2022年全国中考数学压轴题全解 .pdf

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1、全国数学中考压轴题汇编（附答案） （一）1、（2009 广西贺州） (本题满分10 分 ) 如图，抛物线2124yxx的顶点为A， 与 y 轴交于点 B（1）求点 A、点 B 的坐标（2）若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PAPBAB（3）当PBPA最大时，求点P 的坐标解： （1）抛物线2124yxx与 y 轴的交于点B，令 x= 0 得 y=2B（0，2） 1 分22112(2)344yxxxA（2，3） 3 分（2）当点 P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，ABPBPA 5 分当点 P 在 x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时，在点 P、A、B 构成的三角形中，ABPBPA

2、综合上述：PAPBAB7 分（3）作直线AB 交 x 轴于点 P，由（ 2）可知：当PAPB 最大时，点P 是所求的点 8 分作 AHOP 于 HBOOP， BOP AHPAHHPBOOP 9 分由（ 1）可知： AH= 3、OH= 2、OB=2，OP= 4，故 P（4，0）10 分2、 （ 2009 龙岩） 26、 （ 14 分）如图，抛物线nmxxy221与 x 轴交于A、B 两点，与y轴交于 C 点，四边形OBHC 为矩形， CH 的延长线交抛物线于点D（5，2） ，连结 BC、AD. （1）求 C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）将 BCH 绕点 B 按顺时针旋转90 后再沿 x 轴对

3、折得到BEF （点 C 与点 E 对应） ， 判断点 E 是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E 的直线交AB 边于点 P，交 CD 边于点 Q. 问是否存在点 P，使直线PQ 分梯形 ABCD 的面积为13 两部分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 解： （1）四边形OBHC 为矩形， CDAB，又 D（5，2） ，B O A x y 第 28 题图B O A x y 第 （1） 证明：P H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 34 页C（0，2） ，OC=2 . 2 分2552122nmn解得225

4、nm抛物线的解析式为：225212xxy 4 分（2）点 E 落在抛物线上. 理由如下：5 分由 y = 0，得0225212xx. 解得 x1=1，x2=4. A（4，0） ，B（1，0） . 6 分OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2， BHC=90 ，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2， EFB=90 ，点 E 的坐标为（ 3， 1）. 7 分把 x=3 代入225212xxy，得123253212y，点 E 在抛物线上 . 8 分（3）法一：存在点P（a， 0） ，延长 EF 交 CD 于点 G，易求 OF=CG=3，PB=a1. S梯形BCGF =

5、 5，S梯形ADGF = 3，记 S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，下面分两种情形：当 S1S2 =13 时，52)35(411S，此时点 P 在点 F（3，0）的左侧，则PF = 3 a，由 EPF EQG，得31EGEFQGPF，则 QG=93a，CQ=3(93a) =3a 6 由 S1=2，得22)163(21aa，解得49a；11 分当 S1S2=31 时，56)35(431S此时点 P 在点 F（3，0）的右侧，则PF = a 3，由 EPF EQG，得 QG = 3a9， CQ = 3 +（3 a9）= 3 a6，由 S1= 6，得62) 163(21aa，解得4

6、13a. 综上所述：所求点P 的坐标为（49，0）或（413，0）14 分法二：存在点P（a，0）. 记 S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求 S梯形ABCD = 8.当 PQ 经过点 F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，此时 S1 S2不符合条件，故a3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34 页设直线 PQ 的解析式为y = kx+b(k0)，则013bakbk，解得331aabak，331aaxay. 由 y = 2 得 x = 3a 6， Q（ 3a6， 2） 10 分CQ = 3a

7、6，BP = a 1，742) 163(211aaaS. 下面分两种情形：当S1S2 = 13 时，841S41ABCD1梯形S= 2；4a7 = 2，解得49a；12 分当 S1S2 = 31 时，6843S43ABCD1梯形S； 4a7 = 6，解得413a；综上所述：所求点P 的坐标为（49，0）或（413，0）14 分说明：对于第（3）小题，只要考生能求出49a或413a两个答案，就给6 分. 3、 （2009 广东湛江） 28已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点 （与点OA、不重合），现将POC沿PC

8、翻折得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PEPF、重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部， 如图， 设OPxADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点PCD、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标C y E B F D A P x O 图A B D F E C O P x y 图第 28 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

