2022年绝对值的三角不等式典型例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载1.4 绝对值三角不等式教学目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2. 掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。教学重点： 定理 1 的证明及几何意义。教学难点： 换元思想的渗透。教学过程：一、引入 ：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）baba（2）baba（3）baba（4）)0(bbaba请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质baba和)0(bbaba可以

2、从正负数和零的乘法、除法法则直接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和 a 哪个大？显然aa，当且仅当0a时等号成立（即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成立）。同样，. aa当且仅当0a时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。二、典型例题 ：例 1、证明 （1）baba，（2）baba。证明（ 1）如果,0ba那么. baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()(精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载（2）根据（1）的结果，有bbabba，就是，abba。所以，baba。例 2、证明bababa。例 3、证明cbcaba。思考： 如何利用数轴给出例3 的几何解释？（设 A， B， C为数轴上的 3 个点，分别表示数 a， b，c， 则线段.CBACAB当且仅当 C在 A，B之间时，等号成立。 这就是上面的例 3。特别的，取 c0 （即C为原点） ，就得到例 2 的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？定理 1 如果,a bR, 那么baba. 在

4、上面不等式中 , 用向量,a b分别替换实数,a b, 则当,a b不共线时 , 由向量加法三角形法则 : 向量,a b ,ab构成三角形 , 因此有 a+ba+b其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2 和例 3 的结果来证明。例 4、已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx证明)()()()(byaxbayxbyax（1）2,2cbycax，cccbyax22（2）由（1） ， （2）得：cbayx)()(例 5、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223

5、232。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载1、已知.2,2cbBcaA求证：cbaBA)()(。2、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。作业：习题 1.2 2 、3、5 1.4 绝对值三角不等式学案预习目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2. 了解定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式。预习内容：1绝对值的定义 ：aR

6、，|a2. 绝对值的几何意义 ： 10. 实数a的绝对值|a，表示数轴上坐标为a的点 A 20. 两个实数,a b，它们在数轴上对应的点分别为,A B，那么|ab的几何意义 是3. 定理 1 的内容是什么？其证法有几种？4. 若实数,a b分别换成向量,a b定理 1 还成立吗？5、定理 2 是怎么利用定理 1 证明的？探究学习：1、绝对值的定义的应用例 1 设函数( )14f xxx1 解不等式( )2fx； 2 求函数( )yf x的最值 2. 绝对值三角不等式： 探究|a，|b，|ab之间的关系 . 0a b时, 如下图 , 容易得 ：| |abab . 0a b时, 如图, 容易得 ：

7、 |abab . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载0a b时, 显然有 ：| |abab . 综上, 得定理 1 如果,a bR, 那么 |abab . 当且仅当时, 等号成立. 在上面不等式中 , 用向量,a b分别替换实数,a b, 则当,a b不共线时 , 由向量加法三角形法则 : 向量,a b ,ab构成三角形 , 因此有|abab它的几何意义就是 : 定理 1 的证明 : 定理 2 如果, ,a b cR, 那么| |a ca bb c. 当且仅当时, 等号成立.3、定理应用例 2 （1）

8、, a bR证明baba，（2）已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx。课后练习 ：1.当1babaRba时，不等式、成立的充要条件是Aab0 Bab220 C ab0 D ab0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载2.对任意实数x，|1|2 |xxa恒成立，则a的取值范围是；3.对任意实数x，|1|3|xxa恒成立，则a的取值范围是4.若关于x的不等式|4 |3|xxa的解集不是空集，则a的取值范围是.5 方程223xxx223xxx的解集为 ,不等式22|xxxx的解集是.6 已知方程1|

9、12|12|axx有实数解，则 a 的取值范围为。7. 画出不等式1yx的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式 1、111xx; 2、. 12 yx.8 解不等式： 1 、112xx; 2、112xx; 3、321xx ; 4、. 0312xx. 9 1 、已知.6,4ayax求证：ayx32。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载 2 、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。3 、 已知.3,3,3scCsbBsaA求证：scbaCBA)()(.10 1 、已知.,ayax求证：

10、.axy 2、已知. 0,cychx求证：.hyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载参考答案 : 课后练习1. B. 2、a3 3 、a4 4、a7 5、 -3 x=-2 或 x=0 x2 6、-3=a-1 7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：0 x，0y，1yx. 其图形是由第一象限中直线xy1下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式1yx的图形是以原点O 为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究： 利用不等式的图形解不等式1. 111xx; 2.12 yx答案： 1、-0.5x0.5 2.为一菱形区域。8、1 、0 x-1/2 3、x0 4 、x-2 .9 1 、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223232。 2、 3 （解答略） 10 、 （解答略）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页