2022年经济数学学习指导 .pdf

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1、1 / 17 经济数学基础学习指导【学习进度安排表】（供参考，可酌情自行安排）每年上半年和下半年各安排一次考试，分别在6 月份和 12 月份，每各学期的学习时间为 5 个月，分别安排如下（其中的（1.1 ）表示 1 月 1 号，其它类似）第一章极限与连续1.1 1.20 ，7.1 7.20 第二章导数与微分1.21 2.10 ，7.21 8.10 第三章导数的应用2.11 3.1 ，8.11 8.31 第四章不定积分3.2 3.20 ，9.1 9.20 第五章定积分3.21 4.10 ，9.21 10.10 第六章多元函数微分学4.11 4.30 ，10.11 10.31 复习，准备考试5.1

2、 ， 11.1 希望同学们在学习的时候，认真看视频课件，每一章的最后几次课，都是对参考书（高等教育出版社顾静相经济数学基础（上册）第二版）上的习题的讲解，希望大家在看完有关章节的内容后，自行完成对应本节内容的习题，完成习题后，对于有疑问的地方，可以直接看这部分课件的相应内容，对于这部分课件，不一定安顺序来看，可以作为大家查阅题目解法的资料来用，但是，要求大家一定要自己做过题目之后，再来看这一部分课件，即使作不出来，只要思考了，再看一下这部分课件，就可以起到事半功倍的效果。【章节知识点和重点难点】第一章极限与连续【知识点】函数、极限【重点难点】本章主要讲述了函数和极限两个问题。 1.函数理解函数

3、概念首先应该明确它是不同于相关关系的确定性关系，其次要能正确确定函数的定义域和判断它的值域，理解函数符号f 的含义。在理解函数概念的基础上，还要进一步掌握函数几种特性的表达式和几何意义，反函数的概念，分段函数的概念和求值得方法，六类基本初等函数的性质和图像，复合函数和初等函数的概念。2.极限在了解数列极限的定义、函数极限的定义（六种形式）、极限存在的充分必要条件的基础上，掌握极限的运算法则和下列求极限的方法：（1）利用函数的连续性求极限设f （ x ） 是 初 等 函 数 ， 定 义 域 为a,b， 若0 xa , b， 则00 xl i m f ( x )f ( x)x。我们知道求函数值一般

4、是不需要技巧的，因此这种求极限的方法是非常容易掌握的，它是求极限的首选方法。（2）当函数 y=f （x）在点0 x处连续时，可以交换函数符号和极限符号，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页2 / 17 00 xxlim f (x)f (lim x)xx（3）利用无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小求极限。（4）利用无穷小量与无穷大量的倒数关系求极限。（5）利用以下两个重要极限及其推论求极限，即（i）0sin xlim1xx；（ ii）x1lim 1exx或1t0lim 1tex，及其推论：00sin kxtankxli

5、mk ,limk (k0)xxxxbx cab0sinaxaalimlim (a0,b0)lim 1esinbxbxxxx和（a，b，c 为常数）对于有理分式的极限，可以按照下面归纳的方法来求。（1）0 xx时，当分母极限不为零时，可直接利用函数的连续性求极限。当分母极限为零时，又分为两种情况：如果分子极限不为零，则由无穷小量与无穷大量的倒数关系可得原式的极限为无穷大；如果分子极限也为零，则分解因式，消去无穷小量因子后再求极限。（2）x时，有下面的结论00(a0,b0)：nn 101n0mm 101m00 nm x函数概念和极限概念相结合的出的函数连续性的概念是本章的另一个重要概念，函数连续性

6、这部分主要应掌握函数在点0 x连续的两个等价定义、函数在点0 x连续和在该店极限存在的关系、判断间断点的条件和初等函数的连续性。【课程自主学习要求】1、了解反函数、函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念；左、右极限的概念；无穷小、无穷大的概念；闭区间上连续函数的性质。2、理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念；需求函数与供给函数的概念；函数极限的定义；无穷小的性质；函数在一点连续的概念；初等函数的连续性。3、掌握复合函数的复合过程；极限四则运算法则。4、会用函数关系描述经济问题；对无穷小进行比较；用两个重要极限求极限；判断间断点的类型；求连续函数和分段函数的极限。【课程

