2022年第四章平面向量数系的扩充与复数的引入质量检测 .pdf

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1、优质资料欢迎下载第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！) (时间 120 分钟，满分150 分) 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1(2009 天津高考 )i 是虚数单位，5i2i() A12iB 12i C12i D 12i 解析 ：5i2i5i(2 i)(2i)(2 i) 12i. 答案 ：D 2已知向量a(5,6)，b(6,5)，则 a与 b () A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向解析 ：已知向量a( 5,6)， b(6,5)， a b 3030

2、0，则 a 与 b 垂直答案 ：A 3(2010 利辛模拟 )已知向量a(2,3)，b(1,2)，若 (mab)(a 2b)，则实数m( ) A.14B12C.36D.34解析： mabm(2,3)(1,2)(2m1,3m2)，a2b(2,3)2(1,2)(4， 1) (ma b) (a2b) 12m(3m2)4. m12. 答案： B 4 如图，已知ABa，ACb，BD3DC， 用 a， b 表示AD， 则AD等于() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优质资料欢迎下载Aa34bB.14a34bC.14a14bD.

3、34a14b解析 ：ADABBDAB34BCAB34(ACAB)14AB34AC14a34b. 答案 ：B 5若在 ABC 中， |AC|3，|BC|5，|AC|4，则 |5ABBC|() A4 10 B285 C2 10 D.190 解析 ：根据三边边长易知ABC 为直角三角形cosAB，BC35. |5ABBC|225|AB|2|BC|210|AB| |BC|cosAB，BC 160. |5ABBC|4 10. 答案 ：A 6 (2010 鞍山模拟 )已知复数z1i， 则z22zz1等于() A2i B 2i C2 D 2 解析 ：z22zz1(1i)22(1i)1i12i22ii2i.

4、答案 ：A 7已知命题：“若k1ak2b 0，则 k1k20”是真命题，则下面对a，b 的判断正确的是() Aa 与 b 一定共线Ba 与 b 一定不共线Ca 与 b 一定垂直D a 与 b 中至少有一个为0 解析 ：假设 a 与 b 共线，由已知得k1a k2b，如果 a、b 均为非零向量，与已知条件矛盾如果a、b 中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把 k1ak2b0 两边平方得21ka222kb22k1k2a b0，因为 k1k20，所以 a b不一定等于 0，排除 C. 答案 ：B 8若平面向量a(1,2)与 b 的夹角是180 ，且 |b|3 5，则 b 的坐标为()

5、 A(3， 6) B(3,6) C(6， 3) D(6,3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优质资料欢迎下载解析 ：由题意设ba (1,2)由|b|35得 29. 3. 因为 a 与 b 的夹角是180 .所以 3. 答案 ：A 9(2010 黄冈模拟 )已知 A、B、C 是锐角 ABC 的三个内角， 向量 p (1sinA,1cosA)，q(1sinB， 1cosB)，则 p 与 q 的夹角是() A锐角B钝角C直角D不确定解析： 锐角 ABC 中， sinAcosB0，sinB cosA0，故有 p q(1s

6、inA)(1sinB)(1cosA)(1cosB) 0，同时易知p 与 q 方向不相同，故 p 与 q 的夹角是锐角答案： A 10 已知非零向量AB，AC和BC满足ABACABAC+AC0， 且ACACACBC22，则 ABC 为() A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形解析 ：ABAB、ACAC、BCBC均为单位向量由ABACABAC+BC 0，得 |AB|AC|. 由ACACBCBC11cosC22，得 C45 . 故三角形为等腰直角三角形答案 ：D 11如图， AB 是半圆 O 的直径， C，D 是弧 AB 的三等分点，M， N 是线段 AB 的三等分点，若OA

7、6，则MDNC的值为() A13B26 C18解 析 ：MDNC (ODOM) (OCON) ODOCOMOCODONOMON 66cos60 62cos120 62cos120 22cos180 26. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优质资料欢迎下载答案 ：B 12设 a(a1，a2)，b(b1，b2)定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知m 2，12， n3，0 ，点 P(x，y)在 ysinx 的图象上运动，点 Q 在 yf(x)的图象上运动， 满足OQmOPn(其中 O

8、 为坐标原点 )，则 yf(x)的最大值 A 及最小正周期T分别为() A2，B2,4C.12，4D.12，解析 ：设 Q(x0，y0)，OQ(x0，y0)，OP(x，y)，OQ mOPn，(x0， y0) 2，12(x，y)3，0 2x，12y 3，0 2x3，12y ，x02x3，y012y，?x12x06，y2y0.代入 ysinx 中得， 2y0sin12x06，所以最大值为12，周期为4 . 答案 ：C 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分将答案填写在题中的横线上) 13已知复数z1m2i，z234i，若z1z2为实数，则实数m _. 解析 ：z1z2m2i34

