的倍数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀教案d)一阶、二阶系统幅值裕量为无穷大。原因：其开环轨迹与GH 平面的负实轴交于原点，1/Kg=0 (2) 相位裕量 ：定义：在 c处，使系统达到临界稳定所需附加的幅角滞后量（或超前量）。=G(j c)H(j c)- （-180o） =180o+( c)若0 称正相位裕量（正稳定性储备） 必在 Bode相位图横轴（ -180o线）以上，在Nyquist图负实轴以下（第三象限）；若0 称负相位裕量（负稳定性储备） 必

22、在 Bode相位图横轴（ -180o线）以下，在Nyquist图负实轴以上（第二象限）。（3）几点说明： a)Kg、作为设计指标，对最小相位系统，只有Kg、 都为正时，闭环系统才稳定；Kg、都为负时，闭环系统不稳定。b)为确定系统相对稳定性，必须同时考虑Kg和。c)为使系统满意工作，一般：Kg(dB) 6 dB =30o60 o G(j c)H(j c)=- 150o-120 o二、对数判据（Bode判据）：在 Bode图上判断系统稳定性。1、对最小相位系统p=0在 Bode图上，若 c g（c在g左方）闭环稳定；cg（ c在g右方）闭环不稳定；c=g 临界稳定。2、对一般系统p0: 用“穿越

23、”概念判断。(tu 2) a) “穿越”的两个要素：幅值大于 1：即幅频特性上的与横轴相交的左侧段；幅角 -180o ：即相频特性上的-180o水平线。 b) 正负穿越：正穿越：在0c范围内，相频曲线自下而上穿过-180o水平线。（幅角滞后减少）负穿越：在0c范围内，相频曲线自上而下穿过-180o水平线。（幅角滞后增加）c) 判据：在Bode 图上，在0c范围内（即开环对数幅频特性不为负值的范围内）正穿越和负穿越 -180o水平线的次数之差为p/2 ，则系统稳定。 d)讨论：正半次穿越和负半次穿越；存在多个 c(tu 2)三、应用举例：例 1，已知系统开环对数坐标图如下，试判断稳定性。例 2、设求 k=10,k=100 的 Kg和例 3、已知二阶系统求相位裕量 与阻尼比 的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页