2022年线性代数期末考试试卷+答案合集 .pdf

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1、大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 1页大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2 分，共 10 分）1. 若022150131x，则_。2若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。3已知矩阵nsijcCBA)(，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。4矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。5n阶方阵A满足032EAA，则1A。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题 2 分，共 10 分）1. 若行列式D中每个元素都大于零，则0D。 （）2. 零向量一定可

2、以表示成任意一组向量的线性组合。（）3. 向量组maaa，21中，如果1a与ma对应的分量成比例，则向量组saaa，21线性相关。（）4. 0100100000010010A，则AA1。 （）5. 若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共 10 分) 1. 设A为n阶矩阵，且2A，则TAA（） 。n212n12n 4 2. n维向量组s，21（3 s n ）线性无关的充要条件是（） 。s，21中任意两个向量都线性无关s，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示s，21中任一个向量都不能用其余向量线性

3、表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 2页s，21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。任意n个1n维向量线性相关任意n个1n维向量线性无关任意1n个n维向量线性相关任意1n个n维向量线性无关4. 设A，B均为 n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 若A，B均可逆，则BA可逆 若A，B均可逆，则A B可逆 若BA可逆，则BA可逆 若BA可逆，则A，B均可逆5. 若4321，是线性方程组0A的基础解系，则4321是0A的（） 解向量 基础解系

4、 通解 A 的行向量四、计算题( 每小题 9 分，共 63 分) 1. 计算行列式xabcdaxbcdabxcdabcxd。解3)(0000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax2. 设BAAB2，且A,410011103求B。解.ABEA)2(111122112)2(1EA，322234225)2(1AEAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页

5、大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 3页3. 设,1000110001100011B2000120031204312C且矩阵满足关系式(),X CBE求。4. 问a取何值时，下列向量组线性相关？123112211,221122aaa。5. 为何值时，线性方程组223321321321xxxxxxxxx有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当1且2时，方程组有唯一解；当2时方程组无解当1时，有无穷多组解，通解为10101100221cc6. 设.77103,1301,3192,01414321求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该

6、极大无关组线性表示。7. 设100010021A，求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分) 若A是n阶方阵，且，IAA，1A证明0IA。其中I为单位矩阵。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 4页大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 13. nnss，4. 相关5. EA3二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 三、单项选择题1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题1. 3)(0000000001)(1111)(xdcbax

7、xxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax2. ABEA)2(111122112)2(1EA，322234225)2(1AEAB3. 121001210012000112100121001200011234012300120001)(100021003210432111BCEXBCBCBC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3

8、页第 5页4. )22()12(812121212121212321aaaaaaaa，当21a或1a时，向量组321aaa，线性相关。5. 当1且2时，方程组有唯一解；当2时方程组无解当1时，有无穷多组解，通解为10101100221cc6. 0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321aaaa，则34321aaaar，其中321aaa，构成极大无关组，321422aaaa7. 0)1(1200100013AE特征值1321，对于 11，0200000001AE，特征向量为100001l

9、k五、证明题AIAIAIAAAAIA02AI，0AI精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 6页一、选择题（本题共4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设 A， B为 n 阶方阵，满足等式0AB，则必有（）(A)0A或0B; (B)0BA； （C ）0A或0B; (D)0BA。2、 A和 B均为n阶矩阵，且222()2ABAABB，则必有（）(A) AE ； (B)BE ；（C）AB. (D) AB

10、BA。3、设 A为nm矩阵，齐次方程组0Ax仅有零解的充要条件是（）(A) A的列向量线性无关； (B) A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关； (D) A的行向量线性相关 . 4、n阶矩阵 A为奇异矩阵的充要条件是（）(A) A的秩小于n； (B) 0A；(C) A的特征值都等于零； (D) A的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4 小题，每题 4 分，满分 16 分）5、若 4 阶矩阵 A的行列式5A， A 是 A的伴随矩阵，则A = 。6、 A为nn阶矩阵，且220AAE，则1(2)AE。7、已知方程组43121232121321xxxaa无解，则a。8 、 二 次 型2221

11、231231213(,)2322f x xxxxtxx xx x是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围是。三、计算题（本题共2 小题，每题 8 分，满分 16 分）9、计算行列式1111111111111111xxDyy10、计算n阶行列式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 7页121212333nnnnxxxxxxDxxxLLMMML四、证明题（本题共2 小题，每小题 8 分，满分 16 分。写出证明过程）11、若向量组123,线性相关，