9、i(m2i)(34i)253m8(64m)i25是实数， 64m0，故 m32. 答案 ：3214 (文)若向量 a(12 ，23 )与 b(4,1)共线，则 _. 解析 ：依题意得4(23 )(12 )0，由此解得 12. 答案 ：12(理)已知 a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数 _. 解析 ：(ab)b，(ab) ba bb215 0， 15. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优质资料欢迎下载答案 ：1515已知平面向量a， b，c 满足 abc0，且 a 与 b 的夹角为135 ，c 与 b 的

10、夹角为120 ，|c|2，则 |a|_. 解析 ： 根据已知条件， 组成以 |a|， |b|， |c|为边长的三角形， 由正弦定理得|a|sin(180120 )|c|sin(180135 )，又 |c|2，所以 |a|6. 答案 ：6 16在直角坐标系xOy 中，i、j 分别是与x 轴， y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，ABij，AC2imj，则实数m_. 解析 ：本题考查了向量的运算由已知可得BCACABi(m1)j. 当 A90 时，ABAC(ij) (2imj)2m0，m 2. 当 B90 时，BABC (ij) i(m 1)j (1m1) m0，m0. 当 C 90 时，C

11、ACB (2imj) i(m1)j2m(m1)m2m20，此时 m 不存在故m0 或 2. 答案 ：0 或 2 三、解答题 (本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分12 分)已知复数z 满足： |z|13iz，化简(1i)2(34i)22z解：设 za bi(a，bR)，而 |z|1 3i z，即a2b213iabi0，则a2b2a10b30， ?a 4，b3，z 4 3i. (1i)2(34i)22z2i(724i)2(43i)247i43i34i. 18 (本小题满分12 分)如图，在平行四边形ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中

12、点，已知AMc，ANd，试用 c，d 表示AB，AD. 解：法一 ：设ABa，ADb，则aANNB d(12b)，bAMMDc (12a)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优质资料欢迎下载将代入 得 a d(12)c(12a) ? a43d23c，代入 得 bc(12)(43d23c)43c23d. 故AB43d23c，AD43c23d. 法二： 设ABa，ADb. 所以BN12b，DM12a，因而cb12ada12b?a23(2dc)b23(2cd)，即AB23(2dc)，AD23(2cd)19 (本小题满分12

13、 分)已知向量a(cos( )，sin( )，b(cos(2 )，sin(2 )(1)求证： a b；(2)若存在不等于0的实数 k 和 t，使 xa (t23)b，y katb，满足 xy，试求此时kt2t的最小值解：(1)证明： a bcos( ) cos(2 )sin( ) sin(2 ) sin cos sin cos 0. ab. (2)由 xy 得： x y0，即a(t2 3)b (ka tb)0，ka2(t33t)b2 tk(t23)a b0，k|a|2(t3 3t)|b|20. 又|a|21，|b|21，kt33t0， kt33t. kt2tt3 t23ttt2t3(t12)2

14、114. 故当 t12时，kt2t有最小值114. 20(本小题满分12 分 )在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，已知向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优质资料欢迎下载m (1,2sinA)，n(sinA,1cosA)，且满足m n，bc3a. (1)求角 A 的大小；(2)求 sin B6的值解：(1)mn，1cosA2sin2A，即 2cos2AcosA10，解得 cosA 1(舍去 )，cosA12. 又 0A ，A3. (2) bc3a，由正弦定理可得sinBsinC3sinA3

15、2. 又 C (AB)23B，sinBsin23B 32，即32sinB32cosB32，sin B632. 21 (本小题满分12 分)已知向量a(cosx，sinx)， b(cosx，cosx)， c(1,0)(1)若 x6，求向量a， c 的夹角；(2)当 x2，98时，求函数f(x)2a b1 的最大值解：(1)设 a，c 的夹角为 ，当 x6时，cosa，ca c|a| |c|cosxcos2xsin2x (1)202 cosx cos6cos56. 0a，c ， a，c56. (2)f(x)2a b12(cos2xsinxcosx)1 2sinxcosx(2cos2x1)sin2x

16、cos2x2sin(2x4)x2，98，2x434，2 ，sin(2x4)1，22，当 2x434，即 x2时， f(x)max1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优质资料欢迎下载22 (本小题满分14 分 )已知 ABC 的面积为S，满足3S3，且ABBC6，AB与BC的夹角为 . (1)求角 的取值范围；(2)求函数 f( )sin2 2sin cos 3cos2 的最小值解： (1)由题意知，ABBC|AB| |BC|cos 6，S12|AB| |BC|sin( )12|AB| |BC|sin ，由，得S612tan ，即 3tan S. 由3S3，得33tan 3，即33tan 1. 又 为AB与BC的夹角， (0， ， 6，4(2)f( ) sin2 2sin cos 3cos2 1sin2 2cos2 2sin2 cos2 22sin(2 4) 6，4， 2 4712，34， 当 2 434，即 4时， f( )取得最小值为3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页