2022年初三数学-有关圆的经典例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初三数学有关圆的经典例题1. 在半径为的中，弦、的长分别为和，求的度数。132OABACBAC分析： 根据题意， 需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与 AC 有不同的位置关系。解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心 O 的同侧、异侧两种情况讨论，当 AB、AC 在圆心 O 的异侧时，如下图所示，过 O 作 ODAB 于 D，过 O 作 OEAC 于 E，ABACADAE323222， ，OAOADADOA132cosc o s O A EAEOA22 OAD=30 ， OAE=45 ，故 BAC=75 ，当 AB、AC 在圆心 O 同侧时，如下图所示，同理可知 OA

2、D=30 ， OAE=45 ， BAC=15 点拨： 本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例 2. 如图： ABC 的顶点 A、B 在 O 上， O 的半径为R， O 与 AC 交于 D，如果点既是的中点，又是边的中点，DABAC（1）求证： ABC 是直角三角形；( )22求的值ADBC分析：( )1 由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，DABODABF则 AF=FB ，ODAB ，可证 DF 是 ABC 的中位线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2）延长 DO 交 O 于 E

3、，连接 AE，由于 DAE=90 ， DE AB， ADF ，可得，而，故可求DAEADDFDEDFBCDERADBC22122解： （1）证明，作直径DE 交 AB 于 F，交圆于E 为的中点，DABABDEAFFB又 AD=DC ，DFBCDFBC12ABBC， ABC 是直角三角形。（2）解： 连结 AE DE 是 O 的直径 DAE=90 而 ABDE， ADF EDA ，即ADDEDFADADDEDF2，DERDFBC212，故ADBCRADBCR22例 3. 如图，在 O 中， AB=2CD ，那么（）A ABCDB ABCD.22C ABCDD ABCD.22与的大小关系不确定分

4、析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：ABCD2( )112把的一半作出来，然后比较与的大小。ABABCD( )222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CDCDAB解： 解法（一），如图，过圆心O 作半径 OFAB ，垂足为E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载则 AFFBAB12AEEBAB12，ABCDAECDAB212AFFBAFFB，在 AFB 中，有 AF+FBAB ，2222AFABAFABAFCDAFCD ABCD2选 A。解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结 CE 则

5、 DECDCE12在 CDE 中，有 CD+DECE 2CDCE AB=2CD ， ABCE ，ABCEABCD2选 A。例4. 如图，四边形内接于半径为的，已知ABCD2OABBCAD141求 CD 的长。分析： 连结 BD，由 AB=BC ，可得 DB 平分 ADC ，延长AB 、DC 交于 E，易得 EBC EDA ，又可判定AD 是 O的直径，得ABD=90 ，可证得 ABD EBD ，得 DE=AD ，利用 EBC EDA ，可先求出 CE 的长。解： 延长 AB、DC 交于 E 点，连结 BD ABBCAD141，ABBCADADBEDB4精选学习资料 - - - - - - -

6、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载 O 的半径为2， AD 是 O 的直径 ABD= EBD=90 ，又 BD=BD ABD EBD ， AB=BE=1 ，AD=DE=4 四边形ABCD 内接于 O， EBC= EDA ， ECB= EAD ，EBCEDABCADCEAECEBCAEADBC ABBEAD()11412CDDECE41272例 5. 如图，、分别是的直径和弦，为劣弧上一点，ABACODACDEAB于 H，交 O 于点 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 的延长线上一点。（1）当 PCF 满足什么条件时，PC 与 O 相切，

7、为什么？( )22当点在劣弧的什么位置时，才能使，为什么？DACADDEDF分析： 由题意容易想到作辅助线OC，（1）要使 PC 与 O 相切，只要使 PCO=90，问题转化为使OCA+ PCF= FAH+AFH 就可以了。( )22要使，即使，也就是使ADDEDFADDEDFADDAFDEA解： （1）当 PC=PF，（或 PCF=PFC）时， PC 与 O 相切，下面对满足条件PC=PF 进行证明，连结 OC，则 OCA= FAH ，PC=PF， PCF=PFC=AFH ，DEAB 于 H， OCA+ PCF=FAH+ AFH=90 即 OCPC， PC 与 O 相切。精选学习资料 - -

