2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习39：线段、角的相等关系 .pdf

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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（39）线段、角的相等关系一、内容提要证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。构造全等三角形， 要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）一. 证明两条线段相等常用的定理1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。2. 在两个三角形中，证明全等。3. 在平行线图形中应用平行四边形的性质用平行线等分线段

2、定理4. 运用比例式证明相等：若ayax则 x=y；若xyyx则 x=y 5. 应用等量代换、等式性质二. 证明两个角相等常用的定理1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。2. 在两个三角形中，证明全等或相似。3. 在平行线图形中 用平行四边形的对角相等 行线的同位角相等，内错角相等 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 角（或等角）的余角（或补角）相等 用等量代换、等式性质二、例题例 1. 证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”已知：梯形 ABCD 中，AB CD ，AB 求证：AD BC 下面提供三种基本证法：1. 把 BC 、AD集中到同一个三角形，

3、证它等腰三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页辅助线是：过点 D作 DE BC ，我们称它为“平移”BCDE 是平行四边形，可证 DAE为等腰三角形2. 以 BC 、AD为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助线为：作两条高CM 和DN ，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等。3. 由AB，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长AD和 BC交于 P。P D C D C D C A E B A N M B A B 例 2. 已知：在梯形 ABCD 中，AB CD ，AC和

4、 BD相交于 O,AD 、BC的延长线相交于 P 求证：PO平分 AB 证明：设 PO延长线交 AB于 E，交 CD于 F AB CD AEDFPEPFBECFAECFAOCOBEDF得22BEDFCFAECFDFAE2BE2 AE 0，BE 0 AE BE ，即 PO平分 AB 例 3. 已知： ABC中，AC 3AB ，AF是A的平分线，过点 C作 CD AF ，D是垂足求证： AD被 BC平分A 证明：以 AD为轴作 ADC 的对称三角形 ADE B 那么 DE DC ，AE AC 3AB ，BE 2AB G F 取 BE的中点 G ，连结 DG E C 则 DG BC ，AB BG D

5、 AFFD ，即 AD被 BC平分例 4. 已知：在 ABC中，分别以 AB 、AC为斜边作等腰直角三角形ABM ，和 CAN ，P是边 BC的中点求证： PM PN 证明：取 AB中点 Q ，AC中点 R 连结 PQ ，PR ，MQ ，NR ABCNMPQRFOABCDPE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页PQ AC ，PQ 21AC NR PR AB ，PR MQ PQM PRN （两边分别垂直）PQM NRP ，PM PN 例 5. 已知：四边形 ABCD 中 AD BC ，E，F分别是 AB 、CD的中点，延

6、长 AD ，BC和 EF的延长线分别交于 G ，H 求证： AGE BHE 证明：连结 AC ，取 AC的中点 P，连结 PE ，PF PE是ABC的中位线，PE BC ，PE 21BC ，同理 PFAD ，PF 21AD PEF BHE ，PFE AGE AD BC ，PE PF ，PEF PFE AGE BHE 例 6. 已知： ABC中， ARt，点 O是正方形 BCDE 对角线的交点求证：AO是A的平分线证明：过点 O作 OF OA交 AC的延长线于 F ABC ，FCO 都是 ACO 的补角ABC FCO AOB ，FOC 都是 AOC 的余角AOB FOC 又OB OC ABO F

7、CO AO FO ，FOAF 45AO是A的平分线（FCO是ABC绕点旋转 90 后的位置）又证：BAC BOC 180kABEFPCDGHOCBADEFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页A，B，O ，C四点共圆，过 ABOC 四点作辅助圆，在这个圆中弦 OB 弦 OC 弧 OB 弧 OC 圆周角 BAO OAC 即AO是A的平分线三、练习 39 1. 在等边 ABC 的边 AB ，BC ，CA上分别截取 AD BE CF ，连结 AE ，BF ，CD它们两两相交于 P，Q ，R，则 PQR 也是等边三角形2.

8、 已知：如图 AB AC ，AD AE 求证： AF平分 BAC 3. 如图 P，Q ， R是等边三角形 ABC三边的中点，M是 BC上的任意点，以 PM为一边作等边三角形PMN ，则 RN QM 4. 如图 ABD ，BCE 都是等边三角形， ADEF 是平行四边形，则 CAF也是等边三角形5. 四边形 ABCD 中，AC BD ，E，F分别是 AD ，BC的中点，求证： EF和 AC ，BD相交所成的两个锐角相等6. 锐角三角形 ABC中，以 AB ，AC为边作两个正方形ABDE ，ACFG ，高 AH的延长线交 EG于 M ，求证：ME MG ，AM 21BC 7. ABC 的C Rt，

9、 A30 ，以 AB ，AC为边向形外作等边三角形ABD ，ACE ，求证DE被 AB平分8. 等腰直角三角形 ABC中， ARt，BE是中线， AD BE交 BC于 D，交 BE于 F，求证： AEB DEC 9. 等腰直角三角形 ABC中， ARt，AD BC ，且 BD BC ，设 BD和 AC相交于 E，求证 CD CE lzFNTABCDEABCPQRMBCEFDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页10. ABC中，AD是高，若 AB DC AC BD ，则 AB AC 11. D ，E分别在等边三角形AB

10、C的边 BA ，BC的延长线上， AD BE求证 DC DE 12. 正方形 ABCD 中，E，F 分别在 BC ，CD上且 EAF 45 ，AH是 AEF 的高，求证AH AB 13. 梯形 ABCD 中，AB CD ，MN AB交 AD于 M ，交 BC于 N交 AC于 E，交 BD于 F 则 ME NF 14. 正方形 ABCD 中，E，F 是 AB延长线上的两个点， BE BC ，BF BD ，DF交 BC于 G ，交 CE于 H求证：CH CB ，HG HF 练习 39 参考答案：1. 先ABE BCF CAD ，2. 三次全等， 3. 证PQM PRN 4. ABC DBE ，BA

11、C DAF BDE DEF 60 1801.取 CD的中点 M ，连结 ME ，MF 6. EAM ABH 5. 作ABD 的高 DF ，证 BDF BAC 6. 作斜边上高，找全等三角形7. 求出 DBC 30 ，有两种图形8. 延长 BC到 N ，使 CN AB ，延长 CB到 M ，使 BM AC ，证AMD AND ，CAN MBA 9. 延长 BE到 F，使 EFBC 10.延长 CB到 G使 BG DF 13. 证明CDNFCDME14. CDF FBDF DHC 22.5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页