2022年初中数学知识点整理表格版 .pdf

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1、名师总结精品知识点初中数学教材知识梳理系统复习第一单元数与式第 1 讲实 数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分正有理数有理数0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数0 实数正无理数负实数无理 数无限 不循环 小数负无理数（1）0 既不属于正数，也不属于负数. （2）无理数的几种常见形式判断：含的式子；构造型： 如 3.010010001（每两个 1之间多个0）就是一个无限不循环小数；开方开不尽的数：如， ；三角函数型：如sin60， tan25. （3）失分点警示： 开得尽方的含根号的数属于有理数，如 =2，=-3，它们都属于有理数.知识点

2、二：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上 -2.5 表示的点到原点的距离是2.5. 3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b 互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为 -a，特别的 0 的绝对值是0. 例： 3 的相反数是 -3，-1 的相反数是1. 4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|= a (a 0)；|a-b|= a-b(ab) -a(a0). b-a(ab)

3、（3）非负性： |a|0，若 |a|+b2=0,则 a=b=0. （1）若 |x|=a（a 0） ，则 x=a. （2） 对绝对值等于它本身的数是非负数. 例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3 的是 3;|1-|=-1. 5.倒数（1）概念：乘积为1 的两个数互为倒数.a 的倒数为1/a(a0) （2）代数意义：ab=1a,b 互为倒数例：-2 的倒数是 -1/2 ；倒数等于它本身的数有1. 知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式： a10n,其中 1|a|10，n 为整数（2）确定 n 的方法： 对于数位较多的大数，n 等于原数的整数为减去 1；对于小数，写成a10-

4、n，1|a|10，n 等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）例：21000 用科学记数法表示为2.1104；19 万用科学记数法表示为1.9105；0.0007 用科学记数法表示为710-4. 7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数. （2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 . 例：3.14159 精确到百分位是3.14；精确到 0.001 是 3.142.知识点四：实数的大小比较8.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大. （2）性质比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. （3）作差比

5、较法：a-b0ab； a-b=0a=b；a-b0ab. （4）平方法： ab0a2b2. 例：把 1，-2,0，-2.3 按从大到小的顺序排列结果为 _10-2-2.3_.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页名师总结精品知识点第 2 讲整式与因式分解知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例1.代数式（1）代数式 ：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（2）求代数式的值 ：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值求代数式的值

6、常运用整体代入法计算. 例： ab3，则 3b3a9.2.整 式（单项式、多项式）（1）单项式 ：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数 . （2）多项式 ：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数. （3）整式 ：单项式和多项式统称为整式. （4）同类项 ：所含字母相同并且相同字母的指数 也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 例：（1）下列式子：-2a2;3a-5b； x/2;2/x;7a2;7x2+8x3y； 2017.其中属于单项式的是 ；多项式是 ；

7、同类项是 和. （2）多项式 7m5n-11mn2+1 是六次三项式，常数项是_1 . 知识点二：整式的运算3.整 式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变(2)去括号法则 : 若括号外是 “”， 则括号里的各项都不变号；若括号外是“”，则括号里的各项都变号 . (3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. 失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项 . 例： 2(3a2b1)6a4b2.4.幂 运算法则(1)同底数幂的乘法：am anamn；(2)幂的乘方： (am)namn；(3)积的乘方：

8、 (ab)nan bn；(4)同底数幂的除法：am anamn(a0) . 其中 m,n都在整数(1)计算时， 注意观察， 善于运用它们的逆运算解决问题 .例：已知 2m+n=2,则 32m2n=6. （2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数 .例： 2m4m=23m. 5.整 式的乘除运算(1)单项式 单项式：系数和同底数幂分别相乘；只有一个字母的照抄(2)单项式 多项式：m(a+b) =ma+mb.(3)多项式 多项式 : (m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb.(4)单项式 单项式：将系数、同底数幂分别相除. (5)多项式 单项式：多项式的每一项除以单项式；商相加失分警示：

9、计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错. 例： (2a1)(b2)2ab4ab2.知识点五：实数的运算9. 常见运算乘 方几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）例：（1）计算： 1-2-6=_-7_;(-2)2=_4_; 3-1=_1/3_;0=_1_; (2)64 的平方根是 _ 8_,算术平方根是_8_,立方根是 _4_. 失分点警示： 类似“的算术平方根”计算错误 . 例：相互对比填一填：16 的算术平方根是4_,的算术平方根是_2_. 零次幂a0=_1_(a 0) 负指数幂a-p=1/ap（a0，p 为整数）平方根、算术平方根若 x2=a（a0）, 则

