2022年第十一讲--两角和与差的正弦、余弦和正切公式-经典难题复习巩固 .pdf

《2022年第十一讲--两角和与差的正弦、余弦和正切公式-经典难题复习巩固 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第十一讲--两角和与差的正弦、余弦和正切公式-经典难题复习巩固 .pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精典专题系列第 11 讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、导入：难解的结古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿结打开了。大道理：勇

2、敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。二、知识点回顾：1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin( )；cos()；tan(). 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2 ； cos2 ； tan2 . 三、专题训练：考点一三角函数式的化简、求值(1)化简：sin50 13tan10 cos20cos801cos20；(2)若 f(x)1sinx cosx sinx2 cosx222cosx(0 x )，求 f(3)自主解答 (1) sin50 (13tan10 ) sin50 cos103sin10 cos10sin50

3、2sin40 cos101，cos80 1cos20sin10 2sin210 2sin210 . DSE 金牌化学专题系列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页sin50 13tan10 cos20cos80 1cos201cos202sin2102.(2)f(x) 2sinx2cosx22cos2x2sinx2cosx24cos2x2cosx2sin2x2cos2x2|cosx2|cosx2 cosx|cosx2|因为 0 x ，所以 0 x20，所以 f(x) cosx f(3) cos312.变式训练：化简：2

4、sin(4x)6cos(4x)解： 原式 2 212sin(4 x)32cos(4x) 2 2cos3sin(4x)sin3cos(4x) 2 2sin(4 x3) 2 2sin(712x)考点二三角函数的给值求值已知角 A、B、C 为 ABC 的三个内角，OM(sinBcosB ，cosC)，ON(sinC，sinBcosB)，OMON15. (1)求 tan2A 的值；(2)求2cos2A2 3sinA 12sin A4的值自主解答 (1)OMON(sinBcosB)sinCcosC(sinB cosB)sin(BC) cos(B C)15，sinAcosA15，两边平方并整理得：2sin

5、AcosA2425，24250， A (2，) ， sinAcosA12sinAcosA75联立得：sinA35，cosA45，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页 tanA34， tan2A2tanA1tan2A321916247.(2) tanA34，2cos2A23sinA12sin A4cosA3sinAcosAsinA1 3tanA1tanA13 341 3413.变式训练：已知向量a(sin ， 2)与 b(1，cos)互相垂直，其中 (0，2)(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 sin( )

6、1010，02，求 cos的值解： (1) a b， sin 2cos 0，又 (0，2)，sin 2 55，cos 55. (2) sin( ) 1010， cos( ) 31010或31010. 当 cos( ) 31010时，cos cos ( ) cos cos( ) sin sin( )553 1010255101022. 当 cos( ) 31010时，cos cos ( ) cos cos( ) sin sin( )553 101025510102100. (0，2)，不合题意，舍去 cos 的值等于22.考点三三角函数的给值求角已知 02 ，tan212，cos( ) 210.

7、 (1)求 sin 的值； (2)求 的值自主解答 (1) tan212， sin sin(2 2)2sin2cos2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页2sin2cos2sin22cos222tan21tan22212112245.(2) 0 2，sin 45， cos 35. 又 0 2 ， 0 . 由 cos( )210，得 0 2. sin( )98107 210， sin sin( ) sin( )cos cos( )sin7 21035210452525022. 由2 得 34 . (或求 cos 22，

8、得 34 ) 思考：若将条件改为“02，cos 17，cos( )1314”，如何求解？解： 1 0 2，cos 17 sin 437.2 由0 2，得 0 2.又 cos 1314， sin( )1cos2 1131423 314. 由 ( )，得 cos cos ( )coscos()sinsin( )171314437331412. 3.变式训练：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页已知 02，2 ，且 cos 17，sin 5 314，求 的值解： 因为 02，2 ，所以 0 ，又 cos 17，sin 5

9、314，所以 sin 4 37，cos 1114，所以 cos( ) 12，所以 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查，而该公式与三角形问题相结合更能体现其解题功能，且能考查学生灵活运用公式及三角恒等变换的能力，是高考的一种重要考向考题印证 (2010 重庆高考 )(13 分)设 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，且 3b23c23a2 4 2bc. (1)求 sinA 的值；(2)求2sin A4sin BC41 cos2A的值规范解答 (1)由余弦定理得cosAb2 c2 a22bc2 23，(3 分)

10、 又 0A ，故 sinA1 cos2A13.(6 分)(2)原式2sin A4sin A41cos2A2sin A4sin A42sin2A(9 分) 222sinA22cosA22sinA22cosA2sin2Asin2Acos2A2sin2A72. (13 分 )四、技法巧点：1公式常见变形及应用技巧(1)对公式的掌握，既要能正用，还要能逆用及变形应用记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连结符号“”“”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如 tan( ) tan tan 1 tan tan 变形为 tan tan tan( )(1 tantan)，cos2 2cos2 112sin2

11、变形为 cos2 1cos22， sin2 1cos22等(2) 要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形( 如平方相加、平方相减) ，有利于简化复杂的三角运算2常见角的变换明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件常可对角进行一些变换，如 2 ( ) ( ) ，2 ( )( )， ( ) ， 3 ( ) ( 3)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页 22等等，再根据条件确定其范围，计算有关函数值五、巩固练习：一、选择题 (共 6 个小题，每小题5