7、章节作业】1、求函数xxy2)1ln(的定义域。2、设1)(xxf，求)1)(xff。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 / 17 设11)(xxf，则)(xff=（）3、下列函数中，哪两个函数是相等的函数：A. 2)(xxf与ttg)( B.11)(2xxxf与1)(xxg4、 设1111)(xxxxxf，求函数的定义域及)0(),2(ff。5、 下列函数中，（）是偶函数。 A. xxxfsin)(3B.1)(3xxf C.xxaaxf)(D.xxxfsin)(26、 将复合函数)12cosln(xy分解成简单

8、函数。7、生产某种产品的固定成本为1 万元，每生产一个该产品所需费用为20 元，若该产品出售的单价为30 元，试求：(1) 生产x件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x件该种产品的总收入；(3) 若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？8、求下列极限：（1）xxx33sin9lim0（2）1)1sin(lim21xxx（3）xxx10)21(lim（4）222)sin(1coslimxxxxx（5）)11e(lim0 xxxx（6）)4421(lim22xxx9、填空、选择题(1) 下列变量中，是无穷小量的为（） A. )0(1lnxxB. )1(lnxx C. )0(

9、e1xxD. )2(422xxx（2） 下列极限计算正确的是（）。 A.xxx1sinlim001sinlimlim00 xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 / 17 B.xxx2sin2tanlim0122sin22tanlim0 xxxxx C.)(lim2xxxx0limlim2xxxxx D.1)11(limxxxxxxxx)11(lim1)11(limxxxeeee11（3）当k（）时，001)(2xkxxxxf在0 x处连续。A. 0 B.1 C. 2 D.1 10、已知21x11f (x),

10、f 0ffxff x 1f x1x2x求 : (),(),(-),(),(+ ),().11、下列各函数对中，（）中的两个函数相等A2)()(xxf，xxg)( B 11)(2xxxf，xxg)(+ 1 C2ln xy，xxgln2)(Dxxxf22cossin)(，1)(xg（提示：两个函数相等，就是它们的定义域、值域和对应法则都一样）12、下列结论中，（）是正确的A基本初等函数都是单调函数 B 偶函数的图形关于坐标原点对称C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数13、下列函数中为奇函数的是（）Axxy2BxxyeeC11lnxxyDxxysin14、若函数xxxxxxfx2)

11、,2ln(20,20,3)(，则 ( ) 成立Af (-1) = f (0) Bf (0) = f (1)C f (-1) = f (3)D f (-3) = f (3) 第二章导数与微分【知识点】导数、微分【重点难点】本章主要介绍了导数和微分的概念及计算方法. 1.基本概念导数是一种特殊形式的极限,即函数的改变量与自变量的改变量之比当自变量的改变量趋于零时的极限. 微分是导数与函数自变量的改变量的乘积或者说是函数增量的近似值. 几何意义 : 0()fx是曲线( )yf x在点00(,()xf x处的切线的斜率. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

12、- - -第 4 页，共 17 页5 / 17 dy是曲线( )yf x在点00(,()xf x处的切线纵坐标对应于x的改变量 . y是曲线( )yf x在点0 x处可导 ,则( )yf x在点0 x处一定连续 .反之 ,( )yf x在点0 x处连续时 ,则不一定可导. 2.基本计算方法本章最主要的计算是能够运用导数基本公式和运算法则(特别是乘积和商的运算法则),求简单函数和复合函数的导数. 求高阶导数和微分的方法与求导数的方法类似.较特殊的有隐函数求导法:设方程( , )0F x y表示自变量为x 因变量为y 的隐函数 ,并且可导 ,利用复合函数求导公式将所给方程两边同时对x 求导 ,然后

13、解方程求出y。对数求导法:对于两类特殊的函数,可以通过两边取对数,转化成隐函数,然后按隐函数求导的方法求出导数y. 3.简单应用导数 :曲线( )yf x在点000(,)Mxy处的切线方程为000()()yyfxxx微分 :当x很小时 ,有近似公式( )ydyfxx这个公式可以直接用来计算增量的近似值,而公式()( )( )f xxf xfxx可以用来计算函数的近似值. 【课程自主学习要求】了解导数、微分的几何意义、经济意义；函数可导、可微、连续之间的关系；高阶导数的概念。理解导数和微分的概念。掌握导数、微分的运算法则；导数的基本公式；复合函数的求导法则。导数与微分的概念是建立在极限概念的基础

