2022年函数及其表示 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函数及其表示基础知识1、函数与映射的概念函数映射两集合设AB、是两个非空数集设AB、是两个非空集合对应关系:fAB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应。如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。名称称:fAB为从集合A到集合B的一个函数称:fAB为从集合A到集合B的一个映射记法( )yf x，xA对应:fAB是一个映射注： 函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。

2、2. 函数的定义域与值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域 .显然，值域是集合B 的子集。温馨提示：(1) A、B都是非空数集，因此定义域( 或值域 )为空集的函数不存在(2) 函数关系的判断要注意“每一个” 、 “都有” 、 “唯一”等关键词(3) 注意 f ( x) 与 f ( a)的区别，f (a)表示当 xa 时的函数值，是一个常量；而 f (x)是关于 x 的函数，一般情况下是一个变量，f ( a) 是 f ( x)的一个特殊值（4）y=f (x) 仅仅是函数

3、符号。3、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域4、区间的概念及表示法设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做 , a b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 , )a b，( , a b；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页精品资料欢迎下载满足,xa xa xb xb的实数x的集合分别记做 ,),(,),(, ,(, )aabb。注意： 对于集合|x axb与区间( , )a b，前者a可以大于或等于b

4、，而后者必须ab。5、相等函数：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函数相等注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x 和y=x+1, 其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如 y=sinx与 y=cosx ，其定义域为R，值域都为 -1 ，1 ，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域 和 对应关系 ）6、函数的表示法有：解析法 、 列表法 、 图像法7、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数

5、的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 。例题精讲：考点一：函数与映射概念考查例 1 判断下列图象能表示函数图象的是（）练习 1：函数( )yf x的图象与直线 x = a 的交点个数（）A.只有一个B.至多有一个 C.至少有一个 D.0个练习 2：下述两个个对应是A到B的映射吗？（1） AR，|0By y，:|fxyx；（2）|0Ax x，|By yR，:fxyx 练习 3：下列是映射的是（）x y 0 (A) x y 0 (B) x y 0 (D) x y 0 (C) a b c e a b c e fa b c

6、e fga b c e fa b e fg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页精品资料欢迎下载图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 (A) 图 1、2、3 (B)图 1、2、5 (C)图 1、3、5 (D)图 1、2、3、5 函数相等： 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致. 例 2指出下列各函数中，哪个与函数yx是同一个函数：（1）2xyx；（2）2yx；（3）st练习 1：判定下列各组函数是否为同一个函数：（1）( )f xx，33( )f xx； （2）( )1f xx，21( )1xf xx练习

7、2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，; 01, 01)(xxxg（3）xxf)(1x，xxxg2)(；（4）12)(2xxxf，12)(2tttg（5）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*） ；考点二：函数定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）若 f(x) 为整式，则其定义域为实数集R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页精品资料欢迎下载（2）若 f(x) 是分式，则其定义域是使分母不等于0 的实数的集合（3）若 f(x) 是偶

8、次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数的集合。（4）若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集。（5）0( )0f xxxR x的定义域是例求下列函数的定义域：（）11fxx；（）12fxx例 2 设213xfx，求0f，2f，5f，f b练习 1：函数2143fxxx的定义域为（） A 22，B 2,33， C22,33， D2，练习 2：函数xxxxf0)1()(的定义域是（） A.0| xx B. 0| xx C. 10|xxx且 D. 10|xxx且题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域1、复合函数的定义如果y是u

9、的函数，u又是x的函数，即( )yf u，( )ug x，那么y关于x的 函数( ( )yf g x叫做函数( )yf u（外函数）和( )ug x（内函数）的复合函数，其中 u是中间变量， 自变量为 x 函数值为y。例如：函数212xy是由2uy和21ux复合而成立。2求有关复合函数和抽象函数的定义域(1) 函数 f(x) 的定义域是指 x 的取值范围所组成的集合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页精品资料欢迎下载(2) 函数 f(g(x)的定义域还是指 x 的取值范围，而不是g(x) 的范围。(3) 已知 f(

