2022年八年级数学三角形全等知识要点解析 2.pdf

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1、全等三角形知识要点解析目标： 1. 会灵活运用本章知识进行计算和证明。 2. 进一步巩固三角形全等的性质及判定三角形全等的方法，培养和提高运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 3. 进一步掌握数学几何问题的解法，拓展发散思维能力。重点和难点：重点：全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法和直角三角形的性质和判定。难点：三角形全等的判定与性质的综合应用，灵活选用判定三角形全等的方法解决问题，并能用基本尺规作图进行综合作图。知识网络图：知识要点总结： 1. 旋转的定义：将一个平面图形F 上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角，得到图形F ，图形的这种变换叫旋转。 2. 旋转的性质：性质

2、 1：对应点到旋转中心的距离相等。性质 2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。性质 3：旋转不改变图形的形状和大小。 3. 全等三角形及其性质：（ 1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。（ 2）全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形。（ 3）全等三角形的表示方法：比如BCD AEF （ 4）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形周长、面积、对应高、中线、角分线等对应要素都相等。 4. 三角形全等的判定定理（ 1）一般三角形：SAS ，ASA ，AAS ，SSS 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

3、 - - - - - - -第 1 页，共 16 页（ 2）直角三角形：HL，SAS ，ASA ，AAS ，SSS 。 5. 直角三角形：（ 1）直角三角形的性质：两锐角互余。如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。斜边上的中线等于斜边的一半。，有一个角为90。如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方，即a2b2c2。（ 2）直角三角形的判定：有一个角为90的三角形为直角三角形。有两个角互余的三角形为直角三角形。如果三角形的三边长a、b、c，有下面关系： a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 6. 作三角形（

4、1）已知三边作三角形。（ 2）已知两边及其夹角作三角形（ 3）已知两角及其夹边作三角形规律与方法 1. 三角形的边角关系：（ 1）三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（ 2）三角形内角和等于180。（ 3）三角形的任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2. 三角形的分类： 3. 证明线段相等的方法：（ 1）可证明它们所在的两个三角形全等。（ 2）角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。（ 3）等角对等边。（ 4）等腰三角形的三线合一的性质。（ 5）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（ 6）等式的性质。（ 7）中点的定义。 4. 证明角

5、相等的方法：（ 1）同角（等角）的余角相等。（ 2）同角（等角）的补角相等。（ 3）平行线的性质：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。（ 4）全等三角形的对应角相等。（ 5）等边对等角。（ 6）角平分线的定义。（ 7）等式的性质。（ 8）对顶角相等。 5. 证明垂直的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页（ 1）证邻补角相等。（ 2）证和已知直角三角形全等。（ 3）勾股定理的逆定理。 6.全等三角形问题中常见的辅助线的作法1) 、 “见山开道，遇水搭桥”的利用连接隐含的公共边的辅助线添加方法构造全等三角

6、形，进而证明线段( 角)相等的结沦。2) 遇到等特殊三角形，可利用特殊三角形的性质：如为等腰、等边三角形，考虑三线合一、特殊角关系；若为直角三角形，考虑勾股定理、斜边中线；若为有一个角是30的直角三角形，考虑斜边中线及30角所对边之间的关系 . 3) 、遇到三角形的中线，倍长中线，（图甲：延长AD到 E，使 ED等于 AD ，并连接BE ） ；构造中位线（内购，图乙：过D作 DE平行 AB ，交 AC于 E；外造图丙 :过 C作 CE平行 AB ，交 BA延长线于E ）4) 、遇到角平分线：可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，三角形全等变换中的“对折”思维模式，利用角分线的性质定理或者逆

7、定理去解决问题，( 图 X ：过 D作 DE 、DF分别垂直AB 、AC)；或者作角分线的平行线构造等腰三角形（图甲：延长BA至 E，使 AE AC ，连结 CE （或过 C作 CE AD ，交 BA的延长线于E） ；或者在角分线的夹边的长边上截取线段与短边相等构造全等三角形（图乙： 在较长边AB上截取 AE AC ，连结 DE ，如图乙）；或者过另外的顶点作边的平行线构造等腰三角形（图丙：过C作 CE AB ，交 AD的延长线于E） ；或者过角分线与对边交点作边的平行线构造等腰三角形（图丁：过D作 DE AB，交 AC于 E） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