10、 x=a. 其中a是算术平方根. 立方根若 x3=a, 则 x=3a.10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行. 计算时，可以结合运算律，使问题简单化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页名师总结精品知识点（ 6）乘法公式平方差公式： (ab)(ab)a2b2. 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式： (a b)2a2 2abb2. 变形公式：a2+b2=(ab)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2） 】

11、 /26.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算例： （a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_ -2a_. 知识点五：因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式(2)常用方法：提公因式法：mambmcm(abc). 公式法： a2b2(ab)(ab)；a2 2abb2(a b)2. (3)一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；检查各因式能否继续分解. (1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算第 3 讲分 式知识点一：

12、分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念（1）分式：形如BA(A，B 是整式，且B 中含有 字母 ， B0)的式子 . （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 在判断某个式子是否为分式时，应注意： （1）判断化简之间的式子； （2）是常数，不是字母. 例：下列分式：; ;2221xx，其中是分式是 ；最简分式. 2.分 式 的意义(1)无意义的条件：当B0 时，分式BA无意义；(2)有意义的条件：当B0 时，分式BA有意义；(3)值为零的条件：当A0，B 0 时，分式BA 0. 失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时， 一定要注意所求得的值满足分母不为 0. 例：当211xx

13、的值为 0 时，则 x-1. 3.基 本 性质( 1 ) 基本性质：AA CBB CACBC(C 0) （2）由基本性质可推理出变号法则为：AAABBB；AAABBB. 由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：22121xxx=11xx. 知识点三：分式的运算4.分 式 的约 分 和通分(1)约分 (可化简分式 )：把分式的分子和分母中的公因式约去，即babmam；(2)通分 (可化为同分母 )：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即bcbdbcacdcba,分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式21xx和11x x的最简公分母为21x

14、 x.5.分 式 的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即acbca bc；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式， 再加减 .即abcdad bcbd. 例：111xxx1.2112.111aaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页名师总结精品知识点6.分 式 的乘除法(1)乘法：abcdacbd；(2)除法：acbdadbc；(3)乘方：nabnnab(n 为正整数 ). 例：2abb a12；21xxy2y；332x3278x. 7.分 式 的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式

15、，若能，就要先分解后约分 . (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的失分点警示： 分式化简求值问题， 要先将分式化简到 最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入 . 第 4 讲二次根式知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念（1）二次根式的概念：形如a(a0) 的式子 . （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. （ 3）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示： 当判断分式、二次根

16、式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式11x有意义，则x 的取值范围是 x1. 2.二 次 根 式的性质（1）双重非负性：被开方数是非负数，即a0 ；二次根式的值是非负数，即a0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. 利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负 :当多个非负数的和为0 时，可得各个非负数均为0.如1a+1b=0，则 a=-1，b=1.（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这 一 对 相 反 数 的 数 均 为0. 如已 知b=1a+1a,则

17、a=1,b=0.(2)两个重要性质：(a)2a(a0) ；a2|a|00aaa a；(3)积的算术平方根：abab(a0 ，b 0) ；(4)商的算术平方根：abab(a0 ， b0)例：计算：23.143.14；22 2；24=；=2 ；442939知识点二：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式例： 计算：28323 2. 4.二次根式的乘除法（1）乘法：ab=ab(a0 ，b 0) ；注意：将运算结果化为最简二次根式.例： 计算：32231；3232224.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

18、- - -第 4 页，共 29 页名师总结精品知识点（2）除法：ab=ab(a0 ，b0)5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便. 例：计算： (2+1)(2-1)= 1 . 第二单元方程(组)与不等式 (组) 第 5 讲一次方程 (组) 知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性质 1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 .即若 ab，则 a cb c . (2)性质 2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0） ，

19、所得结果仍是等式.即若 ab，则 acbc，abcc(c 0) (3)性质 3： （对称性）若a=b,则 b=a. (4)性质 4： （传递性）若a=b,b=c,则 a=c. 失分点警示： 在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0. 例：判断正误. (1)若 a=b,则 a/c=b/c. () (2)若 a/c=b/c，则 a=b. ( ) 2.关于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程