10、x) 的定义域为 A ，求 f(g(x)的定义域，其实质是已知g(x) 的取值范围是 A，求出 x 的取值范围。(4) 已知 f(g(x)的定义域为 B，求 f(x) 的定义域，其实质是已知f(g(x)中的 x的取值范围为 B，求出 g(x) 的范围，此范围就是f(x) 的定义域。(5) 同在对应法则 f 下的范围相同， 即 f(t)、f(g(x)、f(h(x)三个函数中的 t ，g(x) ，h(x) 的范围相同。例 1 已知函数( )f x的定义域为0,1，求函数2(2)fx的定义域。例 2 已知函数(21)fx的定义域为1,2，求函数( )f x的定义域。例 3 已知函数2(1)f x的定

11、义域为(2,5)，求函数1()fx的定义域。练习 1：已知(21)yfx的定义域是（ -2，0） ，求(21)yfx的定义域 .练习 2： 若函数)(xf的定义域是 0 ，1 ，求)21(xf的定义域；若)12( xf的定义域是 -1 ，1 ，求函数)(xf的定义域；已知)3(xf定义域是5 ,4，求)32( xf定义域*例 4、设函数 f(x) 的定义域为 0,1,求 F(x)=f(x+m)+f(x-m)(m0)的定义域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页精品资料欢迎下载题型 3：定义域的逆向思维问题例 1、若函

12、数21( )+43f xaxax的定义域是 R，求实数 a 的取值范围？练习 1、已知函数268ymxmxm的定义域为 R，则 m的取值范围是？练习 2、已知函数218yaxbx的定义域为 -3,6,求 a,b 的值。练习 3、(1) 若函数222( )(1)(1)1f xaxaxa的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2) 判断 k 为何值时，函数228( )21kxf xkxkx的定义域为 R.考点三：求函数值域题型 1：函数值域的解法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页精品资料欢迎下载1、观察法例 1、求函

13、数22()1xyxRx的值域是练习 1、求函数1yx的值域是练习 2、求函数1xyx的值域2、配方法例 1 求二次函数256( 32)yxxx的值域。例 2、求函数23yxx的值域练习 1、求函数254yxx的值域练习 2、求函数1( )1(1)f xxx的值域练习 3、求的值域( )35f xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页精品资料欢迎下载3、图像法（数形结合法）例 1、 求244( 2,3)3yxx的值域。练习 1、求函数12yxx的值域练习 2、求函数( )122f xxx的值域4、换元法例 1、 求函

14、数12yxx的值域。练习 1、求函数2yxx的值域练习 2、求函数( )3 423, 1,2xxf xx的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页精品资料欢迎下载5、分离常数法例 1、求函数351xyx的值域练习 1、求函数5142xyx的值域练习 2、求212xxeye的值域。练习 3、求函数22566xxyxx的值域6、判别式法例 1、 求函数22221xxyxx的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页精品资料欢迎下载练习 1、求函

15、数2224723xxyxx的值域练习 2、求函数2211xxyxx的值域7、反表示法例：求函数1(1)2xyxx的值域。练习 1、求函数21(3)3xyxx的值域。练习 2、求函数23(1)1xyxx的值域。8、中间变量值域法例：求函数2241xyx的值域。练习 1、求函数421xxeye的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页精品资料欢迎下载练习 2、求函数22231xyx的值域。题型 2：函数值域的逆向问题例：求使函数2221xaxyxx的值域为(,2)的 a 的取值范围。练习 1：若函数2( )1axbf

16、 xx的最大值为 4，最小值为 -1，求实数 a，b 的值。练习 2、折 A=1,b(b1),函数21( )(1)12f xx，当 xA时，f(x) 的值域也是A，试求 b 的值。考点四 、函数解析式求法1、直接代入法例：已知1)(2xxf，求)(2xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页精品资料欢迎下载练习： 已知( )21f xx，求2(1)f x2、配凑法例：已知22113(1)xfxxx，求( )f x的解析式。练习 1、已知(1)2fxxx，求( )f x的解析式。练习 2、已知2211()fxxxx，