14、上的，它是研究函数性态的有力工具。本章将介绍导数与微分的概念，计算导数与微分的基本公式和方法。【课程章节作业】1、填空、选择题（1）.设f xxx( )11，则)0(f（）。 A不存在B.1C. 0D. 1（2）设f xx( )ln，则1)(limxxfx1（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6 / 17 A1B. e12C.0D. 不存在（3）极限)(sin)sin(lim000 xxxxxA. 1 B. cosx0C. sin x0 D.不存在（4）设)(xf在0 x处可导，且0)0(f，则xxfx)(li

15、m0( )。 A.不存在B. )0(fC.0 D. 任意（5）曲线xxy3在点（ 1，0）处的切线是（） A. 22xyB. 22xyC. 22xyD. 22xy（6）函数xxf)(在点 x0=16 处的导数值)16(f（）。2、求下列导数或微分：（1） 设xxxy2e)2(，求y；（2）设xxxysin2e，求 y（3）设隐函数（4）设yxx121，求dy。3、填空、选择题（1）若xxxfcos)(，则)(xf（）AxxxsincosBxxxsincosCxxxcossin2Dxxxcossin2（2）已知函数y = f( x) 的微分 dy = 2 xdx, 则 y =( )。 A.0 B

16、.2x C.2 D.x2（3）)cos(lnx（）。 A.xtan B.xtan C.xcot D. xcot（4）若)(xf可导，且0)(xf，则下列不等式不正确的是( )。 A.)(1) )(lnxfxf B. )()() )(lnxfxfxfC.xxfxf)(ln) )(ln(D. )()()(1(2xfxfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 / 17 （5）若函数f (x)在点 x0处可导，则 ( )是错误 的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0 xfA C函数

17、f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微第三章导数的应用【知识点】罗尔定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则、利用导数判断函数的单调区间、凹向区间及求一元函数极值和作函数图形的方法【重点难点】1、中值定理（见下面框图）2、洛必达法则：若分式( )( )u xv x是00型或型未定式，而且( )lim()( )u xAv x或，则有( )lim( )u xv x( )lim()( )u xAv x或柯西定理条件：（ 1）( )f x，( )g x在,a b上连续（ 2）( )f x，( )g x在( , )a b内可导（ 3）( )0g x结论：( , )a b内至少存在一点，

18、使( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag罗尔定理条件：（ 1）( )f x在, a b上连续（ 2）( )f x在( , )a b内可导（3）( )( )f af b结论：( , )a b内 至 少存 在一 点，使( )0f拉格朗日条件：（ 1）( )f x在,a b上连续（ 2）( )f x在( , )a b内可导结论：( , )a b内 至 少 存 在 一 点，使( )( )( )f bf afba推论 1 若( )0fx，则( )f xc推论 2 若( )( )fxg x则( )( )fxg xC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

19、 - - - - - -第 7 页，共 17 页8 / 17 上述公式对0 xx和x都成立。3、 导数在研究函数特性方面的应用及函数作图（1）判断函数的单调区间设函数( )f x在区间,a b内可导。如果在,a b内，( )0fx，那么函数( )f x在区间,a b内单调增加；如果在,a b内，( )0fx，那么函数( )f x在区间, a b内单调减少。（2）求函数的极值设0()0fx，当x由小增大经过0 x点时，若( )fx由正变负，则0 x是极大值点；若( )fx由负变正，则0 x是极小值点；若( )fx不改变符号，则0 x不是极值点。或用二阶导数的符号判断：若0()0fx，则函数( )

20、f x在点0 x处取得极大值；若0()0fx，则函数( )f x在点0 x处取得极小值。（3）求函数在闭区间上的最大值和最小值用函数的极值（或驻点的函数值）和端点值相比较求得。（4）判断曲线的凹向区间和拐点在某个区间内，如果( )0fx，则曲线上凹；如果( )0fx，则曲线下凹。( )fx改变符号的点为曲线的拐点。（ 5 ） 求 曲 线 的 渐 近 线若lim( )xfxc， 则yc为 曲 线 的 水 平 渐 近 线 ； 若0l i m()xxf x，则0 xx为曲线的铅锤渐近线。（6）函数的作图问题是在以上（1），（ 2），（ 3），（ 4），（ 5）各问题讨论的基础上，列表、画图。4.导数