20、(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0. 例： 若(a-2)|a 1|0 xa是关于 x 的一元一次方程，则a 的值为 0. 知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组3.解一元一次方程的步骤(1)去分母 :方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a0)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a. 失分点警示： 方程去分母时， 应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现

21、变号错误. 4.二元一次方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程. 已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组. 例：已知2923xyxy则 x-y 的值为 x-y= 4. 方法：(1)代入消元法 :从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2) 加减消元法： 把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法 . 知识点三：一次方程 (组)的实际应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页名师总结精品知识点5.列方程 (组)

22、 解应用题的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程 (组)：找出等量关系，列方程（组）；(4)解方程 (组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x. （2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.6.常 见 题 型及关系式（1）利润问题： 售价 =标价折扣， 销售额 =售价销量， 利润 =售价 -进价，利润率 =利润 /进价 100%

23、. （2）利息问题：利息=本金利率期数，本息和=本金 +利息 . （3）工程问题：工作量=工作效率工作时间. （4）行程问题：路程=速度时间 . 相遇问题：全路程=甲走的路程 +乙走的路程；追及问题： a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离 =追者走的路程 . 第 6 讲一元二次方程知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程(2)一般形式： ax2bxc0(a0) ，其中ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项、 常数项， a、b、c 分别称为二

24、次项系数、一次项系数、 常数项例：方程20aax是关于 x 的一元二次方程，则方程的根为1. 2.一 元 二次 方 程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m） (bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法 :一元二次方程ax2bx c0 的求根公式为x=242bbaca（b2-4ac 0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法. 例：

25、把方程x2+6x+3=0 变形为(x+h)2=k 的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根 的 判别式(1)当 24bac0 时，原方程有两个不相等的实数根(2)当 24bac=0 时，原方程有两个相等的实数根(3)当 24bacb c；性质 2：若 ab,c0，则 acbc，acbc；性质 3：若 ab,c0，则 acbc，acbc. 牢记不等式性质3，注意变号 . 如：在不等式2x4 中，若将不等式两边同时除以2，可得x2. 知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1 的，左右两边为整式的式子叫做

26、一元一次不等式. 例：若230mmx是关于 x 的一元一次不等式，则m 的值为 -1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1. 失分点警示系数化为1 时，注意系数的正负性，若系数是负数， 则不等式改变方向 . （2）解集在数轴上表示:xa xa xa xa 知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组（1）在表示解集时“ ” ，“ ”表示含有，要用实心圆点表示；“ ” ，“ ” 表示不包含要用空心圆点表示（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时， 一般先视字母系数为常数， 再逆用不等式

27、（组）解集的定义，反推出含字母的方程， 最后求出字母的值 . 如：已知不等式（a-1）x1-a的解集是x -1，则 a 的取值范围是 a1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不 等 式组 解 集的类型假设 ab解集数轴表示口诀xaxbxb大大取大xaxbxa小小取小xaxba x b大小，小大中间找xaxb无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列 不 等式 解 应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义. （2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（）” 、 “最多（）” 、 “不低于

28、（） ” 、 “不高于（）” 、 “不大（小）于” 、 “超过（）” 、 “不足（）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、 “更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时， 不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页名师总结精品知识点第 9 讲平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系（2）几何意义：坐标平面内任意一点

29、M 与有序实数对 (x，y)的关系是一一对应点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标 (y 轴). 2.点 的 坐 标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点 P(x,y)在第一象限 ? x0，y0；点P(x,y) 在第二象限 ? x0，y0；点P（x,y）在第三象限 ? x0，y0；点P（x,y）在第四象限 ? x0，y0. （2）坐标轴上点的坐标特征：在横轴上 ? y0；在纵轴上 ? x0；原点 ? x0，y0. （3）各象限角平分线上点的坐标第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等 ；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点 P（a,b）的对称点的坐标特

30、征：关于 x 轴对称的点P1的坐标为 (a，b)；关于 y 轴对称的点 P2的坐标为 (a，b)；关于原点对称的点P3的坐标为 (a， b)（5）点 M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1）坐标轴上的点不属于任何象限 . （2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x 轴、 y 轴作 垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决. 3.坐 标 点 的距离问题（1）