9、- - -第 3 页，共 34 页解： （1）由题意知，POCPAD、 均为等腰直角三角形，可得(3 0)(0 3)(41)PCD，、，、， 2 分设过此三点的抛物线为2(0)yaxbxc a，则39301641cabcabc12523abc过PCD、三点的抛物线的函数关系式为215322yxx 4 分（2）由已知PC平分OPEPD，平分APF，且PEPF、重合，则90CPD90OPCAPD ，又90APDADPOPCADPRtRtPOCDAPOPOCADAP，即34xyx 6 分2211414(4)(2)(04)33333yxxxxxx当2x时，y有最大值43 8 分（3）假设存在，分两种情

10、况讨论：当90DPQ时，由题意可知90DPC， 且点C在抛物线上， 故点C与点Q重合，C y E B F D A P x O 图A B D F E C O P x y 图第 28 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 34 页yxBAOP所求的点Q为（ 0，3） 9 分当90DPQ时，过点D作平行于PC的直线DQ，假设直线DQ交抛物线于另一点Q，点(3 0)0 3PC，、( ，)，直线PC的方程为3yx，将直线PC向上平移2 个单位与直线DQ重合，直线DQ的方程为5yx 10 分由2515322yxyxx得16xy或41x

11、y又点(41)( 1 6)DQ，故该抛物线上存在两点(0 3) ( 1 6)Q，、，满足条件 12 分4、 （2009年 大 兴 安 岭 地 区 ）28、 （本小题满分10 分）直线)0(kbkxy与坐标 轴 分 别 交 于A、B两 点 ，OA、OB的 长 分 别 是 方 程048142xx的 两 根（OBOA） ，动点P从O点出发，沿路线OBA以每秒 1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点P的运动时间为t(秒)，OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（3）当12S时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点

12、M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由解： (1) )6 ,0(),0 ,8(BA.各 1 分(2) 8OA，6OB，10ABy x A B E C Q O P D F （Q）第 28 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页当点P在OB上运动时，tOP1，ttOPOAS4821211；.1 分当点P在BA上运动时，作OADP2于点D，有ABAPBODP22ttAP161062，53482tDP1 分51925125348821212ttDPOAS1 分（3）当

13、124t时，3t，)3, 0(1P，1 分此时，过AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；1 分当125192512t时，11t，) 3, 4(2P，1 分此时，)3 ,0(1M、)6,0(2M各1 分5、（2009 年辽宁省锦州市）26. 如图 14，抛物线与x 轴交于 A(x1,0) ，B(x2,0) 两点，且x1x2，与 y 轴交于点C(0,4) ，其中 x1,x2是方程 x2-2x-8=0 的两个根 . (1) 求这条抛物线的解析式；(2) 点 P是线段 AB上的动点，过点P作 PE AC ，交 BC于点 E，连接 CP ，当 CPE的面积最大时，求点P的坐标

14、；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使 QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.26. 解：(1) x2-2x-8=0 ，(x -4) (x+2)=0 . x1=4,x2=-2. A(4,0) ,B(- 2,0). 1 分又抛物线经过点A、B、 C,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c (a 0)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 34 页3 分所求抛物线的解析式为. 4 分(2) 设 P点坐标为 (m,0), 过点 E作 EG x轴于点 G.

15、 点 B坐标为 (-2 ，0) ，点 A坐标 (4,0)，AB=6 ， BP=m+2. PE AC ，BPE BAC. . SCPE= SCBP- SEBP=. . . 7 分又 - 2m 4，当 m=1时， SCPE有最大值3. 此时 P点的坐标为 (1 ，0). 9 分(3) 存在 Q点，其坐标为Q1(1 ，1) ，. 14 分6、（2009 年赤峰市）25、（14 分） 如图，Rt ABC的顶点坐标分别为A （0，） ， B （-1/2 ，） ，C（1，0） ， ABC=90 ， BC 与 y 轴的交点为D，D点坐标为（ 0，） ，以点 D为顶点、 y 轴为对称轴的抛物线过点 B 。（1