8、 - - - - - - -第 3 页，共 16 页DCBA5） 、根据具体情况截长法与补短，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6）、根据条件利用平移、旋转、对称等图形转换关系去作辅助性, 找联系解决问题。数学思想方法 1. 通过学习，逐步学会运用分析、综合、归纳、概括及类比的方法，逐步发展有条理的思考和表达能力。 2. 转化的思想：将复杂问题转化，分解，将实际问题转化成几何问题解决。 3. 图形处理方法：（ 1）分解图形法：复杂图形都是由较简单的基本图形

9、组成，故可将复杂图形分解成基本图形。（ 2）构造图形的方法：当直接说明问题有困难时，常添加辅助线，构造图形达到解题目的。掌握以下 8 类问题及其解法，并领会其中的数学思想： 1. 能够利用三角形全等的判定及其性质，证明线段或角相等，领会全等形的思想。 2. 能够利用等腰三角形和直角三角形的特殊性质解题，领会一般与特殊的关系。 3. 能够理解旋转，角平分线的概念及其性质，领会对称思想。 4. 能够理解逆命题与逆定理的概念，领会对立统一的思想。 5. 通过几何问题一题多解的研究和推理论证分析综合的训练，渗透转化思想和辨证唯物主义观点。 6. 通过对实际问题的研究体现理论联系实际的思想。 7. 通过

10、用代数方法解决几何问题又体现了数形结合的思想和方程的思想。 8. 能够运用尺规作图，将作图问题转化为基本作图，领会化归思想。添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连. 线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看全等三角形问题中 常见辅助线的作法例解一、倍长中线（线段）造全等通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不

11、同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。1、已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页EDFCBA2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.

12、EDCBA 4 、 如图所示，AD 是 ABC 的中线，BE 交 AC 于 E， 交 AD 于 F， 且 AE=EF 。求证： AC=BF 。5、已知如图，AD 为 ABC 的中线，求证：AB+AC 2AD 6、以ABC的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰RtABD和等腰 RtACE，90 ,BADCAE连接DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC _ C_ D_ B_ A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

13、 - - -第 5 页，共 16 页EDCBADCBAP21DCBAPQCBA2、如图， AC BD ，EA,EB分别平分 CAB, DBA ，CD过点 E，求证 ;ABAC+BD 3、如图， 已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA5、如图在 ABC中， AB AC， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 三、平移变换1 、AD为 ABC的角平分线，直线MN AD于 A.E

14、 为 MN 上一点， ABC周长记为AP， EBC周长记为BP.求证BPAP. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页OEDCBA2 、如图，在 ABC的边上取两点D、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE. EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ， DE AB于 E，DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，

15、求 AE 、BE的长 . 3、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、CE 相交于点F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B

16、D 图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页NMEFACBAFEDCBA4、如图甲，ABC 中， C2 B， 1 2，求证： ABACCD 五、旋转1、 正方形 ABCD 中， E为 BC上的一点， F为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 2、 D 为等腰RtABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。3、 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形

17、， 且0120BDC， 以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；BCDNMA4、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDE

18、FMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页5 、 在 等 边AB C的 两 边AB 、 AC所 在 直 线 上 分 别 有 两 点M 、 N ， D为ABC外 一 点 ， 且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当M、N 分别在直线AB 、AC 上移动时， BM 、NC、 MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 6、如图， ABC 中， A90， AB AC，BD 平分 ABC 交 AC 于 D，CEBD 的延长线于E，求证：BD 2CE。练习1、已知：

19、AB=4 ， AC=2 ，D 是 BC 中点， AD 是整数，求AD 2、 已知： D 是 AB 中点， ACB=90 ，求证：12CDAB3、已知： BC=DE ， B=E， C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2 D A B C A D B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页4、已知： 1=2，CD=DE ，EF/AB ，求证： EF=AC 5、 已知： AD 平分 BAC ，AC=AB+BD ，求证： B=2 C 6、已知： AC 平分 BAD ， CEAB ， B+ D=180，求证： AE=AD+B

20、E 7、 如图，四边形 ABCD 中， AB DC， BE、 CE 分别平分 ABC 、 BCD ， 且点 E 在 AD 上。求证：BC=AB+DC 。8、 已知： AB=CD ， A= D，求证： B= C 9、P 是 BAC 平分线 AD 上一点， ACAB ，求证： PC-PBAC-AB P D A C B A B C D C D B B A C D F 2 1 E A B C D E F 2 1 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页10、已知 ABC=3 C， 1=2，BEAE，求证： AC-AB=2B

