2022年初二数学--勾股定理讲义 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第一章勾股定理【知识点归纳】1234561、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为 c，那么一定有222cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：有一个角是 30的直角三角形， 30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是 45的直角三角形是等腰直角三角形

2、。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（3）勾股定理的验证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载abcabcabcabcabababba例题：例 1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在 RtABC中， C=90 若 a=5，b=12，则 c=_ ；若 a=15，c=25，则 b=_ ；若 c=61，b=60，则 a=_ ；若 ab=34，c=10 则 RtABC的面积是 =_。（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n2，2n（n1） ，那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C 、

3、n21 D、1n2（3）在 RtABC中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222abc B. 222acbC. 222cba D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C 、7 D、7 或 25 例 2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5 和 12，则它斜边上的高为 _。（2）已知 RtABC中， C=90 ，若 a+b=14cm ，c=10cm ，则 RtABC 的面积是（） A、242cmB、36 2cmC、482cmD、602cm（3）

4、已知 x、y 为正数，且 x2-4+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5 B、25 C 、7 D、15 例 3：探索勾股定理的证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载有四个斜边为 c、两直角边长为 a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。ABCMDGHFE考点二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。（2）

5、 常见的勾股数： （3n,4n,5n ） ,(5n,12n,13n)， (8n,15n,17n)， (7n,24n,25n) ， (9n,40n,41n).（n 为正整数）（3）直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例 1：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4 ，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 （2）

6、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（） A、234 B 、346 C、51213 D、467 例 2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：ABC 中， C=AB；ABC 中， A：B：C=1 ：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载ABC 中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（2）若三角形的三边之比为21:122，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C

7、.等腰直角三角形 D.不等边三角形（3）已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足 (a2b2)(a2+b2c2) 0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形（5）若ABC 的三边长 a,b,c 满足222abc20012a16b20c，试判断 ABC的形状。（6）ABC的两边分别为 5,12 ，另一边为奇数，且 a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为，此三角形为。例 3：求最大、最小角的问题（1）若三角形三

8、条边的长分别是7,24,25 ，则这个三角形的最大内角是度。（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。考点三：勾股定理的应用例题：例 1：面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C 、D的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 ABCDES2S3S1ABCS3S2S1（图 1）（图 2）（图 3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载（3）如图， ABC 为直角三

9、角形，分别以AB ，BC ，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是（2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1 例 2：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树 10m高的 B处，有两只猴

10、子，一只爬下树走到离树20m处的池塘 A处；?另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A 外，距离以直线计算， 如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？CADB例 3：最短路程问题（1）如图 1，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为 2，AB ，CD分别是两底面的直径， AD ，BC是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是。（结果保留根式）ABCD（图 1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载（2）如图 2，有一个长、宽、高为 3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶

11、点A要爬到顶点 B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。BA（图 2）例 4：航海问题（1）一轮船以 16 海里/ 时的速度从 A港向东北方向航行，另一艘船同时以12 海里/ 时的速度从 A港向西北方向航行，经过1.5 小时后，它们相距 _海里（2）如图 1，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点 A处测得某岛 C在北偏东 60的方向上。 该货船航行 30 分钟到达 B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在 C岛周围 9海里的区域内有暗礁， 若继续向正东方向航行， 该货船有无暗礁危险？试说明理由。东北3060BACMDDBCA（图 1）（图 2）（3）如图

12、2，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km的 B 处有一台风中心，沿BC方向以 15km/h 的速度向 D移动，已知城市 A到 BC的距离 AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从 B点移到 D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 5：网格问题（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A0 B

13、1 C2 D3 （2）如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长为1，则 ABC是 （）A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1 的正方形 , 则四边形 ABCD 的面积是 ( ) A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 BCAABCDCBA（图 1）（图 2）（图 3）例 6：图形问题（1）如图 1，求该四边形的面积（2） （2010 四川宜宾） 如图 2，已知，在 ABC中， A= 45，AC = 2，AB = 3+1，则边 BC的长为431213BCDA（图 1）（图 2）（3）某公司的大门如图所示 , 其中四边形是长

14、方形 , 上部是以为直径的半圆 , 其中 =2.3， =2, 现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5 , 宽为 1.6 , 问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载（4）将一根长 24 的筷子置于地面直径为5 ，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h ，则 h 的取值范围。【培优提高】1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC 6 cm、BC 8 cm，现将 ABC折叠，使点 B与点 A重合，折痕为 DE ，则 BE的长为（A）4 cm （

15、B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm 2如图所示，在 RtABC 中， C90，A30，BD是ABC的平分线， CD 5 ，求 AB的长33. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、8 、5（在图甲中画一个即可） ；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可） 甲乙4下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 5在ABC 中，AB=6 ，AC=8 ，BC=10 ，则该三角形为（）A锐角三角形 B直角三角形C 钝角三角形 D等腰

16、直角三角形A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载6. 已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以RtABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰RtACD ，再以 RtACD 的斜边 AD为直角边，画第三个等腰RtADE ，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是7. 如图，每个小正方形的边长为1，ABC的三边cba,的大小关系式：（A）bca（B）cba（C ）bac（D ）abc8 （本题满分 10 分） 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵

17、爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。 定理表述 请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）； （3 分） 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b 为底，以ba为高的直角梯形（如图2） ，请你利用图 2，验证勾股定理；（4 分） 知识拓展 利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明.2cba其证明步骤如下：ADbaBC,= 。又在直角梯形ABCD 中有 BC AD （填大小关系），即，.2cbaABCDEFG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页