21、在经济问题中的应用（1）边际成本，边际收入，边际利润。（2）需求弹性，供给弹性。【课程自主学习要求】了解罗尔定理和拉格朗日中值定理. 理解函数极值的概念. 掌握求函数的极值,判断函数的增减与函数图形的凹向,求函数图形的拐点等方法. 会用导数关系描述边际,弹性等概念。描绘函数的图形。用洛必达法则求未定式的极限. 【课程章节作业】 1 、 (1) 在指定区间 10，10 内，函数y（）是单调增加的。 A.xsinB. xeC.2xD. )20ln( x（2）函数xxxfln)(的单调增加区间是（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页

22、，共 17 页9 / 17 （3）若fx()00，则x0是函数fx( )的（）A. 极大值点B. 最大值点 C. 极小值点 D. 驻点（4）若某商品的需求量q 对价格p 的函数q=100（）P，则需求量对价格的弹性EP=2、经济应用题 1生产某种产品q台时的边际成本10005.2)(qqC（元 / 台），固定成本500元，若已知边际收入为,20002)(qqR试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产100 台，利润有何变化？2. 设某产品的成本函数为C qqq( )12531002（万元）其中 q 是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？3.

23、 生产某种产品的固定费用是1000 万元，每多生产1 台该种产品，其成本增加10 万元，又知对该产品的需求为q=120- 2p(其中 q是产销量，单位：台；p 是价格，单位：万元). 求(1) 使该产品利润最大的产量；(2) 使利润最大的产量时的边际收入.第四章不定积分【知识点】不定积分、基本积分公式、换元积分法、分部积分法、一阶微分方程【重点难点】1.原函数与不定积分的概念设函数( )f x是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数( )F x，对于该区间上每一点都有( )( )( )( )Fxf xdF xf x或，则称( )F x是( )f x在该区间上的一个原函数。( )f x的不定

24、积分是( )f x的全部原函数。即( )( )fx dxF xC2.不定积分的性质不定积分与求导数或微分互为逆运算。两个函数之和的不定积分等于各自积分的和。被积函数的非零常数因子可移到积分号外。3.换元积分法第一换元法：设( )( )f u duF uC，则( )( )fxx dx( )( )fx dx( )FxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页10 / 17 其中( )x可导，( )x连续。第二换元法：设( )xt，( ) t可导，( ) t连续，( )( )( )fx dxftt dt1( )( )F tCF

25、xC4.分部积分法udvuvvdu5.一阶微分方程变量已分离的微分方程一般形式为( )( )f x dxg y dy两边积分可求得方程的通解。一阶线性非齐次方程一般形式为( )( )yp x yq x可用常数变易法或公式法求其通解。6、 积分表不定积分的计算比较灵活，计算量较大。为了方便，往往把常用的积分公式汇集在一起，称为积分表，读者应熟记基本积分表。另一些常用积分公式则列表如下，计算有关积分时，可查表直接应用这些公式： 1.tanln cosxdxxC 2.cotln sinxdxxC 3.secln sectanxdxxxC 4.cscln csccotxdxxxC 5.2arcsina

26、rcsin1xdxxxxC 6.2arccosarccos1xdxxxxC 7.2arctanarctanln1xdxxxxC 8.2arccotarccotln1xdxxxxC 9.2211arctanxdxCaxaa 10.2211ln2xadxCxaaxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 / 17 11.221arcsinxdxCaax 12.22221lndxxxaCxa 13.2222222ln22xaxa dxxaxxaC【课程自主学习要求】理解原函数和不定积分的概念掌握不定积分的基本公式，掌握

27、不定积分的换元积分和分部积分法了解不定积分的经济应用了解微分方程的概念。会解简单的一阶微分方程【课程章节作业】1、填空、选择题(1) 若)()(xfxF，则（）成立AcxfxxF)(d)(BcxFxxf)(d)(CcxfxxF)(d)(DcxFxxf)(d)(2) 如果fxxxc( )sind2，则 f（x） =（） .A. 2sin2 xB. 2cos2xC. 2sin2xD. 2cos2x (3) 已知x axx()d011，那么常数a =（）A.38B. 36C. 34D. 32( 4) ln 2xxxd（）Aln ()22xB. 1222ln ()xcC.222ln ()xcD. 14

28、22ln ()xc(5)设F x( )是函数f x( )的一个原函数，则xfxx()2d（）AFxc()2B. Fxc()2C.122Fxc()D. 122Fxc()( 6) 设f x( )的一个原函数是e2x，则f x()（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12 / 17 A. e2 xB. 22exC. x2e4D. 42ex(7) 设函数xxg)(, 则xxgd)(2=( )A. x2+c B. cx331C. cxD. cx221(8). 已知xxxfd)(=sinx+c，则 f（ x）=( ) A.

