2022年函数的奇偶性 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函数的奇偶性【学习目标】1. 理解函数的奇偶性定义；2. 会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3. 掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x) 称为偶函数 . 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数 . 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中， 那么 -x 在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()(

2、)()0,1( )0)( )fxf xfxf xf x， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()( )()01( ( )0)( )fxf xfxfxf x，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0 ；（5）若 f(x) 既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2. 奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数

3、. 3. 用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数( )fx的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数( )f x的定义域，化简函数( )f x的解析式；（3）求()fx，可根据()fx与( )f x之间的关系，判断函数( )f x的奇偶性 . 若()fx=-( )f x，则( )f x是奇函数；若()fx=( )f x，则( )f x是偶函数；若()fx( )fx，则( )f x既不是奇函数，也不是偶函数；若()fx( )f x且()fx=-( )f x，则( )f x既是奇函数，又是偶函数要点

4、二、判断函数奇偶性的常用方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页精品资料欢迎下载（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与( )fx之一是否相等 . （2）验证法： 在判断()fx与( )f x的关系时， 只需验证()fx( )f x=0 及()1( )fxf x是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称 . （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积

5、是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断. 在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. 分段函数不是几个函数，而是一个函数. 因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()fx与( )f x的关系 . 首先要特别注意x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，( )f x与()fx对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较 . 要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间a,b和-b ，-a 上具有相同的单调性

6、，即已知( )f x是奇函数，它在区间a,b上是增函数 （减函数），则( )f x在区间 -b ，-a 上也是增函数 （减函数）；偶函数在其对称区间a,b和-b ，-a 上具有相反的单调性，即已知( )fx是偶函数且在区间a,b上是增函数 （减函数）， 则( )f x在区间 -b ，-a 上也是减函数（增函数）. 【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例 1. 判断下列函数的奇偶性：(1)1-( )(1)1xf xxx； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)21-( )|2|-2xf xx；(5)22-(0)( )(0)xx xf xxx x；

7、(6)1( ) ( )-()()2f xg xgxxR【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断. 【答案】（1）非奇非偶函数； （2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数【解析】 (1) f(x) 的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2) 对任意 xR，都有 -x R，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(3) xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)， f(x)为奇函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

8、 - - - -第 2 页，共 13 页精品资料欢迎下载(4)2-1x11-x0 x-1,00,1x0 x-4x+22且221-1-( )(2) -2xxf xxx221- (- )1-(- )-( )-xxfxf xxx， f(x)为奇函数；(5) xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)， f(x)为奇函数；(6)11(- )(- ) - -(- ) (- ) -( )-( )22fxgxgxgxg xf x， f(x) 为奇函数 . 【总结升华】 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域. 函数的定义域关于原点对称是函数

9、具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域， 否则就会做无用功. 如在本例 （4）中若不研究定义域，在去掉|2 |x的绝对值符号时就十分麻烦. 举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1)23( )3xf xx；(2)( )|1|1|f xxx；(3)222( )1xxf xx；(4)22x2x1(x0)f (x)0(x0)x2x1 (x0). 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数； （4）奇函数【解析】 (1)( )f x的定义域是R，又223()3()( )()33xxfxf xxx，( )f x是奇函数（2）(

10、)f x的定义域是R，又()|1|1| |1|1|( )fxxxxxf x，( )f x是偶函数（3）22()()()11fxxxxx()( )()( )fxf xfxf x且，( )f x为非奇非偶函数（4）任取 x0 则-x0 ， f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取 x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0 时， f(0)=-f(0) xR时， f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数 . 【高清课堂：函数的奇偶性356732 例 2（ 1） 】【变式 2】已知

11、f(x) ，g(x) 均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数， f(x)g(x) 为偶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页精品资料欢迎下载函数 . 证明： 设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x) 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x) -g(x)=f(x) g(x)=G(x) f(x)+g(x)为奇函数， f(x) g(x) 为偶函数 . 【高清课堂：函数的奇偶性356732