16、）求该抛物线的解析式（2）将 ABC沿 AC折叠后得到点B的对应点B1，求证四边形 AOC B1是矩形，冰判断点B1是否在（ 1）的抛物线上。（3）延长 BA 交抛物线于点E，在线段BE 上取一点P，过 P点作x 轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF 23333精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 34 页O 60 204批发单价（元）5批发量（ kg）第 23 题图（ 1）O6 240日最高销量（ kg）80零售价（元第 23 题图（ 2）48 （6，80）（7，40）是平行四边形？若存在，求出点P

17、的坐标，若不存在，说明理由。7、 （ （本题满分14 分） ）23已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（ 2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大解： （1）解：图表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的

18、该种水果，可按 5 元/kg 批发； 3 分图表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4 元/kg 批发3 分（2）解：由题意得：20606054mmwmm（）（，函数图象如图所示7 分由图可知资金金额满足240w300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果8 分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040wm当 m60 时， x 6. 5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40 (6)4yxmx12 分当 x6 时，160y最大值，此时 m80 即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6 元 /kg，当日可获得最大利润160 元14 分解法二：设日最高销

19、售量为xkg（x 60）则由图日零售价p 满足：32040 xp，于是32040 xp金额 w（元）O 批发量 m（kg）300200100204060精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 34 页销售利润23201(4)(80)1604040 xyxx12 分当 x80 时，160y最大值，此时 p6 即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6 元 /kg，当日可获得最大利润 160元 14分8、8、（2009 年北京） 23.已知关于 x 的一元二次方程22410 xxk有实数根，k为正整数 . （1）求k的值；（2

20、）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（ 2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxb bk与此图象有两个公共点时，b的取值范围 . 9、 （2009 年北京 ）24.在ABCD中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90得到线段EF(如图 1) （1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点 （P1不与 C 重合） 时，连结 EP1绕点 E 逆时

21、针旋转90得到线段 EC1.判断直线FC1与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点 E 逆时针旋转90得到线段 EC2.判断直线C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若 AD=6,tanB=43,AE=1, 在的条件下，设CP1=x，S11PFC=y，求y与x之间的函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 34 页数关系式，并写出自变量x的取值范围 . 10、 （ （2009 年北京 ） ）25.如图，在平面直角坐标系xOy中，

22、ABC三个机战的坐标分别为6,0A，6,0B，0, 4 3C，延长AC 到点 D,使 CD=12AC,过点 D 作 DE AB 交BC 的延长线于点E. （1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF，若过 B 点的直线ykxb将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2 倍，试确定 G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。 （要

23、求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）11、 （2009 福建宁德） 26 （本题满分13 分）如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为 P，与 x 轴相交于A、B 两点（点A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是1（1）求 P点坐标及 a的值； （4分）（2）如图（ 1） ，抛物线C2与抛物线C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时， 求C3的解析式；（4分）（3）如图（ 2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转 180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与 x 轴相交于E

24、、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标（5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 34 页解： （1）由抛物线C1：522xay得顶点 P 的为（ -2 ，-5 ） 2 分点 B（1，0）在抛物线C1上52102a解得， a59 4 分错误！未指定书签。（2）连接 PM，作 PHx轴于 H，作 MGx 轴于 G点 P、M 关于点 B 成中心对称PM 过点 B，且 PBMB PBH MBGMGPH5，BGBH3 顶点 M 的坐标为（ 4， 5） 6 分抛物线

25、C2由C1关于 x 轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为54952xy 8 分（3）抛物线C4由C1绕点 x 轴上的点Q 旋转 180得到顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称由（ 2）得点 N 的纵坐标为5 设点 N 坐标为（ m，5） 9 分作 PHx 轴于 H，作 NGx 轴于 G作 PKNG 于 K旋转中心Q 在 x 轴上EFAB2BH6 FG 3，点 F 坐标为（ m+3，0）H 坐标为（ 2，0） ，K 坐标为（ m，-5 ） ，根据勾股定理得PN2NK2+PK2m2+4m+104PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 10 分当 PNF90

26、o时， PN2+ NF2PF2，解得 m443， Q 点坐标为（193，0）当 PFN90o时， PF2+ NF2PN2，解得 m103， Q 点坐标为（23，0） PNNK10NF， NPF90o综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形 13 分y x A O B P M 图 1 C1C2C3图（ 1）y x A O B P N 图 2 C1C4Q E F 图（ 2）y x A O B P M 图(1) C1C2C3H G y x A O B P N 图(2) C1C4Q E F H G K 精选学习资料 - - - - - - -

