2022年初中数学竞赛定理大全 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载欧拉（ Euler ）线：同一三角形的垂心、 重心、 外心 三点共线，这条直线称为三角形的 欧拉线 ；且 外心 与 重心的距离等于垂心 与 重心 距离的 一半。九点圆：任意三角形三边的 中点，三高的垂足 及三顶点与 垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆 ；其圆心为三角形外心与垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接 圆半径的一半 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载费尔马点：已知 P 为锐角 ABC内一点，当 APB BPC CPA 120时，PA P

2、BPC的值最小，这个点 P称为ABC的费尔马点 。海伦（ Heron）公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载塞瓦（ Ceva ）定理：在ABC中，过 ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边 BC 、CA 、AB与点 D、E、F，则(BD/DC) (CE/EA) (AF/FB) 1；其逆亦真。密格尔（ Miquel）点：若 AE 、AF、ED、FB四条直线相交于 A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是ABF 、AED 、BCE 、DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密

3、格尔点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载葛尔刚（ Gergonne ）点: ABC的内切圆分别切边AB、BC 、CA于点 D、E、F，则 AE 、BF 、CD三线共点，这个点称为 葛尔刚点 。西摩松（ Simson ）线：已知 P为ABC外接圆周上任意一点， PDBC ，PE ACPF AB ，D、E、F为垂足，则 D、E、F三点共线 ，这条直线叫做 西摩松线 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下

4、载黄金分割：把一条 线段(AB) 分成两条线段 ，使其中较大的 线段(AC) 是原线段 (AB) 与较小线段 (BC) 的比例中项 ，这样的分割称为 黄金分割。帕普斯（ Pappus ）定理：已知点 A1、A2、A3在直线 l1上，已知点 B1、B2、B3在直线 l2上，且 A1 B2与 A2 B1交于点 X，A1B3与 A3 B1交于点 Y，A2B3于 A3 B2交于点 Z，则 X、Y、Z三点共线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载笛沙格（ Desargues ）定理：已知在ABC与ABC中，

5、AA、BB 、CC 三线相交于点 O，BC与 BC 、CA与 CA 、AB与 AB分别相交于点 X、Y、Z，则 X、Y、Z三点共线 ；其逆亦真摩莱（ Morley）三角形：在已知 ABC三内角 的三等分线 中，分别与 BC 、CA 、AB相邻的每两线相交于点 D、E、F，则DEF是正三角形 ，这个正三角形称为 摩莱三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载帕斯卡（ Paskal ）定理：已知圆内接六边形 ABCDEF 的边 AB 、DE延长线交于点 G，边 BC 、EF延长线 交于点 H，边 C

6、D、FA延长线交于点 K，则 H、G、K三点共线 。托勒密（ Ptolemy）定理：在圆内接四边形中 ，AB CDADBC AC BD （任意四边形都可！哇哈哈）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载斯图尔特（ Stewart）定理：设 P 为 ABC边 BC上一点 ，且 BP：PC n：m，则m(AB2)n(AC2)m(BP2 )n(PC2)（ mn）(AP2) 梅内劳斯定理：在ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线截于点X、Y、Z，则(BX/XC)(CY/YA)(AZ/ZB)1

7、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载阿波罗尼斯（Apollonius）圆一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆， 简称“阿氏圆” 。布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，ACBD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载广

8、勾股定理：在任一三角形中，(1) 锐角对边的平方，等于 两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍(2) 钝角对边的平方，等于 两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+ +M(N) 种不同的方法。比如说：从 北京到上海 有 3 种方法可以直接到达上海，1：火车k12：飞机k2 3：轮船k3，那么从北京- 上海的方法N = k1+k2+k3乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个

9、步骤 ，做第一 步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2不同的方法，做第n 步有 m n不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=m1 m2 m3 mn 种不同的方法 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 的比相等。即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）这一定理对于任意三角形ABC ，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）余弦定理：对于任意三角形，

10、任何一边的平方 等于其他两边平方的和 减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c 三角为A,B,C ， 则满足性质：a2=b2+c2-2bc Cos A b2=a2+c2-2ac Cos B c2=a2+b2-2ab Cos C Cos C= (a2+b2-c2)/2ab Cos B= (a2+c2-b2)/2ac Cos A= (c2+b2-a2)/2bc 解析几何中的基本公式1、 两点间距离：若)y,x(B),y,x(A2211，则212212)()(yyxxAB2、 平行线间距离：若0CByAx:l,0CByAx:l2211则：2221BACCd注意点： x，y 对应项系