21、E 8、 已知， E 是 AB 中点， AF=BD ，BD=5 ，AC=7 ，求 DC 12、如图，在 ABC 中， BD=DC， 1=2，求证： AD BC13、如图， OM 平分 POQ，MAOP,MBOQ，A、B 为垂足， AB 交 OM 于点 N求证： OAB=OBA14、 如图，已知 ADBC， PAB 的平分线与CBA 的平分线相交于E， CE 的连线交AP 于 D 求证： AD+BC=AB15、如图， ABC 中， AD 是 CAB 的平分线，且AB=AC+CD，求证： C=2B16、如图， E、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DEAC 于 E，BFAC 于 F，若 AB=C

22、D，AF=CE，BD交 AC 于点 M（1）求证： MB=MD，ME=MF（2）当 E、F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由F A E D C B PEDCBADCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页17、已知：如图，DCAB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，（1）求证： AED EBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC 外，请再写出两个与AED 的面积相等的三角形 （直接写出结果，不要求证明）：18、如图， ABC 中， BAC=9

23、0 度， AB=AC，BD 是 ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于F求证： BD=2CE19、如图： AE 、BC交于点 M ，F 点在 AM上， BE CF，BE=CF 。求证： AM是 ABC的中线。20、AB=AC ，DB=DC ，F 是 AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 21、公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在 AB，CD，BC 三段路旁各有一只小石凳 E，F， M，且 BE CF，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳E，F，M 恰好在一条直线上. OEDCBAFEDCBAMFECBAFDCBA

24、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页D C B A E 22、已知：如图所示，AB AD ，BCDC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证：AEAF。23、已知：如图，AB=AC，BDAC，CE AB，垂足分别为D、E，BD、CE 相交于点F，求证： BE=CD24、已知：如图 , ACBC 于 C , DEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的长？25. 如图，给出五个等量关系： ADBCACBDCEDEDCDABCBA 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论

25、，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明：26、 在 ABC 中，90ACB，BCAC， 直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1 的位置时，求证：ADCCEB；BEADDE；(2) 当直线MN绕点C旋转到图2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由 . 27、如图所示，已知AE AB，AFAC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ； （2）EC BF D B CA F E A C B D E F A B C A E B M C F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

26、总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页28、如图： BEAC， CFAB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ； （ 2）AM AN 。29如图 ,已知 AC BD，EA、EB 分别平分 CAB 和 DBA ，CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD 相等吗？请说明理由30、如图，已知1=2， 3=4，求证： AB=CD 31如图所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB 90， AD 是 BC 边上的中线，过C 作 AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADC BDE 32 将直角三角形 （ ACB 为直角） 沿线段 CD 折叠使 B

27、落在 B 处，若 ACB =60，则 ACD 度数为多少？33如图， ABE 和 ACD 是 ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180形成的，若BAC=150 ，则 EFC的度数为 _ 34如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若ADBECF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若DEF是等边三角形，问ADBECF成立吗？试证明你的结论题图第2BCBAD题图第1FBCAMNE1234.3421DCBAA B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页A

28、 F D B E C 35如图所示，已知1=2，EFAD 于 P，交 BC 延长线于M，求证： 2M= （ ACB- B）21PFMDBACE36 ABC 中， A=90 ， AB=AC ，D 为 BC 中点， E、F 分别在AC、AB 上，且 DE DF，试判断DE、DF 的数量关系，并说明理由FDCABE37. 已知： 如图，ABC中，45ABC，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（ 1）求证：BFAC； （ 2）求证：12CEBF；D A E F C H G B 38 、 如图， ABC 中， E、F 分别是 AB

29、、AC 上的点 AD 平分 BAC ； DEAB，DFAC ； AD EF以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即? ， ? ， ? 试判断上述三个命题是否正确，并证明你认为正确的命题GFEDBCA39 已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页论C G A E D

30、B F 40、如图，在 ABC 中， ABC=100 o，AM=AN,CN=CP,求MNP 的度数41、如图，在 ABC中,AB=BC,M,N为 BC边上的两点，并且 BAM= CAN,MN=AN,求MAC 的度数 . 42、如图，已知 BAC=90 o,ADBC, 1=2,EFBC, FMAC,说明 FM=FD 的理由43、如图，已知AD 是 ABC 的中线，DEAB 于 E， DFAC 于 F， 且 BE=CF ， 求证： (1)AD 是 BAC的平分线； (2)AB=AC A 1 2 E F C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页