8、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载( )22当点是劣弧的中点时，理由如下：DACADDEDF连结，AEADCDDAFDEA又，ADFEDA，DAFDEAADDEDFAD即 AD2=DEDF 点拨： 本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求PCF 满足什么条件时，PC 与O 相切， 可以反过来， 把 PC 与 O 相切作为条件， 探索 PCF 的形状， 显然有多个答案；第（ 2）问也可将AD2=DE DF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D 的位置。例 6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD()A

9、BBCBCO12D 作半圆的切线交AB 于 E，切点为F，若 AE： BE=2：1，求 tanADE 的值。分析： 要求 tanADE ，在 Rt AED 中，若能求出AE、AD ，根据正切的定义就可以得到。 ED=EF+FD ，而 EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和 AE 的关系，进一步可求出AE：AD 。解： 四边形 ABCD 为矩形， BCAB，BC DC AB、DC 切 O 于点 B 和点 C，DE 切 O 于 F， DF=DC ，EF=EB ，即 DE=DC+EB ，又 AE： EB=2：1，设 BE=x，则 AE=2x ，DC=AB=3x ，DE=DC+E

10、B=4x ，在 RtAED 中， AE=2x ，DE=4x ，ADx2 3则t an A D EAEADxx22 333点拨： 本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例 7. 已知 O1与 O2相交于 A、 B 两点，且点O2在 O1上，（1）如下图， AD 是 O2的直径，连结DB 并延长交 O1于 C，求证 CO2AD ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2）如下图，如果AD 是 O2的一条弦，连结DB 并延长交 O1于 C，那么 CO2所在直线是否与AD 垂直

11、？证明你的结论。分析： （ 1）要证CO2 AD ，只需证CO2D=90，即需证D+ C=90，考虑到AD 是 O2的直径，连结公共弦AB，则 A=C， DBA=90 ，问题就可以得证。（2）问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看， AC 等于CD，到底 AC 与 CD 是否相等呢？考虑到O2在 O1上，连结 AO2、 DO2、BO2，可得 1=2，且有 AO2C DO2C，故 CA=CD ，可得结论CO2AD 。解： （1）证明，连结AB，AD 为直径，则 ABD=90 D+BAD=90 又 BAD= C， D+C=90 CO2D=90， CO2AD （2）CO2所在

12、直线与AD 垂直，证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在 AO2C 与 DO2C 中，O AO BAOBO222212 O2BD= O2AC，又 O2BD= O2DB， O2AC= O2DB O2C=O2C， AO2C DO2C， CA=CD ， CAD 为等腰三角形，CO2为顶角平分线，CO2AD 。例 8. 如 下 图 ， 已 知 正 三 角 形 ABC的 边 长 为 a， 分 别 为 A 、 B、 C 为 圆 心 ，以为半径的圆相切于点、，求、围成的图形面aOOOO OO OO O2123122331积 S。（图中阴影部分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

13、结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载分析： 阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。解：SaSaaABC扇，3433628222()阴Saaa3482 38222此题可变式为如下图所示，、 、两两不相交，且它们的半径都ABC为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a2()分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为 A+B+C=180，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为，82a原题可在上一题基础上进一步变形：A1、 A2、 A3 An相外离，它们的半径都是 1，顺次连结n 个圆心得到的n 边形 A1A2A3 An，求 n 个扇

14、形的面积之和。解题思路同上。解：()n22一、填空题（10 4=40 分）1. 已知：一个圆的弦切角是50，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为_。2. 圆内接四边形ABCD 中，如果 A： B： C=2： 3：4，那么 D=_ 度。3. 若 O 的半径为3，圆外一点P 到圆心O 的距离为6，则点P 到 O 的切线长为_。4. 如图所示CD 是 O 的直径，AB 是弦，CDAB 于 M， 则可得出 AM=MB ，ACBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两