11、数应相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载3、 点到直线的距离：0CByAx:l),y,x(P则 P到 l 的距离为：22BACByAxd4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：0)y,x(Fbkxy消 y：02cbxax，务必注意.0若 l 与曲线交于 A),(),(2211yxByx则：2122)(1(xxkAB5、 若 A),(),(2211yxByx，P（x，y） 。P在直线 AB上，且 P分有向线段 AB所成的比为，则112121yyyxxx， 特别地： =1时， P为 AB中点且22

12、2121yyyxxx变形后：yyyyxxxx2121或6、 若直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2，则 l1到 l2的角为),0(,适用范围： k1，k2都存在且 k1k21 ，21121t a nkkkk若 l1与 l2的夹角为，则 tan21211kkkk，2,0(注意： （1）l1到 l2的角，指从 l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围),0(l1到 l2的夹角：指l1、l2相交所成的锐角或直角。（2）l1l2时，夹角、到角 =2。（3）当 l1与 l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

13、- - - -第 12 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载7、 （1）倾斜角，),0(；（2）0,，夹角ba；（3）直线 l 与平面20 ，的夹角；（4）l1与 l2的夹角为，20，其中 l1/l2时夹角=0；（5）二面角, 0(；（6）l1到 l2的角)0( ，8、 直线的倾斜角与斜率 k 的关系a)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。b)若直线存在斜率 k，而倾斜角为，则 k=tan。9、 直线 l1与直线 l2的的平行与垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（1）若 l1，l2均存在

14、斜率且不重合：l1/l2k1=k2l1l2k1k2=1 （2）若0:, 0:22221111CyBxAlCyBxAl若 A1、A2、B1、B2都不为零 l1/l2212121CCBBAA； l1l2A1A2+B1B2=0； l1与 l2相交2121BBAA l1与 l2重合212121CCBBAA；注意：若 A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。10、直线方程的五种形式名称方程注意点斜截式：y=kx+b 应分斜率不存在斜率存在点斜式：)(xxkyy（1）斜率不存在：xx（ 2 ） 斜 率 存 在 时 为)(xxkyy两点式：121121xxxxyyyy截距式：1byax其中

15、 l 交 x 轴于)0 ,(a，交 y轴于),0(b当直线 l 在坐标轴上，截距相等时应分：（1）截距 =0 设 y=kx （ 2 ） 截 距 =0a设1ayax即 x+y=a一般式：0CByAx（其中 A、B不同时为零）11、直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载若22BACBbAad，0相离rd0相切rd0相交rd13、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义：若 F1，F2是两定点， P为动点，且21212FFaPFPF（a为常数

16、）则 P点的轨迹是椭圆。定义：若 F1为定点，l 为定直线，动点 P到 F1的距离与到定直线l 的距离之比为常数 e（0e1） ，则动点 P的轨迹是双曲线。（二）图形：（三）性质方程：12222byax)0, 0(ba12222bxay)0,0(ba定义域：axaxx或；值域为 R；实轴长= a2 ，虚轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程：cax2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载焦半径：)(21caxePF，)(22xcaePF，aPFPF221；注意： （1）图中线段的几何特征：1AFac

17、BF2，2AFcaBF1顶 点 到 准 线 的 距 离 ：caacaa22或； 焦 点 到 准 线 的 距 离 ：caccac22或;两准线间的距离 =ca22（2）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：02222byaxxaby若 渐 近 线 方 程 为xaby0byax双 曲 线 可 设 为2222byax若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）（3）特别地当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；（4）注意21FPF中结合定义aPFPF221与余弦定理21cosPF

18、F，将有关线段1PF、2PF、21FF和角结合起来。二、抛物线（一）定义：到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点 F的距离与到定直线l 的距离之比是常数 e（e=1） 。（二）图形：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（三）性质：方程：焦参数pppxy),0( ,22；焦点：)0 ,2(p，通径pAB2；准线：2px；焦半径：,2pxCF过焦点弦长pxxpxpxCD212122注意： （1）几何特征：焦点到顶点的距离=2p；焦点到准线的距离 = p ；通径长=p2顶点是焦点向准线所作垂线段中点。（ 2 ） 抛 物 线pxy22上 的 动 点 可 设 为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptPPpxyyx2),(2其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页