12、向量组234,线性无关。证明：(1) 1能有23,线性表出；(2) 4不能由123,线性表出。12、设 A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，EA可逆，且1()()()f AEA EA。证明（1）()()2Ef AEAE；（2）()ff AA。五、解答题（本题共3 小题，每小题 12 分，满分 32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设200032023A，求一个正交矩阵P 使得1PAP为对角矩阵。14、已知方程组040203221321321xaxxaxxxxxx与方程组12321axxx有公共解。求a的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且精

13、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 8页54321，432132求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2 、D ； 3 、A； 4 、A。二、填空题5、-125; 6、2； 7、-1 ； 8、53t。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：001111001111xxxDyyy第二列减第一列，第四列减第三列得：000110000101xxDyy（4 分）按第一行展开得100001xDxyy按第三列展开得2201xDxyx y

14、y。（4 分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子niix13 ，再通过行列式的变换化为上三角形行列式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 9页2212113313nnnniinxxxxDxxxLLMMML（4 分）2110303003nniixxxLLMMML1133nniix（4 分）四、证明题11、证明：(1) 、 因为332,，线性无关，所以32，线性无关。，又321，线性相关，故1能由32，线性表出。 (4分) 123()3r

15、，（2） 、 （反正法）若不，则4能由321,，线性表出，不妨设3322114kkk。由（1）知，1能由32，线性表出，不妨设32211tt。所以3322322114)(kkttk，这表明432,，线性相关，矛盾。 12、证明（1）1()()()()()EfAEAEEAEAEA1()()()()()()2EAEAEAEAEAEAE（4 分）（2）1( )( )()ffAEfAEf A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 10页由（1）得：11()()

16、2EfAEA，代入上式得11111()()()()()()()()222ff AEEAEAEAEAEAEAEA11()()22EAEAA（4 分）五、解答题13、解：（1）由0EA得 A的特征值为11，22，35。（4 分）（2）11的特征向量为1011，22的特征向量为2100，35的特征向量为3011。（3 分）（3）因为特征值不相等，则123,正交。（2 分）（4）将123,单位化得101121p，2100p，301121p（2 分）（5）取12301011,02211022Pppp（6）1100020005PAP（1 分）14、解：该非齐次线性方程组bAx对应的齐次方程组为0Ax精选学

17、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 11页因3)(AR，则齐次线性方程组的基础解系有1 个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（5 分）另一方面，记向量)(2321，则022)2(321321bbbAAAAA直接计算得0)6 ,5,4, 3(T，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为543265431kkx，Rk。（7 分）15、解：将与联立得非齐次线性方程组: .12,04,02,03213221321321

18、axxxxaxxaxxxxxx若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解 , 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵A作初等行变换得 : 112104102101112aaaA11000)1)(2(0001100111aaaaa. （4 分）1当1a时，有()()23r Ar A，方程组有解 , 即与有公共解 , 其全部公共解即为的通解，此时0000000000100101A，则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: 101, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测

19、试题共 3 页第 12页所以与的全部公共解为101k，k 为任意常数 . （4 分）2 当2a时，有()()3r Ar A，方程组有唯一解 , 此时0000110010100001A，故方程组的解为 :011, 即与有唯一公共解011x. （4 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 13页线性代数习题和答案第一部分选择题(共 28 分) 一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要

20、求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式aaaa11122122=m，aaaa13112321=n，则行列式aaaaaa111213212223等于（）A. m+n B. - (m+n) C. n- m D. m - n 2.设矩阵 A=100020003，则 A- 1等于（）A. 13000120001B. 10001200013C. 13000100012D. 120001300013.设矩阵 A=312101214，A*是 A 的伴随矩阵，则A *中位于（ 1，2）的元素是（）A. 6 B. 6 C. 2 D. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则

21、必有（）A. A =0B. BC 时 A=0C. A0 时 B=CD. |A|0 时 B=C5.已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组 1， 2， s和1，2， s均线性相关，则（）A.有不全为0 的数1，2，s使11+22+ss=0 和11+22+ss=0 B.有不全为0 的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（ s+s）=0 C.有不全为0 的数1，2，s使1（1- 1） +2（2- 2）+s（s- s） =0 D.有不全为0 的数1，2，s和不全为0 的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+

22、ss=0 7.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（）A.所有 r- 1 阶子式都不为0 B.所有 r- 1 阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有 r 阶子式都不为0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 14页8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2 个解，则下列结论错误的是（）A.1+2是 Ax=0 的一个解B.121+122是 Ax=b 的一个解C.1-2是 Ax=0 的一个解D.21-2是 Ax=b 的一个

