2022年初中数学竞赛专题选讲对称式 .pdf
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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲(初三.5)对称式一、内容提要一.定义1.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中,如果变量x,y,z 任意交换两个后,代数式的值不变,则称这个代数式为绝对对称式,简称对称式. 例如:代数式 x+y ,xy,x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, yx11,xyzxzxyzzyxyzyx.都是对称式 . 其中 x+y 和 xy 叫做含两个变量的基本对称式. 2.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中,如果变量x,y,z 循环变换后代数式的值不变,则称这个代数式为轮换对称式,简称轮换式. 例如:代数式a2(bc)+b2(ca)+c2(a b),2x
2、2y+2y2z+2z2x,abccba1111,(xy+yz+zx )()111zyx,222222222111bacacbcba. 都是轮换式 . 显然,对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质1.含两个变量x 和 y 的对称式,一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍 . 2.对称式中, 如果含有某种形式的一式,则必含有, 该式由两个变量交换后的一切同型式,且系数相等. 例如:在含x,y,z 的齐二次对称多项式中,如果含有x2项,则必同时有y2,z2两项;如含有xy 项,则必同时有yz,zx 两项,且它们的系数,都分别相等.故可以表示为:m(x2+y2+z2)+n
3、(xy+yz+zx) 其中 m,n 是常数 . 3.轮换式中, 如果含有某种形式的一式,则一定含有, 该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式,且系数相等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载例如:轮换式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中,有因式ab 一项 ,必有同型式bc 和ca 两项 . 4.两个对称式 (轮换式) 的和, 差,积, 商(除式不为零) ,仍然是对称式 (轮换式) . 例如: x+y, xy 都是对称式,x+yxy,(x+y)xy,xyyx等也都是对称式. xy+yz+zx
4、和zyx111都是轮换式,zyx111xy+yz+z ,(zyx111) (xy+yz+z ). 也都是轮换式. 二、例题例 1.计算:(xy+yz+zx )()111zyxxyz()111222zyx. 分析:( xy+yz+zx ) ()111zyx是关于 x,y,z 的轮换式,由性质2,在乘法展开时,只要用 xy 分别乘以x1,y1,z1连同它的同型式一齐写下. 解:原式(zxyyzxxyz)( z+xy)+(y+z+x) (zxyyzxxyz) 2x+2y+2z. 例2.已知: a+b+c=0, abc 0. 求代数式222222222111bacacbcba的值分析:这是含a, b,
5、 c 的轮换式,化简第一个分式后,其余的两个分式,可直接写出它的同型式 . 解:2221cba222)(1babaab21,222222222111bacacbcbaab21bc21ca21abcbac20. 例3.计算: (a+b+c)3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载分析:展开式是含字母a,b,c 的三次齐次的对称式,其同型式的系数相等,可用待定系数法 . 例4.解:设( a+b+c)3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc. (m,n,p 是待定
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