17、求( )f x的解析式。3、换元法例：已知(1)2fxxx，求( )f x的解析式。练习 1、已知(12)2fxxx，求( )f x的解析式。练习 2、已知2211()11xxfxx，求( )f x的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页精品资料欢迎下载4、待定系数法例：一次函数)(xf满足14)(xxff，求)(xf练习 1、已知( )fx是二次函数，且2(1)(1)244fxf xxx，求( )f x。5、特殊值法例： 已知对一切,x yR， 关系式()( )(21)f xyf xxyy且(0)1f， 求

18、( )fx。练习：)(xf对任意实数 x ，y 有)(2)()(yxyxfyxf，且1)1(f，求)(xf6、转化法例：设( )fx是定义在(,)上的函数， 对一切 xR，均有( )(2)0f xf x，当11x时，( )21f xx，求当 13x时，函数( )f x的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页精品资料欢迎下载7、方程组法例：已知函数( )f x满足213 ( )( )f xfxx，求( )f x练习 1、已知函数( )f x满足1( )2 ( )21f xfxx，求( )f x练习 2、已知函数

19、( )f x满足22( )()2f xfxxx，求( )f x练习 3、已知函数( )f x满足3 (1)2(1)2f xfxx，求( )f x8、分段求解法例： 已知函数2,0( )21, ( )1,0 xxf xxg xx，求( ),( )f g xg f x的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页精品资料欢迎下载练习： 已知函数221,0( )1, ( )2,0 xxf xxg xxx，求 ( ),( )f g xg f x的解析式考点五 、分段函数例 1、2,(0)( ),(0) ,( 2)0,(0)x

20、xf xe xfffx已知则的值为（）A.0 B.e C. D.4 例 2、 设函数 f ( x) x2x，xb) 分段函数( ), , ( )( ), , g x xa bf xh xxc d为单调递增函数( ) , ( ) ,( )( )g xa bh xc dg bh c在区间上递增在区间上递增；分段函数( ), , ( )( ), , g x xa bf xh xxc d为单调递减函数( ) , ( ) ,( )( )g xa bh xc dg bh c在区间上递减在区间上递减；图像变换规律一、平移变换。 （左 +右- ，上 +下- ）(1) 将函数 y=f(x)的图象沿x 轴向左平移

21、 m(m0)个单位，得到函数y=f(x + m)的图象 ; 将函数 y=f(x)的图象沿x 轴向左平移 m(m0)个单位，得到函数y=f(x - m)的图象 . (2) 将函数 y=f(x)的图象沿y 轴向上平移 n(n0) 个单位，得到函数y=f(x) + n的图象 ; 将函数 y=f(x)的图象沿y 轴向下平移 n(n0) 个单位，得到函数y=f(x)- n的图象 ; 二、对称变换。(1) 将函数 y=f(x)的图象关于x 轴对称，得到函数y=-f(x)的图象。(2) 将函数 y=f(x)的图象关于y 轴对称，得到函数y=f(-x)的图象。(3) 将函数 y=f(x)的图象关于原点对称，得到函数y=-f(-x)的图象。(4) 将函数 y=f(x)的图象关于直线y = x对称，得到函数y=f-1(x) 的图象。(5) 保留函数y=f(x)在 x 轴上及 x 轴上方的部分，把x 轴下方的部分关于x 轴对称到x轴上方， ( 去掉原来下方的部分) ，得到函数y=f(x)的图象。(6) 保留函数y= f(x)在 y 轴上及 y 轴右侧的部分，去掉y 轴左侧的部分，再将右侧图象对称到 y 轴左侧，得到函数y=f( x) 的图象。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页