27、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 34 页13、 （ 2009 兰州） 29.（本题满分9 分）如图， 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为 （ 0，10） ， （8，4） ，点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(3) 在（ 1）中当t为何值时，OPQ的面积

28、最大，并求此时P点的坐标；(4) 如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由解： （1）Q（1，0） 1 分点 P 运动速度每秒钟1 个单位长度 2 分（2） 过点 B 作 BFy 轴于点 F ， BE x 轴于点 E ，则 BF 8，4OFBE1046AF在 Rt AFB 中，228610AB3 分过点 C 作 CG x 轴于点 G ，与 FB 的延长线交于点H 90 ,ABCABBC ABF BCH6,8BHAFCHBF8614,8412OGFHCG所求 C 点的坐标为（14，12） 4 分（3） 过点 P

29、 作 PM y 轴于点 M，PN x 轴于点 N，则 APM ABFAPAMMPABAFBF1 068tA MM P3455AMtPMt，3410,55PNOMtONPMt设 OPQ 的面积为S（平方单位）213473(10)(1)5251010Stttt （0 t 10 ） 5 分说明 :未注明自变量的取值范围不扣分ABCDEFGHMNPQOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 34 页310a0 当474710362()10t时，OPQ 的面积最大 6 分此时 P 的坐标为（9415，5310） 7 分（4）当53t

30、或29513t时，OP 与 PQ 相等 9 分对一个加1 分，不需写求解过程14、 （2009 广东广州） 25.（本小题满分14 分）如图 13，二次函数)0(2pqpxxy的图象与 x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C（0，-1） ， ABC 的面积为45。（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点M（0，m）作 y 轴上午垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。解： （1）OC=1,所以 ,q=-1,又由面积知0.5OCAB=45,得 AB

31、=52设 A（a,0）,B(b,0) AB=b-a=2()4abab=52，解得 p=32,但 p0,所以 p=32。所以解析式为：2312yxx（2）令 y=0，解方程得23102xx，得121,22xx,所以 A(12,0),B(2,0), 在直角三角形 AOC 中可求得AC=52,同样可求得BC=5,， 显然 AC2+BC2=AB2,得三角形 ABC是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为AB=52,所以5544m. （3）存在， ACBC,若以 AC 为底边，则BD/AC, 易求 AC 的解析式为y=-2x-1, 可设 BD的解析式为y=-2x+b， 把 B(2,0) 代入得 B

32、D 解析式为 y=-2x+4 ， 解方程组231224yxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 34 页得 D（52,9）若以 BC 为底边，则 BC/AD, 易求 BC 的解析式为y=0.5x-1, 可设 AD 的解析式为y=0.5x+b ，把 A(12,0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.25 ，解方程组23120.50.25yxxyx得 D(5 3,2 2) 综上，所以存在两点： （52,9）或 (5 3,2 2)。15、 （2009 广东梅州） 23 （本题满分11 分 ）如图 12，已知直线L过点(

33、01)A，和(10)B ，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OPt，OPQ的面积为S，求S关于 t 的函数关系式；并求出当02t时，S的最大值；（3）直线1L过点A且与x轴平行，问在1L上是否存在点C， 使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由解： （1）1yx 2 分（2）OPt，Q点的横坐标为12t，当1012t，即02t时，112QMt，11122OPQStt 3 分当2t时，111122QMtt，11122OPQSttL A O M P B x y L1图 12

34、 Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 34 页11102221112.22tttSttt， 4 分当1012t，即02t时，211111(1)2244Sttt，当1t时，S有最大值14 6 分（3）由1OAOB，所以OAB是等腰直角三角形，若在1L上存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQQC，所以OQQC，又1Lx轴，则C，O两点关于直线L对称，所以1ACOA，得(11)C ， 7 分下证90PQC连CB，则四边形OACB是正方形法一： （i）当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与BC、不重合）

