2022年等比数列求和 2.pdf

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1、名师精编精品教案课题等比数列求和学习内容与过程知识点 1.等比数列前n 项和公式（ 1）当1q时，qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11（2）当 q=1 时，1naSn注意： （1）知三求二：1a, q, n，na，nS五个中知道任意两个便可建立方程组求出另外两个；（2）当已知1a, q, n 时用公式；当已知1a, q, na时，用公式. （3）在判断是否为等比数列时需要注意讨论q 是否为零，例如a，a，a，.；在利用等比数列求和公式时，需要讨论的是公比q 是否为 1，例如)0(,.,32xxxxxn（4）等比数列求和公式的函数理解：当1q时，111)1 (111qaqqaqqaSnnn

2、，它可以看作指数函数与常数函数的复合函数公式的推导方法一：一般地，设等比数列naaaa,321它的前 n 项和是nSnaaaa321由11321nnnnqaaaaaaS得nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111nnqaaSq11)1 (当1q时，qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11当 q=1 时，1naSn公式的推导方法二：有等比数列的定义，qaaaaaann12312精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师精编精品教案根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannn

3、nn112132即qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理 ，导出了公式公式的推导方法三：nSnaaaa321)(13211naaaaqa11nqSa)(1nnaSqaqaaSqnn1)1(（结论同上）例 1 已知等比数列na的前 n 项和为nS，若9632SSS，求数列的公比（答案：243）变式 1： 求等比数列1，2，4，从第 5 项到第 10 项的和 . 解：由22, 121qaa得1521)21(144S，102321)21 (11010S从第 5 项到第 10 项的和为10S-4S=1008 变式 2：一条信息，若一人得知后

4、用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2, 11qa的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：12212124244S变式 3：等比数列na中，naSS求,263,2763（答案：22n）2. 等比数列前n项和nS的性质（1）在等比数列na中，nnnnnSSSSS232,，.，也成等比数列，公差为nq注意： 是nnnnnSSSSS232,，.，成等比数列，而不是nnnSSS32,，.；（2）若项数为 2n，则qSS奇偶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

5、 - - - - -第 2 页，共 6 页名师精编精品教案（3）mnnnmSqSS（4）na为等比数列)0(BABAqSnn例2 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数（答案： 2,8）变式 1 一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4 倍，前三项之积为64，求na变式 2 设na是由正数组成的等比数列，nS是其前 n 项和， 证明15.025 .05.0log2loglognnnSSS；（2）求证：等比数列中有)(32222nnnnnSSSSS变式 3 已知等比数列na中，,1010S,3020S求30S3.等比数列常见

6、应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1. 其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：.)1(1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元. 因此，第二年年初可存款：)1(.)1()1()1 (101112rararara=)1(1)1(1)1(12rrra. 分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a 元； m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率 . 1111111.

7、11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra例 3 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从20XX 年起，每年年初到银行存入a 元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2019 年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页名师精编精品教案变式 1 某牛奶厂20XX年初有资金1000 万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50% ，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5 年资金达到2000 万

8、元的目标（精确到万元）？变式 2 （购房问题）某家庭打算在20XX年的年底花40 万元购一套商品房，为此，计划从20XX年初开始， 每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款到20XX年底连本带息共有40 万元。 如果每年的存款数额相同，依年利息2% 并按复利计算，问每年应该存入多少钱？课堂检测1. 在等比数列中，首项89，末项31，公比32，求项数( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，2000年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为（） A900元B2200元C2400元D3600元3. 若na是等比数列，其公

9、比是q，且5a，4a，6a成等差数列，则q等于（）A1或2B1或2C1或2D1或24.设an是等比数列，且a1=32，S3=916，则它的通项公式为an= ( ) (A)1216n(B)n216(C)1216n(D)1216n或235. 等比数列 an中， a2 9，a5243，则 an的前 4 项和为 ().A81 B120 C168 D192 6.设1a，2a，3a，4a成等比数列，其公比为2，则123422aaaa的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师精编精品教案 A14B12C18D17在等比数列1

10、020144117, 5,6,aaaaaaan则中= （）A2332或B2332或C515或D2131或8在ABC中,tanA是以4为第三项 , 4为第七项的等差数列的公差,tanB是以13为第三项 , 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A钝角三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D以上都不对9等比数列na的各项均为正数，且564718a aa a，则3132310loglog.logaaa（）A12B10C31log 5D32log 51023和23的等比中项为. 11在等比数列na中,3712,2aq,则19_.a12.已知等差数列na的公差为2，若1a，3a，4a成等比数列，则2

11、a13.在等比数列 an中，已知Sn3nb，则 b的值为 _. 14.在等比数列na中，22a，545a，则8a= 15.在等比数列na中，如果66a，99a，那么3a为16.若a、b、c成等比数列，则函数2yaxbxc的图象与x轴交点的个数为17.在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根 ,则47aa18.在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为19. 在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a. 20 设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；（）求数

12、列nnab的前 n 项和nS21： an 的前 n 项和为 Sn，已知 a11，an1nn2Sn( n1，2， 3) 求证：数列nSn 是等比数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师精编精品教案列22数列na的前n项和为nS，11a，*12()nnaSnN（）求数列na的通项na； （）求数列nna的前n项和nT23.在等比数列na中，,400,60,364231nSaaaa求n的范围。解：22213222236,(1)60,0,6,110,3,a aaaqaaqq当3q时，12(13 )2,400,3401,6,13nnnaSnnN；当3q时，121( 3) 2,400,( 3)801,8,1( 3)nnnaSnn为偶数；为偶数且nn,8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页