12、例 2（ 2） 】【变式 3】设函数( )f x和 g(x ) 分别是 R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）. A( )f x+|g(x)|是偶函数 B( )f x-|g(x)|是奇函数C|( )f x| +g(x)是偶函数 D |( )f x|- g(x)是奇函数【答案】 A 例 2. 已知函数( ),f xxR，若对于任意实数,a b都有()( )( )f abf af b，判断( )f x的奇偶性 . 【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b，都有()( )( )f abf af b，可以令,a b为某些特殊值，得出()( )fxfx. 设0,a则( )(0)( )f b

13、ff b，(0)0f. 又设,ax bx，则(0)()( )ffxf x，()( )fxfx，( )fx是奇函数 . 【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解. 在这里，由于需要判断()fx与( )f x之间的关系，因此需要先求出(0)f的值才行 . 举一反三：【变式1】已知函数(),fxxR，若对于任意实数12,x x，都有12121()()2()()fxxfxxfxfx，判断函数( )f x的奇偶性 . 【答案】偶函数【解析】令120,xxx得( )()2 (0)( )f xfxff x，令210,xxx得( )( )2(0)( )f xf xff x由上两式得：( )()

14、( )( )fxfxf xfx，即()( )fxf x( )f x是偶函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精品资料欢迎下载类型二、函数奇偶性的应用( 求值，求解析式，与单调性结合) 例 3. f(x)，g(x) 均为奇函数，( )( )( )2H xaf xbg x在0,上的最大值为5，则( )H x在（-,2）上的最小值为【答案】 -1 【解析】考虑到( ),( )f xg x均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求( )H x与()Hx的关系( )H x+()Hx=( )( )2()()2afxbg x

15、afxbgx()( ),()( )fxf xgxg x，( )()4H xHx当0 x时，( )4()H xHx，而0 x，()5Hx，( )1H x( )H x在(,0)上的最小值为 -1 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现( )( )afxbg x也是奇函数， 从这个思路出发，也可以很好地解决本题过程如下：0 x时，( )H x的最大值为5，0 x时( )( )afxbg x的最大值为3，0 x时( )( )afxbg x的最小值为-3 ，0 x时，( )H x的最小值为-3+2=-1 举一反三：【变式 1】已知 f(x)=x5+ax3-bx-8 ，且 f

16、(-2)=10，求 f(2). 【答案】 -26 【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令 g(x)=f(x)+8易证 g(x) 为奇函数g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g便能迎刃而解 .例 4. 已知( )fx是定义在

17、R上的奇函数，当0 x时，2( )31f xxx，求( )fx的解析式【答案】2231,0,( )0,0,31,0.xxxf xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页精品资料欢迎下载【解析】( )f x是定义在R上的奇函数，()( )fxfx，当0 x时，0 x，2( )()()3()1f xfxxx =231xx又奇函数( )f x在原点有定义，(0)0f2231,0,( )0,0,31,0.xxxf xxxxx【总结升华】若奇函数( )f x在0 x处有意义，则必有(0)0f，即它的图象必过原点（0，0）

18、举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例 3】【变式 1】（ 1）已知偶函数( )f x的定义域是R，当0 x时2( )31f xxx，求( )f x的解析式 . （2）已知奇函数( )g x的定义域是R，当0 x时2( )21g xxx，求( )g x的解析式 . 【答案】（ 1）2231(0)( )31(0)xxxf xxxx；（ 2）2221(0)( )0021(0)xxxg xxxxx（）例 5.定义域在区间 2，2上的偶函数( )g x，当 x0 时，( )g x是单调递减的， 若(1)()gmg m成立，求m 的取值范围【思路点拨】根据定义域知1m，m1，2，但是 1

19、m， m 在2，0，0，2的哪个区间内尚不明确， 若展开讨论， 将十分复杂， 若注意到偶函数( )f x的性质：()( )(|)fxf xfx，可避免讨论【答案】1 1, )2【解析】由于( )g x为偶函数， 所以(1)(1)gmg m，()(|)g mgm因为 x0 时，( )g x是单调递减的，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页精品资料欢迎下载故|1| |(1)()(|1|)(|)|1|2|2mmgmg mgmgmmm， 所以222121222mmmmm， 解得112m故 m 的取值范围是1 1, )2【总结