35、时，如图1由对称性，得BCQQOPQPOQOP，180QPBQCBQPBQPO，360()90PQCQPBQCBPBC 8 分（ii ）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图 2，如图 3 12QPBQCB，90PQCPBC 9 分（iii ）当点Q与点B重合时，显然90PQC综合（ i） （ii） （iii ） ，90PQC在1L上存在点(11)C ，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 11 分L A O P B x y L123 题图 - 1 Q C y L A O P B x L123 题图 - 3 Q C 2 1 L A O P B x L123 题图 - 2 Q

36、C 2 1 y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 34 页法二：由1OAOB， 所以OAB是等腰直角三角形，若在1L上存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQQC， 所以OQQC， 又1Lx轴， 则C，O两点关于直线L对称，所以1ACOA，得(11)C ， 7 分延长MQ与1L交于点N（i）如图 4，当点Q在线段AB上（Q与AB、不重合）时，四边形OACB是正方形，四边形OMNA和四边形MNCB都是矩形，AQN和QBM都是等腰直角三角形90NCMBMQNQANOMQNCQMB，又OMMP，MPQN，Q

37、NCQMP，MPQNQC，又90MQPMPQ，90MQPNQC90CQP 8 分（ii ）当点Q与点B重合时，显然90PQC 9 分（iii ）Q在线段AB的延长线上时，如图5，BCQMPQ， 1=2 90CQPCBM综合（ i） （ii） （iii ） ，90PQC在1L上存在点(11)C ，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 11 分L A O P B x y L123 题图 - 1 Q C 23 题图 - 4 L A O M P B x y L1Q C N y L A O P B x L123 题图 - 5 Q C 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

38、纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页法三：由1OAOB， 所以OAB是等腰直角三角形，若在1L上存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQQC，所以OQQC，又1Lx轴，则C，O 两点关于直线L对称，所以1ACOA，得(11)C ， 9 分连PC，|1|PBt，12OMt，12tMQ，22222(1)122PCPBBCttt，2222222211222tttOQOPCQOMMQt222PCOPQC，90CQP 10 分在1L上存在点(11)C ，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 11 分16、 （2009 广东深圳） （9 分）如图，在直角坐

39、标系中，点A 的坐标为（2，0） ，连结 OA，将线段OA 绕原点 O 顺时针旋转120，得到线段OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解： （1）B（1，3 ）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点 B（1, 3 ） ，得33a，（3）因此232 333yxxB

40、 A O y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 34 页（3）如图， 抛物线的对称轴是直线x=1，当点 C 位于对称轴与线段AB 的交点时， BOC的周长最小 .设直线 AB 为 y=kx+b.所以33,320.2 33kkbkbb解得，因此直线 AB 为32 333yx，当 x=1 时，33y，因此点 C 的坐标为（1，3） . （4）如图，过P 作 y 轴的平行线交AB 于 D. 2221()()2132 332 332333333322319 3228PABPADPBDDPBASSSyyxxxxxxxx当 x=

41、12时， PAB 的面积的最大值为9 38，此时13,24P.17（ 2009 广东深圳） 23如图，在平面直角坐标系中，直线l： y=2x8 分别与x 轴， y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心， 3 为半径作 P. （1）连结 PA，若 P A=PB，试判断 P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2） 当 k 为何值时， 以 P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解： （1） P 与 x 轴相切 .直线 y=2x 8 与 x 轴交于 A（4，0） ，C B A O y x D B A O y x P 精选学习资料 -

42、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 34 页与 y 轴交于 B（0， 8） ，OA=4，OB=8.由题意， OP=k，PB=P A=8+k.在 RtAOP 中， k2+42=(8+ k)2，k=3， OP 等于 P 的半径， P 与 x 轴相切 .（2）设 P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结PC，PD 当圆心 P 在线段 OB 上时 ,作 PECD于 E. PCD 为正三角形，DE=12CD=32，PD=3，PE=3 32. AOB= PEB=90 ， ABO=PBE， AOB PEB，3 342,=45AOPEABPBPB即，3 1

43、5,2PB3 1582POBOPB，3 15(0,8)2P，3 1582k.当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得P(0,3 1528)，k=3 1528，当 k=3 1528 或 k=3 1528 时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.18、 （2009 广东）22. 正方形 ABCD 边长为 4，M 、N 分别是 BC 、 CD上的两个动点，当M点在 BC上运动时，保持AM和 MN垂直，（1）证明： RtABM Rt MCN ；（2）设 BM=x ，梯形 ABCN 的面积为y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M点运动到什么位置时，四边形ABCN