31、点 M(a,b)到 x 轴， y 轴的距离：到x 轴的距离为 |b|；)到 y 轴的距离为 |a|（2）平行于 x 轴， y 轴直线上的两点间的距离：点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为 |x1x2|，点 M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为 |x1x2|；点 M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为 |y1y2|，点 M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为 |y1y2|平行于 x 轴的直线上的点纵坐标相等 ；平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相等 . 知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量

32、叫做变量（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和 y，对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称x 是自变量， y是 x的函数函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法 . （3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负 数；使实际问题有意义失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分 . 例：函数y=35xx中自变量的取值范围是 x-3 且 x5. 5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；

33、找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. （2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：设时间为t（或线段长为x） ，找因变量与t(或 x)之间存在的函数关系，用含t(或 x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 读 取函 数 图 象 增 减 性 的 技巧：当函数图象从左到右呈 “上升” （ “下降”）状态时，函数 y随 x 的增大而 增大 （减小） ；函数值变化越大，图象越陡峭；当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条xy第四象限 (，)第三象限 (，)第二象限 (，

34、)第一象限 ( ，)123123123123O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页名师总结精品知识点平行于 x 轴的线段 . 第 10 讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如ykxb(k0) 的函数叫做一次函数特别地，当b 0时，称为正比例函数（2）图象形状： 一次函数 ykxb 是一条经过点 （0,b）和（-b/k,0）的直线 .特别地，正比例函数ykx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线 . 例：当 k1 时，函数 ykxk1 是正比例

35、函数 , 2.一 次 函 数的性质k，b 符号K0，b0 K0，b0 K0， b=0 k0 k0，b0 k0 图 象 经 过 第一、三象限（x、y 同号）每个象限内，函数y 的值随 x 的增大而减小 . k2ba时， y 随 x 的增大而 增大 ；当 x2ba时，y 随 x 的增大而 减小 . 当 x2ba时，y随 x 的增大而 减小 ；当 x2ba时，y 随 x 的增大而 增大 . 最值x=2ba，y最小244acba. x=2ba，y最大244acba. 3.系数 a、b、ca决定抛物线的开口方向及开口大小当 a0 时，抛物线开口向上；当 a0 时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符

36、号：ab+c 即为 x=1 时， y 的值；4a2b+c 即为 x=2 时， y 的值 . 2a+b 的符号，需判断对称轴-b/2a 与 1 的大小 .若对称轴在直线x=1 的左边，则 -b/2a1，再根据a 的符号即可得出结果 .2a-b 的符号，需判断对称轴与 -1 的大小 . a、b 决定对称轴（ x=-b/2a）的位置当 a，b 同号， -b/2a0，对称轴在y 轴左边；当 b0 时，-b/2a=0，对称轴为y轴；当 a，b 异号， -b/2a0，对称轴在y 轴右边c 决定抛物线与y轴的交点的位置当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在正半轴上；当 c0 时，抛物线经过原点；当 c0 时，

37、抛物线与y 轴的交点在负半轴上. b24ac 决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点 ; b24ac0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点 ; b24ac0 时，抛物线与x 轴没有交点知识点三：二次函数的平移4.平移与解析式的关系平移|k|个单位平移|h|个单位向上(k0)或向下 (k0)向左(h0)或向右(h0)y=a(xh)2k的图象y=a(xh)2的图象y=ax2的图象注意 ：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“ 上加下减，左加右减 ” ,左右平移易弄反.例：将抛物线y

38、=x2沿 x 轴向右平移 2 个单位后所得抛物线的解析式是 y=（x2）2知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与 一 元 二次方程二次函数y=ax2bxc(a0) 的图象与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根 .当 b24ac0，两个不相等的实数根；当 b24ac0，两个相等的实数根；当 b24ac0，无实根例：已经二次函数y=x2-3x+m(m 为常数 )的图象与 x 轴的一个交点为 （1,0），则关于 x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的两个实数根为2,1.6.二次函数抛物线 y= ax2bx c0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的

39、 x 的所有值就是不等式ax2 bxc0 的解集； 在 x 轴下方的部分点的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页名师总结精品知识点与不等式纵坐标均为负，所对应的x 的值就是不等式ax2bxc0 的解集 . 第 13 讲二次函数的应用知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；使已知点所在的位置适当（如在x 轴， y 轴、原点、抛物线上等） ，方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.据题意，结合函数图象求出函