23、解9.设 n阶方阵 A 不可逆，则必有（）A.秩 (A)n B.秩(A)=n- 1 C.A=0D.方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数和向量使 A=，则 是 A 的属于特征值的特征向量B.如存在数和非零向量，使 (E- A) =0，则是A 的特征值C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如1，2，3是 A 的 3 个互不相同的特征值，1，2， 3依次是 A 的属于1，2，3的特征向量，则 1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵 A 的特征方程的3 重根，A 的属于0的线性无关的特征向量的个数为k， 则必有（）A. k

24、 3 B. k3 12.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为 1 B.|A|必为 1 C.A- 1=ATD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=CTAC .则（）A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426C.100023035D.111120102第二部分非选择题（共 72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.11

25、135692536. 16.设 A =111111，B=112234.则 A +2B= . 17. 设A =(aij)33， |A|=2 ， Aij表 示 |A | 中 元 素aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（ 2，-3，5）与向量（ -4，6，a）线性相关，则a= . 19.设 A 是 3 4 矩阵，其秩为3，若 1，2为非齐次线性方程组Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为. 精选学习资料 -

26、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 15页20.设 A 是 m n 矩阵， A 的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为. 21.设向量 、的长度依次为2 和 3，则向量 +与- 的内积（ +，- ）= . 22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A|=8，已知 A 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为. 23.设矩阵 A=01061332108，已知 =212是它的一个特征向量，则所对应的特征值为. 24.设实二次型f(x

27、1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4，正惯性指数为3，则其规范形为. 三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）25.设 A =120340121，B=223410.求（ 1）ABT； （2） |4A |. 26.试计算行列式3112513420111533. 27.设矩阵 A=423110123，求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A +2B. 28.给定向量组 1=2103，2=1324，3=3021，4=0149. 试判断 4是否为 1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵 A=12102242662102333334. 求： （1）秩（ A） ；（2）A

28、 的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵 A=022234243的全部特征值为1，1 和- 8.求正交矩阵T 和对角矩阵D，使 T- 1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=xxxx xx xx x12223212132323444，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A+A2. 33.设0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解， 1， 2是其导出组Ax=0 的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是 Ax=b

29、的解；（2）0，1，2线性无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合测试题共 3 页第 16页答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10 空，每空2 分，共 20 分）15. 6 16. 33713717. 4 18. 10 19. 1+c(2- 1)（或 2+c(2- 1)） ，c 为任意常数

30、20. n- r 21. 5 22. 2 23. 1 24. zzzz12223242三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）25.解（1） ABT=120340121223410=861810310. （2）|4A |=43|A|=64|A |，而|A |=1203401212. 所以 |4A |=64 （- 2）=- 128 26.解311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.27.解AB =A+2B 即（ A- 2E） B=A，而（A- 2E）- 1=22311012114315316

31、41.所以B=(A- 2E)- 1A=143153164423110123=3862962129.28.解一213013010224341905321301011201311210350112008800141410350112001100001002010100110000,所以 4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）. 解二考虑 4=x11+x22+x33，即230312243491231223123xxxxxxxxxx.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页大学生校园网 VvSchool.CN 线性代数综合

32、测试题共 3 页第 17页方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29.解对矩阵 A 施行初等行变换A1210200062032820963212102032830006200021712102032830003100000=B. （1）秩（ B）=3，所以秩（ A）=秩（ B）=3. （2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形， B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）30.解A 的属于特征

33、值=1 的 2 个线性无关的特征向量为1=（2，- 1，0）T，2=（2，0，1）T. 经正交标准化，得1=2 5 55 50/，2=2 5 154 5 155 3/. =-8 的一个特征向量为3=122，经单位化得 3=1 3232 3/.所求正交矩阵为T=2 5 52 15 151 35 54 5 152 305 32 3/. 对角矩阵D=100010008.（也可取T=2 5 52 15 151 305 32 35 54 5 152 3/.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2- 2x3）2- 2x22+4x2x3- 7x32=（x1+2x2- 2x3）2- 2（x2-x3）2

34、- 5x32. 设yxxxyxxyx11232233322，即xyyxyyxy112223332，因其系数矩阵C=120011001可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形y12- 2y22- 5y32 . 四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.证由于（ E- A ） （E+A+A2）=E- A3=E，所以 E- A 可逆，且（ E- A）- 1= E+A +A2 . 33.证由假设 A0=b，A1=0，A2=0. （1）A1=A（0+1）=A 0+A1=b，同理 A2= b，所以 1，2是 Ax =b 的 2 个解。（2）考虑 l00+l11+l22=0，即（l0+l1+l2） 0+l11+l22=0. 则 l0+l1+l2=0，否则 0将是 Ax =0 的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设， 1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0 . 所以 0， 1，2线性无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页