12、 分，满分30 分) 1(2010 全国卷 )已知 sin 23，则 cos( 2 )() A53B19C.19D.53解析： cos( 2 ) cos2 (12sin2 ) 2(23)2119. 答案： B 2设 asin14 cos14，bsin16 cos16，c62，则 a、b、 c的大小关系是() AabcB acbCbcaDba0，b0，c0， acb. 答案： B 3已知 tan( )25，tan( 4)14，那么 tan( 4)等于 () A.1318B.1322C.16D.322解析： 因为 4 4 ，所以 4( ) ( 4)所以tan( 4) tan( )( 4)tan t

13、an 41 tan tan 4322. 答案： D 4(2011 潮州模拟 )sin2 2425，0 2，则2cos(4 )的值为 () A.15B15C.75D15解析： 2cos(4 )sin cos ， 2cos(4 )2(sin cos )2 1sin2124254925. 0 0， 2cos(4 )75. 答案： C 5.2cos10 sin20 sin70 的值是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页A.12B.32C.3 D.2 解析： 原式2cos30 20 sin20 sin70 2 cos3

14、0 cos20sin30 sin20 sin20 sin70 3cos20 cos203. 答案： C 6已知 A、B 均为钝角，且sinA55，sinB1010，则 AB 等于 () A.74B.54C.54或74D.94解析： 由已知可得cosA2 55，cos B3 1010， cos( AB)cos Acos BsinAsinB22，又2 A ，2B ， AB2 ， AB74. 答案： A 二、填空题 (共 3 小题，每小题5 分，满分15 分) 7.22cos821 sin8的化简结果是_解析： 原式4cos242sin4cos422|cos4| 2|sin4cos4| 54 432

15、 cos40，且 sin4cos4 原式2cos42(sin4cos4) 2sin4. 8(2011 东城模拟 )若 sin( )45， (0，2)，则 sin2 cos22的值等于 _解析： sin( )45， sin 45，又 (0，2)， cos 35 sin2 cos222sin cos 1cos 2245351352425. 9若 f(sinx)3cos2 x，则 f(cosx)_. 解析： f(sinx)3cos2x3(12sin2x)2sin2x 2，所以 f(x)2x22，因此 f(cosx)2cos2x2(2cos2x1)33cos2 x. 三、解答题 (共 3 小题，满分3

16、5 分) 10.如图，以 Ox 为始边作角与 (0 ) ，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点 P 的坐标为 (35，45)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页(1)求sin2 cos2 11tan的值；(2)若OPOQ0，求 sin( )解： (1)由三角函数定义得cos 35，sin 45，则原式2sin cos 2cos21sincos2cos sin cossin cos cos2cos22(35)21825. (2)OPOQ0， 2， 2， sin sin( 2) cos 35，cos cos( 2

17、)sin 45. sin( )sin cos cos sin4545 (35)35725. 11已知锐角 ABC 中，三个内角为A，B，C，两向量 p(22sinA，cos AsinA)，q(sinAcosA,1 sinA)，若 p 与 q是共线向量(1)求角 A 的大小；(2)求函数 y2sin2Bcos(C3B2)取最大值时角B 的大小解： (1)p(2 2sinA， cos AsinA)， q(sinAcosA,1 sinA)，p q， (2 2sinA)(1 sinA) (cosA sinA)(sinAcosA)0，化简得： sin2A34， ABC 为锐角三角形， sinA32， A

18、60 . (2)y2sin2Bcos(C3B2) 2sin2Bcos(180 B A3B2) 2sin2Bcos(2B60 )1 cos2 B cos(2 B60 ) 1sin(2B30 )，当 B 60 时函数取得最大值2. 12已知向量a(12，32)，b(cosx，sinx)，x (0，2)(1)若 ab，求 sinx 和 cos2 x 的值；(2)若 a b2cos(12k 136x)(kZ)，求 tan(x512)的值解： (1) a b，12sinx32cos x. 于是 sinx3cosx，又sin2x cos2x1， cos2x14，又 x (0，2)，sinx1cos2x11

19、432. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页cos2 x2cos2x112112. (2) a b12cosx32sinxcos6sinxsin6cosx sin(x6)，而 2cos(x12k 136)2cos(2k x62)2cos(x6)(k Z)，于是 sin(x6)2cos(x6)，即 tan(x6)2. tan(x512)tan(x6)4 tan x6tan41tan x6 tan42 112 1 3. 六、反思总结：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

20、 -第 9 页，共 11 页当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1(2010 全国新课标 )若 cos 45，是第三象限的角，则sin( 4)() A7210B.7210C210D.210解析： 由题知， cos 45，是第三象限的角，所以sin 35，由两角和的正弦公式可得sin( 4)sin cos4 cossin4(35)22(45)227210.2(2011 厦门模拟 )3sin70 2cos210() A.12B.22C2 D.32解析：3sin70 2cos2103cos202cos2103 2cos210 12cos2102.3已知 cos( 6)sin 4 35，则 sin

21、( 76)的值是() A235B.235C45D.45解析： cos( 6)sin 435，32sin 32cos 435 sin( 6)45， sin( 76) sin( 6)45.4设 sin 35(2 )，tan( )12，则 tan( 2) 的值为 _解析： 由 sin 35(2 )，得 cos 45， tan 34. 又 tan( ) 12， tan 12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页故 tan2 2tan 1tan243，于是 tan( 2) 344313443724.5当 0 x2时，函数f(x)1cos2x 8sin2xsin2x的最小值为 _6已知 、为锐角，向量a (cos ，sin )，b (cos ，sin )，c (12，12)若 a b22， a c314，求角 2 的值解： a b (cos ，sin) (cos，sin)coscos sin sin cos( )22，a c (cos ，sin ) (12，12) 12cos 12sin 314. 又 02，02，2 2. 由得 4，由得 6.由 、 为锐角，得 512. 从而 2 23.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页