29、xxsin B. xsinx C.xxcos D. xcosx2、试证明2)ee()(xxxF与2)ee()(xxxG是同一函数的原函数. 3、计算下列积分（1）2321xxxdxx（2）xxxln()1 d（3）4sincosdxx x（4）xxxd)1sin(第五章定积分【知识点】定积分、变上限定积分、牛顿莱布尼茨公式、定积分在经济管理中的应用、平面图形的面积计算【重点难点】1.定积分的概念函数( )yf x在区间, a b上的定积分是通过积分和的极限定义的：01( )lim()nbiiaxif x dxfx这与不定积分的概念是完全不同。通过牛顿-莱布尼茨公式，可以利用不定积分来计算定积分

30、，从而建立了两个概念间的联系。2.定积分的性质定积分的性质（见5.1.3 性质 17）在积分的理论和计算中具有重要的应用。除了上述性质外，以下结论在积分计算中也有重要应用：（1）定积分的值仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的选取无关。即( )( )bbaaf x dxf t dt（2）交换定积分的积分上、下限，定积分变号，即( )( )baabf x dxf x dx特别地，当ab时，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 / 17 ( )0baf x dx（3）对于定义在,a a上的连续奇（偶）函数( )

31、f x，有00,( )2( )aaaf x dxf x dx( );( ).f xf x当为奇函数当为偶函数3.变上限的定积分如果函数( )f x在, a b上连续，则函数( )( )xaxf t dt,xa b以x为积分上限的定积分的导数等于被积函数在上限x处的值。即( )( )( )xaxf t dtfx一般地，如果( )g x可导，则( )( )( ( )( )g xaf t dtfg xgx4.牛顿 -莱布尼茨公式设函数( )f x在区间,a b上连续，且( )F x是( )fx的一个原函数，则bafx dxF bF a这一公式说明：只需计算( )f x的一个原函数或不定积分，就可以求

32、得( )f x在区间,a b上的定积分。5.定积分的计算（1）定积分的换元积分法。用换元积分法计算定积分时，应注意定理5.3 的条件，特别是变换( )xt的单调性，并与不定积分的换元法相区别。（2）定积分的分部积分法。6.无限区间上的广义积分无限区间上的广义积分，原则上是把它化为一个定积分，再通过求极限的方法确定该广义积分是否收敛。在广义积分收敛时，就求出了该广义积分的值。7.定积分的应用定积分可应用于求平面图形的面积，或在已知某经济函数的变化率或边际函数时，求总量函数或总量函数在一定范围内的增量。【课程自主学习要求】理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质掌握变上限定积分的导数计算方法。精选学

33、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页14 / 17 熟练运用牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分布积分法。了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积。【课程章节作业】1、填空、选择题(1 ) 积分x xd11=（）(2 ) xx xsin2-11d（）（3）若广义积分21de0-axx，则 a =（）.A. 1 B.21C. 2D.- 1 （4）axttxd)1ln(dd2=( )A. ln(x2+1) B. ln( x2+1) C. ln( x2

34、+1)2x D.ln(x2+1)2x （ 5）下列微分方程中（）为一阶线性微分方程A、 B、C、 D、2、 计算下列定积分（1）xxxde21（2）102dxxex（3）xxxde113、求曲线2xy与直线xy4及)1(1 xx所围成平面图形的面积4、 应用题已 知 某 产 品 的 边 际 成 本)(xC=2 （ 元 / 件 ） ， 固 定 成 本 为0 ， 边 际 收 益xxR02.012)(，其中 x 为产量求：(1) 产量为多少时利润最大？ (2) 在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？5、 方程0e)(23yyx是阶微分方程精选学习资料 - - - - - - -