20、升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1m，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1m 与 m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化另外，需注意的是不要忘记定义域类型三、函数奇偶性的综合问题例 6.已知( )yf x是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数2(1)fx的单调递增区间【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。【答案】 0，1和（，1【解析】( )f x是偶函数，且在0，+）上是减函数，( )f x在（， 0上是增函数设 u=1x2，则函数2(1)fx是函数( )f u与函数 u=1x2的复合函

21、数当 0 x1时， u是减函数，且 u0， 而 u0时，( )f u是减函数，根据复合函数的性质， 可得2(1)fx是增函数当 x 1 时， u 是增函数，且 u0， 而 u0 时，( )f u是增函数，根据复合函数的性质， 可得2(1)fx是增函数同理可得当1 x0 或 x1 时，2(1)fx是减函数所求的递增区间为0，1和（，1【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例） ，此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题（2）确定复合函数的单调性比较困难，也

22、比较容易出错确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围本例中，x1 时， u 仍是减函数，但此时u0，不属于( )f u的减区间，所以不能取x1，这是应当特别注意的例 7. 设 a 为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值 . 【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。【答案】当a=0 时，函数为偶函数；当a0 时，函数为非奇非偶函数. 当minmin1313-( ) |- ;( ) |;2424af xa af xa时，时，2min11-( ) |122af xa时，. 【解析】当a=0 时，

23、 f(x)=x2+|x|+1 ，此时函数为偶函数；当 a0 时， f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页精品资料欢迎下载(1) 当xa时，213( )()-24f xxa113( )(-)- ,224af xafa时，函数在，上的最小值为且1f(-)f(a).21( ),2af xa时，函数在上单调递增，( ),f xa在上的最小值为f(a)=a2+1. (2) 当xa时，2213( )-1()24f xxxaxa1( )-,2af xa时，函数在上单调递减，( )-f

24、 xa在，上的最小值为2( )1f aa1( )-2af xa时，在，上的最小值为131( )( )( ).242faff a，且综上：minmin1313-( ) |- ;( ) |;2424af xa af xa时，时，2min11-( ) |122af xa时，. 举一反三：【变式 1】 判断( )| ()f xxaxaaR的奇偶性【答案】当0a时，函数( )f x既是奇函数，又是偶函数；当0a时，函数( )f x是奇函数【解析】对a进行分类讨论若0a，则( )| 0f xxxxR，定义域R关于原点对称，函数( )f x既是奇函数，又是偶函数当0a时，()| |( )fxxaxaxaxa

25、f x，( )f x是奇函数综上，当0a时，函数( )f x既是奇函数，又是偶函数；当0a时，函数( )f x是奇函数例 8.对于函数( )f x，若存在 x0R，使00()f xx成立，则称点（ x0，x0）为函数( )f x的不动点（1）已知函数2( )()(0)f xaxbxb a有不动点（ 1，1） ， （ 3， 3） ，求 a，b 的值；（2）若对于任意的实数b，函数2( )()(0)f xaxbxba总有两个相异的不动点，求实数a 的取精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页精品资料欢迎下载值范围；（3）若定

26、义在实数集R 上的奇函数( )g x存在（有限） n 个不动点，求证：n 必为奇数【答案】（1）a=1，b=3； （2） （ 0，1） ； （3）略【解析】（1）由已知得x=1 和 x=3 是方程 ax2+bxb=x 的根，由违达定理1133babaa=1，b=3（2）由已知得： ax2+bxb=x（a 0）有两个不相等的实数根，1=(b1)2+4ab0 对于任意的实数b 恒成立即 b2+(4a2)b+1 0 对于任意的实数b 恒成立也就是函数2( )(42)1f bbab的图象与横轴无交点又二次函数( )f b的图象是开口向上的抛物线，从而 2=(4a2)2 40，即 |4a 2| 2， 0

27、a1满足题意的实数a 的取值范围为（0，1） （3）( )g x是 R 上的奇函数，()( )gxg x. 令 x=0，得(0)(0)gg，(0)0g（ 0，0）是( )g x的一个不动点设（ x0，x0） （x00）是( )g x的一个不动点，则00()g xx又000()()gxg xx，（ x0， x0）也是( )g x的一个不动点又 x0 x0，( )g x的非零不动点是成对出现的又（ 0，0）也是( )g x的一个不动点，若( )g x存在 n 个不动点，则n 必为奇数【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题本例的“不动点”实质

