2022年自相关函数与偏自相关函数 .pdf

《2022年自相关函数与偏自相关函数 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年自相关函数与偏自相关函数 .pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而 自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程tx中的每一个元素tx，t = 1, 2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表示，即()tE x，1,2,t随机过程的取值将以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量2()txVar x，1,2,t2x用来度量随机过程取值对其均值的离散程度。相隔 k 期的两个随机变量tx与t kx的协方差即滞后k 期的 自协方差

2、，定义为：(,)()()kttkttkCov x xE xx自协方差序列：k，0,1,2,k称为随机过程tx 的自协方差函数 。当 k = 0 时，20()txVar x。自相关系数定义：(,)( )()ttkkttkCov x xVar xVar x因为对于一个平稳过程有：2()()ttkxVar xVar x所以220(,)ttkkkkxxCov xx，当k = 0 时，有01。以滞后期 k 为变量的自相关系数列k0,1,2,k 称为 自相关函数 。 因为kk，即(,)tktCov xx= (,)tt kCov x x，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。精

3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 2、自回归过程的自相关函数1平稳 AR(1) 过程的自相关函数AR(1) 过程：11tttxxu， 1。已知()0tE xwhy? 。用tkx同乘上式两侧txtkx11ttkttkxxu x上式两侧同取期望：k11k其中()0ttkE u xwhy? 由于 xt= ut +1 ut-1 + 12 ut-2+ ，所以 xt-k= ut-k +1 ut-k-1 + 12 ut-k-2+ ，而 ut是白噪音与其t - k 期及以前各项都不相关。两侧同除0 得：2111210kkkk因为

4、o = 1，所以有k1k0k对于平稳序列有。所以当1为正时，自相关函数按指数衰减至零；当1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见下列图。 因为对于经济时间序列，1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。-.2.0.2.4.6.82468101214-.8-.4.0.424681012141 0 -1 情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如下列图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 -4-3-2-1012342468101214-1.5-1.0

5、-0.50.00.51.01.52468101214 = 1.1强非平稳过程 = 1随机游走过程2AR( p) 过程的自相关函数用tkx(k同乘平稳的p 阶自回归过程1122tttptptxxxxu的两侧，得：1122tkttkttktptktptktxxxxxxxxxu对上式两侧分别求期望得：k1122kkpkp，k 0 用0分别除上式的两侧得Yule-Walker 方程 ：k = 1 k -1 + 2k -2+ + pk -p， k 0 令2121( )1(1- )pppiiLLLLG L， 其中 L 为 k 的滞后算子， 这里1iG, i = 1, 2, , p 是特征方程( )0L的根

6、。为保证随机过程的平稳性，要求1iG。则：121210piipiGGG，也即1212kkkkpiiipiGGGG。可证：1122kkkkppAGA GA G* 其中 Ai, i = 1, ，p 为待定常数。提示： 可把*式代入到Yule-Walker 方程中证明 由 *式知道会遇到如下几种情形。 当iG为实数时，* 式中的kiiAG将随着 k 的增加而几何衰减至零，称为 指数衰减 。 当iG和jG表示一对共轭复数时，设iGabi，jGabi，22ba= R， 则iG, jG的极座标形式是：(cossin )iGRi(cossin )jGRi精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

7、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 假设 AR( p) 过程平稳，则1iG，所以必有R 2。4、 ARMA (1, 1) 过程的自相关函数ARMA (1, 1) 过程的自相关函数k 从1开始指数衰减。1的大小取决于1和1, 1的符号取决于(1 -1 )。假设1 0，指数衰减是平滑的，或正或负。假设1 0 ，相关函数为正负交替式指数衰减。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 对于 ARMA ( p, q) 过程， p, q 2 时，自相关函数的表现形式比较复杂，可能是指数衰减、正弦衰减或二

8、者的混合衰减。5、相关图 correlogram，或估计的自相关函数，样本自相关函数对于一个有限时间序列x1, x2, , xT用样本平均数x = T1Tttx1估计总体均值，用样本方差s2 = 21)(1TttxxT估计总体方差x2。当用 样本矩 估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图 或估计的自相关函数，记为rk =0CCk, k = 0, 1 , 2, , K, ( K 1 时，0kk。所以 AR(1)过程的偏自相关函数特征是在k = 1 出现峰值11 = 1然后截尾。-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.

9、00.20.40.60.8246810121411 0 11 2 时，0kk。偏自相关函数在滞后期2以后有截尾特性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 对于 AR( p)过程，当kp 时，0kk；当 k p 时，0kk。偏自相关函数在滞后期p 以后有截尾特性，因此可用此特征识别AR( p)过程的阶数。对于 MA(1) 过程tx=tu+ 1 ut-1，有1/ (1+ 1 L)tx=tu，(1- 1 L + 12L2 - )tx=tu，tx= 1 x t-1- 12x t-2 +13x t-3 - +tu当1 0 时，自回归系数的符号是正负交替的；当1 0 1 2()Kpq，则拒绝H0。其中表示检验水平；p， q 分别表示时间序列模型中自回归和移动平均滞后项的个数。实际检验中，K 取 15 左右即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页