2022年绝对值不等式的证明及练习 .pdf

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1、精品资料欢迎下载绝对值不等式的证明知识与技能：1.理解绝对值的三角不等式，2应用绝对值的三角不等式过程方法与能力：培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观：让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论， 培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。教学重点： 理解绝对值的三角不等式应用绝对值的三角不等式教学难点： 应用绝对值的三角不等式教学过程：一、引入 ：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（ 1）baba（ 2）baba（ 3）baba（ 4）)0(bbaba请同

2、学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此， 只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然aa，当且仅当0a时等号成立（即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成立） 。同样，. aa当且仅当0a时，等号成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载含有绝对值的不等式的证明中

3、，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。定理（绝对值三角形不等式）如果,a b是实数，则ababab注：当ab、为复数或向量时结论也成立. 特别注意等号成立的条件. 定理推广：1212nnaaaaaa. 当且仅当都12naaa， ，非正或都非负时取等号. 探究： 利用不等式的图形解不等式 1. 111xx; 2 .12 yx3利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34xxa有解，a要满足什么条件？二、典型例题：例 1、证明（1）baba，（2）baba。证明（ 1）如果,0ba那么. baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()(（ 2）根据（1）的结

4、果，有bbabba，就是，abba。所以，baba。例 2、证明bababa。例 3、证明cbcaba。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载思考： 如何利用数轴给出例3 的几何解释？（设 A，B，C 为数轴上的3 个点，分别表示数a，b，c，则线段.CBACAB当且仅当C 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0（即 C 为原点），就得到例2 的后半部分。 ）探究 ：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利

5、用例1，例 2 和例 3的结果来证明。例 4、已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx证明)()()()(byaxbayxbyax（1）2,2cbycax，cccbyax22（2）由（ 1） ， （2）得：cbayx)()(例 5、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223232。注意 ： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。三、小结 ：借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证

6、明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。四、练习 ：1、已知.2,2cbBcaA求证：cbaBA)()(。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载2、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。五、作业：1求证.111bbaababa2已知.1, 1 ba求证：.11abba3若,为任意实数，c为正数，求证：.)11 ()1(222cc（2222，而2112222cccc）5. 已知函数2()f xaxbxc, 当01x时 ,()f x 1求证 :abc 17作业： 导学大课堂练习课后反思： 绝对值不等式的证明4. abc、 、 均为实数 ,ab bc ac, 求证:222322abcbcacababbcca. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页