2022年初三数学中考复习专题【二次函数压轴题】 .pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类【例 1】 如图 1，已知抛物线经过点A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点（1）求抛物线的解析式 （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于N，若点 M 的横坐标为m，请用 m 的代数式表示MN 的长（3）在（ 2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合】【巩固 1】 如图 2，抛物线02232axaxy的图象与x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，已知

2、 B 点坐标为（ 4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）试探究 ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想】图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载平行四边形类【例 2】 如图 3，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0， 3） ，点 P 是直线AB 上的动点，过点P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M，设点 P

3、 的横坐标为t（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式（2）若点 P 在第四象限，连接AM、BM，当线段PM 最长时，求 ABM 的面积（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由等腰三角形类【例 3】 如图，点A 在 x 轴上， OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转120 至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由【考

4、点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论】图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载【巩固 3】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（ 1，0） ，如图所示：抛物线y=ax2+ax2 经过点 B（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点 B 除外） ，使 ACP仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由规律探索类【例 4】如图，已知点A1、

5、A2、 A3、A4、An在 x 轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数，过点 A1、A2、A3、A4 、An分别作 x 轴的垂线，交抛物线y=x2+x 于点 B1、B2、B3、B4、Bn，交过点 B1的直线 y=2x 于点 C2、 C3、 C4、Cn。若B1C2B2、 B2C3B3、 B3C4B4、 BnC1nB1n的面积分别为S1、S2、S3、 Sn。求 S2S1与 S3S2的值；猜想 SnS1n与 n 的数量关系，并说明理由；若将抛物线“ y=x2+x” 改为 “ y=x2+bx+c” , 直线 “ y=2x” 改为“ y=(b+1)x+c” ，其它条件不变， 请猜想 SnSn-1与 n

6、 的数量关系（直接写出答案）。C4CC2B4B3B2B1y x AAAA1O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载综合类【例 5】 如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B（5，0） ，另一个交点为A，且与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2） 若点 M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，

7、以BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为 S1， ABN 的面积为S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标【考点：二次函数综合题专题：压轴题】【巩固 6】 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的图象过点C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E，求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P 点和 F 点移动过程中， P

8、CF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载20XX 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题【参考答案】【例题 1】考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，已知点M 的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N 点的坐标， N、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长（3） 设 MN 交 x 轴于 D， 那

9、么 BNC 的面积可表示为： SBNC=SMNC+SMNB=MN （OD+DB） =MN?OB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关于SBNC、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值解答：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则： a（0+1） （03）=3，a=1；抛物线的解析式：y=（ x+1） （x 3）=x2+2x+3（2）设直线BC 的解析式为： y=kx+b，则有：，解得；故直线 BC 的解析式： y=x+3已知点 M 的横坐标为m， MNy，则 M（m， m+3） 、 N（m， m2+2m+3） ；故 MN=m2+

10、2m+3（ m+3）=m2+3m（0m3） （3）如图 2； SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MN?OB，SBNC=（ m2+3m）?3=（ m）2+（ 0m3） ；当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为【巩固 1】 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想】分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可(2)首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标， 然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标(3)MBC 的面积可由SMBC=BC h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线 BC 的距

11、离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M解答：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：抛物线的解析式为：y=x2x2（2）由（ 1）的函数解析式可求得：A（ 1，0） 、C（0， 2） ； OA=1，OC=2，OB=4，即： OC2=OA?OB，又： OCAB， OAC OCB，得： OCA= OBC； ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90 ， ABC 为直角三角形，AB 为 ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为： （， 0） （3）已求得： B（4，0） 、C（0， 2） ，可得直线BC 的解析式为

12、： y=x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2x2，即：x22x 2b=0，且 =0； 44 （2b）=0，即 b=4；直线l：y=x 4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M（2， 3） 过 M 点作 MNx 轴于 N， SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB= 2 （2+3）+ 2 3 2 4=4图 2 图 5 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载图 7【例 2】考点：二次函数综合题；解

13、一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析： （1） 分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A （3，0） B （ 0， 3） 分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、 n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（ t，t3） ，则 M（ t，t22t3） ，用 P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长，即 PM=（ t3）（ t22t3） =t2+3t，然后根据二次函数的最值得到; 当 t=时， PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+S

14、APM计算即可；（3）由 PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论： 当 P在第四象限： PM=OB=3， PM 最长时只有， 所以不可能； 当 P 在第一象限： PM=OB=3，（t22t3）（ t3）=3；当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2 3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值解答：解： （1）把 A（3，0）B（0， 3）代入 y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB 的解析式是y=kx+b，把 A（3，0）B（0， 3）代入 y=kx+b，得，解得，所以直线AB

15、 的解析式是y=x3；（2）设点 P 的坐标是（ t，t3） ，则 M（ t，t22t3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t3）（ t22t3）=t2+3t，当 t=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=，则 SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PM OB，当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，当 P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有PM=3当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t22t3）（ t3）=3，解得 t1=，t2=（舍去），所以P 点的横坐标是；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t23t=3