40、数解析式；确定自变量的取值范围；根据图象，结合所求解析式解决问题. 实际问题中求最值分析问题中的数量关系，列出函数关系式；研究自变量的取值范围；确定所得的函数； 检验 x 的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；解决提出的实际问题. 解决最值应用题要注意两点：设未知数， 在“当某某为何值时，什么最大 （最小） ”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内. 结合几何图形根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积

41、，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围. 第四单元图形的初步认识与三角形第 14讲平面图形与相交线、平行线知识点一：直线、线段、射线关键点拨1. 基本事实（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线（2）线段的基本事实：两点之间，线段 最短例： 在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2 枚钉子，依据的是两点确定一条直线.知识点二：角、角平分线2. 概念（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形（2）角平分线： 在角的内部， 以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线例：（1）152515.5；372445324849701334 . （2）32的

42、余角是58，32的补角是 148.3. 角的度量1 60， 1 60，1 3600 4. 余角和补角( 1 ) 余角： 1 290 ? 1 与 2 互为余角；( 2 ) 补角： 1 2180 ? 1 与 2 互为补角 . （3）性质：同角(或等角 )的余角 相等 ；同角 (或等角 )的补角 相等 知识点三：相交线、平行线5. 三线八角（1）同位角：形如” F” ;（ 2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”. 一个角的同位角、 内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察6. 对顶角、邻补角（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角. （2）性质

43、：对顶角相等 ，邻补角之和为180. 例：在平面中， 三条直线相交于1 点，则图中有 6 组对顶角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页名师总结精品知识点7.垂线（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线（2）性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线段最短（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度例：如图所示，点A 到 BC 的距离为AB，点 B 到 AC 的距离为 BD，点 C 到AB 的距离为 BC. 8.平行线（1）平行线的性质与判定同位角相等两直线平行内错角相等

44、两直线平行同旁内角 互补两直线平行（2）平行公理及其推论经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行平行于同一条直线的两直线平行 （1）如果出现两条平行线被其中一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线 . （2）在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、 三角形的内角和以及三角形的外角性质， 解题时注意这些性质的综合运用 . 知识点四：命题与证明9.命 题 与证明（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子 )叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题. （2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成如果p，那么 q的形式，其中p 是题设， q 是结

45、论 .（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程 .证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了 . 例：下列命题是假命题的有() 相等的角不一定是对顶角；同角的补角相等；如果某命题是真命题， 那么它的逆命题也是真命题；若某个命题是定理， 则该命题一定是真命题 . 第 15 讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三 角 形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时

46、， 必须考虑三角形三边关系 . 例：等腰三角形两边长分别是3和 6，则该三角形的周长为15.2.三 边 关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边3.角 的 关系（1）内角和定理：三角形的内角和等180；推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. 三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 利用三角形的内、 外角的性质求角度时， 若所给条件含比例， 倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解. 4.三 角 形中 的 重要线段四线性 质（1）角平分线、高结合求角度时， 注意运用三角形的内

47、角和为180这一隐含条件 . （2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时， 注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页名师总结精品知识点中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三 角 形中内、外角 与 角平

48、 分 线的 规 律总结如图， AD 平分 BAC ，AE BC，则 =12BAC-CAE=12(180 - B-C）- （90- C）=12( C- B） ；如图， BO 、CO分别是 ABC 、 ACB的平分线，则有O=12A+90；如图，BO 、 CO分别为 ABC 、 ACD 、 OCD 的平分线， 则 O=12 A ， O =12O；如图， BO 、CO分别为 CBD 、 BCE的平分线，则O=90-12A. 对于解答选择、 填空题， 可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果. 知识点二：三角形全等的性质与判定6.全 等 三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等(2)全等三角

49、形的对应角平分线、对应中线、对应高相等(3)全等三角形的周长等、面积等失分点警示 ： 运用全等三角形的性质时， 要注意找准对应边与对应角.7.三 角 形全等的判定一 般三 角形 全等SSS（三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图， SSA 和 AAA 不能判定两个三角形全等. 直 角三 角形 全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2) 证 明 两 个 直 角 三 角 形 全 等 同 样 可 以 用SAS,ASA 和 AAS. 8.全 等 三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段

50、长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：直接连接法：如图，连接公共边，构造全等. 倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图，由SAS可得 ACD EBD ，则 AC=BE.在 ABE中， AB+BE AE ，即 AB+AC 2AD. 截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图、. 例：如图，在 ABC 中，已知 1=2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共