15、个结论：_。5. O1与 O2的半径分别是3 和 4，圆心距为4 3，那么这两圆的公切线的条数是_。6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是_。7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm ，拱高 CD=4cm，那么拱形的半径是 _。8. 若 PA 是 O 的切线， A 为切点，割线PBC 交 O 于 B，若 BC=20 ，PA=10 3，则 PC 的长为 _。9如图 5，ABC内接于 O， 点P是CA上任意一点 （不与CA、重合），POCABC则,55的取值范围是10如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则 1 的度数为

16、. 11 已知O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l（第 9 题图）O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载与O的位置关系是12如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧AD的三等分点，46BOC，则AED的度数为13如图，RtABC中90ACB，4AC，3BC将ABC绕AC所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积（取 3.14 ，结果保留两个有效数字）14如图 8，两个同心圆的半径分别为2 和 1，oAOB120，则阴影部分的面积为15如图，AB是O的直径，AM为弦，30M

17、AB，过M点的O的切线交AB延长线于点N若12cmON，则O的半径为 cm16如图，RtA BC是由RtABC绕B点顺时针旋转而得，且点ABC， ，在同一条直线上，在RtABC中，若90C，2BC，4AB，则斜边AB旋转到A B所扫过的扇形面积为17 如图，从圆 O外一点P引圆 O的两条切线PAPB， 切点分别是AB， 若8 c mPA，C是AB上的一个动点（点C与AB，两点不重合） ， 过点C作圆 O的切线，分别交PAPB，于点DE，则PED的周长是18、在平面内，O的半径为5cm，点 P 到圆心 O的距离为3cm ，则点 P 与 O的位置关系第 14 题图f A B C 图 8 AOB12

18、0oA O B N M C B A CA（15 题图）O A D P E B C （第 17 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载是 . 19如图 8，在RtABC中，903CAC，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BABC，为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为20如图 9，点AB，是O上两点，10AB，点P是O上的动点（P与AB，不重合） 连结APPB， 过点O分别作OEAP于点E，OFPB于点F， 则EF三、解答题：1. 已知：如图所示，O1和 O2相交于 A、B 两点，过 B 点作 O1的

19、切线交 O2于 D，连结 DA 并延长与 O1相交于 C 点，连结 BC。过 A 点作 AEBC 与 O2相交于 E 点，与BD 相交于 F 点。（1）求证： EFBC=DE AC ；（2）若 AD=3 ，AC=1 ，AF3，求 EF 的长。2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。3. 已知： ABC 是 O 的内接三角形，BT 为 O 的切线， B 为切点， P 为直线 AB 上一点，过

20、点P 作 BC 的平行线交直线BT 于点 E，交直线AC 于点 F。（1）如图所示，当点P 在线段 AB 上时，求证：PAPB=PEPF；A C B 图 8 A E O F B P 图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）若 AB4 213，cosEBA，求 O 的半径。4如图，ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与AB，重合），设OAB，C（ 1）当35时，求的度数；

21、（ 2）猜想与之间的关系，并给予证明5、（分）已知：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E求证：（ 1）ABC是等边三角形；（2）CEAE316、 已知：如图，在RtABC中，90C，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与ACAB，分别交于点DE，且CBDA（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO，2BC，求BD的长7、如图，在梯形ABCD中，ABCD，O为内切圆，E为切点，（）求AOD的度数；（）若8AOcm，6DOcm，求OE的长A D B O C E DCOABE精选学习资料 - - - -

22、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载C A B E F M N 图C A B E F M N 图8、已知 RtABC中，90ACB，CBCA，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，求证：222BNAMMN；（）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式222BNAMMN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由9如图，ABC内接于O，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D，2ABAP AD（1）求证：

23、ABAC；（2）如果60ABC，O的半径为1，且P为AC的中点，求AD的长10 ( 本题满分10 分) 已知：如图，在半径为4 的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连结DE，DE=15 . (1) 求证：AMMBEMMC；(2) 求EM的长；（3）求sinEOB的值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载11（本题满分10 分，第（ 1）小题满分3 分，第（ 2）小题满分7 分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不

24、清楚（如图7 所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点（1）请你帮助小王在图8 中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i是坡面CE的坡度），求r的值12已知， 如图， 直线MN交O于AB，两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若6DEcm，3AEcm，求O的半径图 7 O C A D E H 图 8 第 12 题图C O B A D M E N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页