16、，解得 t1=（舍去），t2=，所以 P 点的横坐标是所以 P 点的横坐标是或【例题 3】分析：（1）首先根据OA 的旋转条件确定B 点位置，然后过B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 OB 的长（即OA 长）确定B 点的坐标（2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（ 2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P 点的坐标，而O、 B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分OP=OB、 OP=BP、 OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P 点解答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

17、 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载解： （1）如图，过B 点作 BCx 轴，垂足为C，则 BCO=90 ， AOB=120 ， BOC=60 ，又 OA=OB=4， OC=OB= 4=2，BC=OB?sin60 =4=2，点 B 的坐标为（2， 2） ；（2）抛物线过原点O 和点 A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（ 2 2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为D，设点 P 的坐标为（ 2，y） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得

18、 y= 2，当 y=2时，在 RtPOD 中， PDO=90 ，sin POD=， POD=60 ， POB=POD+AOB=60 +120 =180 ，即 P、O、B 三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P 的坐标为（ 2， 2）若 OB=PB，则 42+|y+2|2=42，解得 y=2，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=2，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ，综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2， 2） ，【例题 5】 【考点：二次函数综合题专题：压轴题】分析：（1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，

19、将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；同理，将B（5，0） ， C（0，5）两点 的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2） MN 的长是直线BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN 的最大值；（3）先求出 ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30再设平行四边形CBPQ 的边 BC上的高为 BD ，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点P，交 x 轴于点 E，在直线DE 上截取

20、PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形证明EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出 E的坐标为（ 1，0） ，运用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y=x1，然后解方程组，即可求出点P 的坐标解答：（1）设直线 BC 的解析式为y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC 的解析式为y= x+5；将 B（5，0） ，C（0， 5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2 6x+5；（2）设 M（x，x26x+5） （1x5） ，则 N（x， x+5） ，MN=（ x+5）（ x26x+5）=x2+5x=（ x）

21、2+，当 x=时， MN 有最大值；（3） MN 取得最大值时，x=2.5， x+5=2.5+5=2.5，即 N（2.5，2.5） 解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5A（ 1，0） ，B（5，0） ， AB=51=4， ABN 的面积 S2= 4 2.5=5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载平行四边形CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，则 BCBDBC=5， BC?BD=30， BD=3过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点P，交

22、x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形BCBD， OBC=45 ， EBD=45 ， EBD 为等腰直角三角形，BE=BD=6，B（5，0） ， E（ 1，0） ，设直线 PQ 的解析式为y= x+t，将 E（ 1，0）代入，得1+t=0，解得 t=1 直线 PQ 的解析式为y= x1解方程组，得，点 P 的坐标为P1（2， 3） （与点 D 重合）或P2（3， 4） 【巩固 6】 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的图象过点C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）

23、求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E，求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P 点和 F 点移动过程中， PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明CEQ 与 CDO 均为等腰直角三角形；（4）如答图所示，作点C 关于直线QE 的对称点C，作点 C 关于 x 轴的对称点C ，连接 CC ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，

24、则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段C C 的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段CC 的长度，即 PCF 周长的最小值解答：解：（1） C（0， 1） ，OD=OC， D 点坐标为（ 1， 0） 设直线CD 的解析式为y=kx+b（k0 ） ，将 C（0，1） ，D（1，0）代入得：，解得： b=1，k=1，直线CD 的解析式为：y= x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，将 C（0，1）代入得： 1=a （ 2）2+3，解得 a=y=（x2）2+3=x2+2x+1

25、（3）证明：由题意可知，ECD=45 ，OC=OD，且 OCOD， OCD 为等腰直角三角形，ODC=45 ， ECD=ODC， CEx 轴，则点C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，点E 的坐标为（ 4，1） 如答图所示， 设对称轴（直线 x=2） 与 CE 交于点 M， 则 M （ 2， 1） ， ME=CM=QM=2， QME 与 QMC均为等腰直角三角形，QEC= QCE=45 又 OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45 ， QEC=QCE=ODC =OCD =45 ， CEQ CDO（4）存在如答图所示，作点C 关于直线 QE 的对称点C，作点 C 关于 x 轴的对称点C ，

26、连接 CC ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段C C 的长度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载（证明如下： 不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F， 在线段 QE 上取异于点P 的任一点P， 连接 F C ，F P ，P C 由轴对称的性质可知，PCF 的周长 =FC+ FP+ P C ；而 FC+ FP+ PC是点 C ，C 之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F C+F P+ P C CC ，即 P CF的周长大于PCE 的周长）如答图所示，连接CE， C，C关于直线QE 对称， QCE 为等腰直角三角形， QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（ 4，5） ；C， C 关于 x 轴对称， 点 C 的坐标为 （0，1） 过点 C作 C Ny 轴于点 N，则 NC=4 ，NC=4+1+1=6 ，在 RtCNC 中，由勾股定理得：C C=综上所述，在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页