35、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 / 17 6、 求解初值问题yxyy()( )3100227、 求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解第六章 多元函数微分学【知识点】空间直角坐标系、多元函数、二元函数的偏导数和全微分、隐函数和复合函数的微分法、二元函数极值【重点难点】1.空间直角坐标系空间直角坐标系的引入，使空间中的点与有序实数组（x， y，z），空间中的曲面与方程F（x，y，z）=0 建立了相应的对应关系。这为研究二元函数性质提供了直观的几何解释。2.二元函数的极限和连续二元函数的定义与一元函数的定义类似，但更应注意它们之间的差

36、异。一元函数的定义域是数轴上的点集，二元函数的定义域一般是平面上的点集。在讨论一元函数在0 x处的极限和连续性时，点x 趋于0 x的方式仅有从点0 x的左、右两个方向沿数轴趋于0 x；但在讨论二元函数在点00,xy处的极限和连续性时，点（x，y）趋于00,xy，则可以有无穷多种方式和路径在平面上趋于00,xy。因此，对二元函数极限和连续问题的讨论要比一元函数负杂得多。3.偏导数和全微分求二元函数偏导数时，只需将一个自变量看作常数，对另一自变量运用一元函数求导公式和四则运算法则即可。但是，二元函数偏导数的存在不能保证二元函数连续。这与一元函数可导必连续是完全不同的。二元函数的全微分概念类似于一元

37、函数。在一元函数微分学中，可导即可微。但是，在二元函数中，两个偏导数,xyfx yfx y存在，也不能保证函数f（x， y）在点（ x，y）处可微。而f（x， y）在点（ x， y）处可微时，则偏导数,xyfx yfx y存在，并且全微分( , ),xydf x yfx y dxfx y dy二 元 函 数 的 高 阶 偏 导 数 是 相 应 的 低 一 阶 偏 导 数 的 偏 导 数 ， 由 此 定 义 可 求222222,.zzzzxx yy xy但应注意：二阶混合偏导数不一定相等，只有在某些条件下它们才是相等的。可以证明：设函数z=f（ x，y）在区域D 内连续，并且存在一阶偏导数和二阶

38、混合偏导数22zzx yy x和，如果在点00,xy处，22zzx yy x和连续，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 / 17 22zzx yy x注在本教材的例题和习题中，函数z=f（x，y）均满足这一结论的条件。4.复合函数和隐函数的微分法在利用复合函数微分法时，应先分清变量间的关系：哪些是中间变量，哪些是自变量。一般，可画出变量关系图，明确复合关系，然后运用公式得到正确结果。利用公式法求隐函数的偏导数时，则应先把方程化为F（x，y，z）=0（或F（x， y）=0）的形式，在计算,FFFxyz要把 x

39、， y，z 看做独立的自变量，就可得到,FFzzyxFFxyzz5.二元函数的极值在求二元函数z=f（x，y）的极值时，应按下述步骤进行：（1）由函数极值存在的必要条件，求解( ,)0,( ,)0,xyfx yfx y得到所有的驻点。（2）对于每一驻点00(,)xy，计算 z=f（ x，y）的二阶偏导数在该点的值：000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy（3）判断00(,)xy是否为极值点：利用极值的充分条件，当2000(,)BACxy时，是 极 值 点 。 且0A时 ， 函 数 有 极 大 值00(,);0f xyA当时，函数有极小值00(,).f xy当200

40、0(,)BACxy时，不是极值点。当20BAC时，不能确定00(,)xy是否为极值点。【课程自主学习要求】了解空间直角坐标系的概念。理解二元函数的概念，了解二元函数的极限、连续的概念和性质。理解二元函数的偏导数、全微分的概念，掌握求二元函数偏导数和全微分的方法。掌握隐函数和复合函数的微分法。了解二元函数极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘子法求解简单的条件极值问题。【课程章节作业】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页17 / 17 1.求满足下列条件的点的坐标：（1）点（ 2，-1， 1）关于 xy 平面的对称点；（2）点（ 2，-1， 1）关于 xz 平面的对称点；（3）点（ 2，-1， 1）关于原点O的对称点。2.判断下列各点是否在球面2221219xyz上：(1) 1,1, 1 ;(2)2, 2,2 ;(3) 3,2,33. 求下列函数的极值：2211zxxyyxy22zxyxy求在约束条件下的极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页