28、是关于x 的方程( )fxx的解的问题本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页精品资料欢迎下载【巩固练习】1 函数1( )(0)f xxxx是( ) A奇函数B 偶函数C既是奇函数又是偶函数D 既不是奇函数又不是偶函数2若函数2yxbxc是偶函数，则有 ( ) A.,bR cR B. ,0bR c C. 0,0bc D. 0,bcR3设函数3( )21f xaxbx，且( 1)3,f则(1)f等于（）A.-3 B.3 C.-5 D. 5 4若偶函数)(xf

29、在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A)2() 1()23(fffB)2()23()1(fffC)23() 1()2(fffD)1()23()2(fff5如果奇函数)(xf在区间3,7上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3,7上是 ( ) A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是56设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF，在R上一定是 ( ) A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数. 7设函数( )f x的图象关于y轴对称，且( )f ab，则()fa . 8如果函数2( )f xxax为

30、奇函数，那么a= . 9设函数( )f x是定义在 R上的奇函数，且(2)0f，( )fx在0,1上单调递减，在1,上单调递减，则不等式( )0f x的解集为10若函数2( )(2)(1)3f xkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是 _. 11函数)(xf在 R上为奇函数，且0, 1)(xxxf，则当0 x，)(xf_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页精品资料欢迎下载12已知函数0fxxaxa a，2200 xx xh xxx x，试判断,fxh x的奇偶性. 13设函数)(xf是偶函数， 且在,0上是增

31、函数， 判断)(xf在0,上的单调性， 并加以证明 . 14定义在R上的偶函数( )f x满足：对任意1212,0,()x xxx，有2121()()0f xfxxx成立，试比较( 2),(1),(3)fff的大小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页精品资料欢迎下载【巩固练习】1函数2( )|f xxx的图象 ( ) A关于原点对称 B 关于y轴对称 C 关于x轴对称 D 不具有对称轴2已知函数)127()2() 1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

32、3设函数3( )21f xaxbx，且( 1)3,f则(1)f等于（）A.-3 B.3 C.-5 D. 5 4如果奇函数)(xf在区间3,7上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3,7上是 ( ) A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是55设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF，在R上一定是 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数. 6定义在R上的偶函数)(xf，满足)()1(xfxf，且在区间0 ,1上为递增，则( ) A)2()2()3(fffB )2()3()2(fffC)2()2()

33、3(fffD)3()2()2(fff7若)(xf是偶函数， 其定义域为,，且在,0上是减函数， 则)252()23(2aaff与的大小关系是 ( ) A)23(f)252(2aaf B)23(f)252(2aafC)23(f)252(2aaf D )23(f)252(2aaf8若定义在R上的函数( )f x满足：对任意12,x xR有1212()()()f xxf xf x+1，则下列说法一定正确的是（） A( )f x为奇函数 B( )f x为偶函数 C ( )1f x为奇函数 D ( )1f x为偶函数9 已 知 定 义 在R上 的 奇 函 数( )f x， 当0 x时 ，1|)(2xxx

34、f， 那 么0 x时 ，( )f x . 10若函数2( )1xaf xxbx在1,1上是奇函数，则( )f x的解析式为 . 11 奇 函 数( )f x在 区 间3,7上 是 增 函 数 ， 在 区 间3,6上 的 最 大 值 为8 ， 最 小 值 为 -1 ， 则2(6)(3)ff . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精品资料欢迎下载12已知函数2( )3f xaxbxab为偶函数， 其定义域为1,2aa，则( )f x的值域13判断下列函数的奇偶性，并加以证明(1)( )1 |f xxx； (2) 2,1,1( ), 1122,1xxf xxxx14已知奇函数( )f x在（ -1 ，1）上是减函数， 求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围15 已知( )f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的,a bR都满足()( )( )f a baf bbf a（1）求(0),(1)ff的值；（2）判断( )f x的奇偶性，并证明你的结论16设奇函数( )f x是定义在,上的增函数，若不等式2(6)(2)0f axfx对于任意2,4x都成立，求实数a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页