2022年全称量词和特称量词 .pdf

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1、31全称量词与全称命题32存在量词与特称命题明目标、知重点1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假1全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词含有全称量词的命题，叫作全称命题2存在量词与特称命题在命题中， “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词含有存在量词的命题，叫作特称命题探究点一全称量词与全称命题思考 1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x3；(2)2x1 是整数；(3

2、)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ,2x1 是整数答语句 (1)(2)含有变量 x，由于不知道变量x 代表什么数， 无法判断它们的真假，因而不是命题语句 (3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x 进行限定；语句(4)在(2)的基础精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页上，用短语“对任意一个”对变量x 进行限定，从而使(3)(4) 成为可以判断真假的语句，因此语句 (3)(4)是命题小结短语 “所有 ”“ 每一个 ”“ 任何 ”“ 任意一条 ”“ 一切 ”都是在指定范围内， 表示整体或全部的含义，这样的

3、词叫作全称量词像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题思考 2如何判定一个全称命题的真假？答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个 x0， 使得 p(x0)不成立即可 (即举反例 )例 1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意 xR，x21 1；(3)对每一个无理数x， x2也是无理数解(1)2 是素数，但2 不是奇数所以，全称命题“ 所有的素数是奇数”是假命题(2)任意 xR，总有 x20，因而 x211.所以，全称命题“ 任意 xR，x211”是真命题(3)2是无理数，但(2)

4、22 是有理数所以，全称命题“ 对每一个无理数x，x2也是无理数 ”是假命题反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)任意 xR，x220；(2)任意 xN，x41.(3)对任意角 ，都有 sin2 cos2 1.解(1)由于任意xR， 都有 x2 0， 因而有 x2 220， 即 x220， 所以命题 “任意 xR，x220”是真命题(2)由于 0N，当 x0 时， x41 不成立，所以命题“任意 x N， x4 1”是假命题(3)由于任意 R，sin2 cos2 1 成立所以命题“对任意角 ，都有 sin2 cos2 1”

5、是真命题探究点二存在量词与特称命题思考 1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x1 3；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页(2)x 能被 2 和 3 整除；(3)存在一个x0 R，使 2x0 13；(4)至少有一个x0Z，使 x0能被 2 和 3 整除答(1)(2)不是命题， (3)(4) 是命题语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x 的取值进行限定，从而使 (3)(4)变成了可以判断真假的语句，

6、因此语句(3)(4)是命题小结“有些 ”“ 至少有一个 ”“ 有一个 ”“ 存在 ”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题思考 2怎样判断一个特称命题的真假？答要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个xx0，使 p(x0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题例 2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使 x202x03 0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数解(1)由于任意xR， x22x3(x1)222， 因此使 x22x30 的实数 x 不存在所以，特称命题 “有一个实数x0，

7、使 x202x030”是假命题(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题(3)由于存在整数3 只有两个正因数1 和 3， 所以特称命题 “ 有些整数只有两个正因数”是真命题反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)存在 x0Z，x301；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数 ，tan 无意义；(4)存在 x0R，cos x02.解(1)1Z，且 ( 1)3 11，“ 存在 x

8、0Z，x301， 不存在 x0R，使 cos x02，原命题是假命题探究点三全称命题、特称命题的应用思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？答不等式有解是存在一个元素，使不等式成立， 相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题例 3(1)已知关于x 的不等式x2 (2a1)xa220 的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)令 p(x)：ax22x10，若对任意xR，p(x)是真命题，求实数a 的取值范围解(1)关于 x 的不等式x2(2a1)x a220 的解集非空， (2a1)24(a22) 0，即 4a70，解得 a74，实数 a 的取值范

9、围为74， .(2)对任意 xR，p(x)是真命题对任意 xR，ax22x 10 恒成立，当 a0 时，不等式为2x10 不恒成立，当 a0 时，若不等式恒成立，则a0， 44a1.反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别跟踪训练3(1)对于任意实数x，不等式sin xcos xm 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x，不等式sin xcos xm 有解，求实数m 的取值范围解(1)令 ysin xcos x，xR，ysin xcos x2sin x42，又 任意 xR，sin xcos xm 恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

10、归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页只要 mm 有解，只要 m0 D任意 xR,2x0答案C解析对于 A，当 x1 时， lg x 0，正确；对于B，当 x4时， tan x 1，正确；对于C，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页当 x0 时， x30，错误；对于D，任意 x R,2x0，正确4用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸 n 边形的外角和等于2.(2)有一个有理数x0满足 x20 3.(3)对任意角 ，都有 sin2 cos2 1.解(1)任意 xx|x 是凸 n 边形