44、的面积最大，并求出最大面积；（3）当 M点运动到什么位置时RtABM RtAMN ，求此时 x 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 34 页第22题图NMDCBA（1）证明：四边形ABCD是正方形，B=C=90， ABM+ BAM=90 ABM+ CMN+ AMN=180 ， AMN=90 AMB+ CMN=90 BAM= CMN RtABM RtMCN （2） RtABM Rt MCN ，AB =MCBMCN，即44-xxCN解得：(4)4xxCN1=CN+ABBC2S梯形1(4)y=4424xx, 即：128

45、2yxx又2211128=-4448210222yxxxxx当 x=2 时， y 有最大值10. 当 M点运动到BC的中点时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积是10. （3） Rt ABM RtMCN ，ABBMAMMN，即222416444xxxxx化简得：21620 xx，解得： x=2 当 M点运动到BC的中点时RtABM RtAMN ，此时 x 的值为 2. 19、 （2009 广东来宾） 26 （本小题满分12 分）当 x2 时，抛物线 yax2 bxc 取得最小值 1，并且抛物线与y 轴交于点C （0，3） ，与 x 轴交于点 A、B（1）求该抛物线的关系式；（2）若点 M（x

46、，y1） ，N（x1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与 y2的大小；（3）D 是线段AC 的中点， E 为线段 AC 上一动点（ A、C 两端点除外） ，过点E 作 y轴的平行线EF 与抛物线交于点F问：是否存在 DEF 与 AOC 相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由解： （1）由题意可设抛物线的关系式为ya(x2)21 1 分因为点 C（0，3）在抛物线上所以 3a(02)2 1，即 a 1 2 分所以，抛物线的关系式为y(x2)21x24 x3 3 分A BC D O x y E F 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

47、- -第 20 页，共 34 页（2）点 M（x， y1） ，N（x1，y2）都在该抛物线上y1y2（ x2 4 x3） (x1)24(x1) 332 x 4 分当 32 x0，即23x时， y1y25 分当 32 x0，即23x时， y1y26 分当 32 x0，即23x时， y1y27 分（3）令 y0，即 x24 x30，得点 A（3,0） ，B（1,0） ，线段 AC 的中点为D（23,23）直线 AC 的函数关系式为y x3 8 分因为 OAC 是等腰直角三角形，所以，要使DEF 与OAC 相似， DEF 也必须是等腰直角三角形由于EFOC，因此 DEF 45 ，所以，在 DEF 中

48、只可能以点D、F为直角顶点当 F 为直角顶点时，DFEF，此时 DEF ACO，DF 所在直线为23y由23342xx，解得2104x，32104x（舍去） 9 分将2104x代入 y x3，得点 E（2104，2102） 10 分当 D 为直角顶点时，DF AC，此时 DEF OAC，由于点 D 为线段 AC 的中点，因此， DF 所在直线过原点O，其关系式为y x解 x2 4 x3x，得2135x，32135x（舍去） 11 分将2135x代入 y x3，得点 E（2135，2131） 12 分A BC D O x y E F 3 （第 26 题图）A BC D O x y E F 3 （

49、第 26 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 34 页20、 （黔东南州2009） 26、 （ 12 分）已知二次函数22aaxxy。（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。（2） 设 a0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。（3）若此二次函数图象与x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB 的面积为2133，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。解： （1）因为 =04)2()2(422aaa所以不论a为何实数，此函数图象与x 轴总有

50、两个交点。（2 分）（2） 设 x1、 x2是022aaxxy的两个根， 则axx21，221axx，因两交点的距离是13，所以13)(|22121xxxx。（4 分）即：13)(221xx变形为：134)(21221xxxx（5 分）所以：13)2(4)(2aa整理得：0)1)(5(aa解方程得：15或a又因为： a0 所以： a=1 所以：此二次函数的解析式为32xxy（6 分）（3）设点 P的坐标为),(0yxo，因为函数图象与x 轴的两个交点间的距离等于13，所以： AB=13（8 分）所以： SPAB=213|210yAB所以：2132|130y即：3|0y，则30y（10 分）当3