2022年人教版高一数学必修一第一章集合与函数概念知识点 .pdf

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1、高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性 : 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示： 如：我校的篮球队员， 太平洋 , 大西洋, 印度洋 , 北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集

2、Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法： a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn图: 4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意：BA有两种可能（ 1）A是 B 的一部分，； （2）A与 B 是同一集合。反之 : 集合 A不包含于集合B,或集合 B不包含集合 A,记作 AB或 BA 2 “相等”关系：A=B (5

3、5，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集 : 如果 A B,且 A B 那就说集合A 是集合 B的真子集，记作 AB(或 BA) 如果 AB, BC , 那么 AC 如果 A B 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定由所有属于A 且属由所有属于集合A或设 S 是一个集合，A精选学习资料 - - - - - - -

4、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页义于 B 的元素所组成的集合 , 叫做A,B的交集 记作 AB（读作 A 交 B ） ，即 AB= x|xA，且 xB 属于集合 B的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作A 并B ）， 即AB =x|xA ，或xB) 是 S 的一个子集，由 S中所有不属于A 的元素组成的集合， 叫做 S中子集A 的补集 （或余集）记作ACS，即CSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2性质AA=A A=AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA ABABB (CuA) (CuB) = Cu (AB)

5、(CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 例题：1. 下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2. 集合 a ，b，c 的真子集共有个3. 若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0 ，则 M与 N的关系是 . 4. 设集合 A=12xx，B=x xa，若 AB，则a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含

6、边界上的点）组成的集合M= . 7. 已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m的值二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域S A 精选学习资料 - - -

7、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 . (6) 指数为零底不可以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同 （与表示自变量和函数值的字

8、母无关）；定义域一致 ( 两点必须同时具备) ( 见课本 21 页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域(1) 观察法(2) 配方法(3) 代换法3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C上 . (2) 画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4区间的概念（1）区间的

9、分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作“f（对应关系）：A （原象）B（象） ”对于映射f：AB来说，则应满足：(1) 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6. 分段函数精选学习资料 - - - - - - - -

10、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2) 各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f 、g 的复合函数。二函数的性质1. 函数的单调性 (局部性质 ) （1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2) ，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数 .

11、区间 D称为 y=f(x)的单调增区间 . 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 区间D称为 y=f(x)的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有( 严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x1，x2D ，且 x1x2；2作差 f(x1) f(x2) ；3变形（通常是

12、因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1) f(x2) 的正负）；5下结论（指出函数f(x) 在给定的区间D上的单调性）(B) 图象法 (从图象上看升降) (C) 复合函数的单调性复合函数fg(x) 的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f( x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2） 奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f( x)=f

13、(x)，那么 f(x) 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f( x) 与 f(x) 的关系；3 作出相应结论：若f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x) 是偶函数；若f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x) 是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条

14、件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称， (1) 再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0 或f(x)f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式（1）. 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . （2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函

15、数的最大（小）值：如果函数y=f(x) 在区间 a ，b 上单调递增，在区间b ，c 上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b) ；如果函数y=f(x) 在区间 a ，b 上单调递减，在区间b ，c 上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b) ；例题：1. 求下列函数的定义域：221533xxyx211()1xyx2. 设函数f x( )的定义域为01，则函数fx()2的定义域为 _ _ 3. 若函数(1)f x的定义域为23，则函数(21)fx的定义域是4. 函数22(1)( )( 12)2 (2)xxf xxxx x，若( )3f x，则x= 5.

16、求下列函数的值域：223yxx()xR223yxx1,2x(3)1 2yxx (4)245yxx6. 已知函数2(1)4f xxx，求函数( )f x，(21)fx的解析式7. 已知函数( )f x满足2 ( )() 34f xfxx，则( )f x= 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页8. 设( )f x是 R 上的奇函数，且当0,)x时 ,3( )(1)f xxx, 则当(,0)x时( )f x= ( )f x在 R上的解析式为9. 求下列函数的单调区间：223yxx223yxx261yxx10. 判断函数13xy的单调性并证明你的结论11. 设函数2211)(xxxf判断它的奇偶性并且求证：)()1(xfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页