11、，x 的外角和是2.(2)存在 x0Q，x203.(3)任意 R，sin2 cos2 1.呈重点、现规律1判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题一、基础过关1下列命题：中国公民都有受教育的权利；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发明创造；任何一

12、个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A1 B2 C 3 D4答案C解析命题 都是全称命题2下列特称命题是假命题的是()A存在 x Q，使 2xx30B存在 xR，使 x2x 10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页C有的素数是偶数D有的有理数没有倒数答案B解析对于任意的xR，x2x1(x12)2340 恒成立3给出四个命题：末位数是偶数的整数能被2 整除；有的菱形是正方形；存在实数x，x0；对于任意实数x,2x1 是奇数下列说法正确的是()A四个命题都是真命题B是全称命题C是特称命题D四个命题中有两个假命题答

13、案C解析 为全称命题； 为特称命题； 为真命题； 为假命题4下列全称命题中真命题的个数为()负数没有对数；对任意的实数a，b，都有 a2b22ab；二次函数f(x)x2ax1 与 x 轴恒有交点；任意 xR，yR，都有 x2|y|0.A1 B2 C 3 D4答案C解析 为真命题5下列全称命题为真命题的是()A所有的素数是奇数B任意 xR，x233C任意 xR,2x1 0D所有的平行向量都相等答案B6下列命题中，真命题是_存在 x0 0，2， sin x0cos x02；任意 x(3， )， x22x1；存在 mR，使函数f(x)x2mx(xR)是偶函数；任意 x2，tan xsin x.答案精

14、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页解析对于 ，任意 x 0，2，sin xcos x2sin x42，此命题为假命题；对于 ，当 x(3， )时， x22x1(x1)2 20，此命题为真命题；对于 ，当 m0 时，f(x)x2为偶函数，此命题为真命题；对于 ，当 x2，时， tan x03， xa 恒成立，则实数a 的取值范围是 _答案(， 3解析对任意 x3，xa 恒成立，即大于3 的数恒大于a，a3.9给出下列四个命题：ab? a b0；矩形都不是梯形；存在 x，yR，x2y21；任意互相垂直的两条直线的斜率之积

15、等于1.其中全称命题是_答案解析 省略了量词 “所有的 ” ，含有量词 “任意 ”10四个命题：任意xR，x23x20 恒成立；存在xQ，x22；存在xR，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页x210；任意xR,4x22x 13x2.其中真命题的个数为_答案0解析x23x20， (3)24 20，当 x2 或 x0 才成立， 为假命题当且仅当x 2时， x22，不存在 xQ，使得 x2 2， 为假命题，对任意 xR，x210， 为假命题，4x2(2x13x2)x22x 1(x1)20，即当 x 1 时， 4x22x

16、13x2成立， 为假命题 均为假命题11判断下列命题的真假：(1)对任意 xR，|x|0；(2)对任意 aR，函数 ylogax 是单调函数；(3)对任意 xR，x21；(4)存在 a 向量 ，使 ab 0.解(1)由于 0R，当 x0 时， |x|0 不成立，因此命题“ 对任意 xR，|x|0”是假命题(2)由于 1R，当 a1 时， ylogax 无意义，因此命题“对任意 aR，函数 ylogax 是单调函数 ”是假命题(3)由于对任意xR，都有 x20，因而有x21.因此命题 “对任意 xR，x21”是真命题(4)由于 0 向量 ，当 a0 时，能使ab0，因此命题 “存在 a向量 ，使

17、 ab0” 是真命题12已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式m f(x)0 对于任意xR 恒成立？并说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页(2)若存在实数x，使不等式mf(x)0 成立，求实数m 的取值范围解(1)不等式 m f(x)0 可化为 mf(x)，即 mx22x5 (x1)24.要使 m (x1)24 对于任意xR 恒成立，只需m4 即可故存在实数m 使不等式mf(x)0 对于任意 xR 恒成立，此时m4. (2)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x)若存在实数x 使不等式m

18、f(x)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)(x 1)24，所以 f(x)min4，所以 m4.故所求实数m 的取值范围是 (4， )三、探究与拓展13若任意xR，函数 f(x)mx2xma 的图像和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围解当 m0 时， f(x)xa 与 x 轴恒相交，所以aR；当 m0 时，二次函数f(x)mx2xma 的图像和x 轴恒有公共点的充要条件是 14m(ma)0 恒成立，即4m24am10 恒成立又 4m24am1 0 是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是 (4a)2160，解得 1a1.综上所述，当m0 时， aR；当 m0 时， a1,1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页