2022年北师大版八年级下册数学第一章《证明》知识点及习题 .pdf

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1、名师总结优秀知识点1等腰三角形知识点 1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)用符号语言表示为：如图11 所示，在 ABC 中， ABAC， B C定理的证明：取 BC 的中点 D，连接 AD(),()()ABACBDCDADAD已知中点定 义 ，公共 边 ，ABD ACD(SSS) B C(全等三角形的对应角相等)定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形还具有其他性质(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角(3)等腰三角形的三边关系：设腰长

2、为a，底边长为b，则2ba(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为A，底角为 B， C，则 A180 B C180 2B180 2C知识点 2 等腰三角形的性质定理的推论推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)(1)用符号语言表示为：如图13 所示，在 ABC 中， ABAC， 1 2， ADBCBDDC；在 ABC 中， ABAC，ADBC， 1 2，BDDC；在 ABC 中， ABAC，BDDC， 1 2， ADBC(2)推论 1 的证明在 ABC 中， ABAC， 1 2，AD AD， ABD ACD(SAS)BD DC， ADB ADC90 A

3、D BC在 ABC 中， ADBC， ADB ADC 90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师总结优秀知识点ABAC， B C又 ADAD， RtADB RtADC(AAS) 1 2， BDCD在 ABC 中， ABAC，ADAD， BDCD， ABD ACD(SSS) 1 2， ADB ADC90， ADBC. (3)推论 1 的作用：证明角相等、线段相等或垂直. 推论 2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60(1)用符号语言表示为：如图14 所示，在 ABC 中， AB BCAC， A B C60(

4、2)推论 2 的证明：ABAC， B CABBC， A C A B C又 A+B+C180，即 3A180， A B C 60知识点 3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)用符号语言表示为：如图16 所示，在 ABC 中， B C， AB AC判定定理的证明：如图16 所示过 A 作 ADBC 于 D，则 ADB ADC 90 B C，AD AD， ABD ACD(AAS) ，ABAC判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等拓展如图 16 所示，在 ABC 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

5、- - - - -第 2 页，共 10 页名师总结优秀知识点(1)如果 ADBC， 1 2，那么 ABAC；(2)如果 ADBC，BDDC，那么 AB AC；(3)如果 1 2，BDDC，那么 AB AC知识点 4 等腰三角形的判定定理的推论推论 1(1)推论 1 的内容：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为： 如图 18 所示， 在 ABC 中， ABAC， A60(或 B60或 C60)，ABAC BC(3)推论 1 的证明：在 ABC 中， AB AC， B C又 A60， B C01802A60ABACBC(或 B60， A180 2B 60 ABACBC或

6、C60， A180 2C60 AB ACBC) 推论 2(1)推论 2 的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图18 所示，在 ABC 中， A B C， ABAC BC(3)推论 2 的证明：在 ABC 中， A B， BCAC(等角对等边 )又 B C， ABAC(等角对等边 ) ABACBC(4)推论 1 和推论 2 的作用：证明一个三角形是等边三角形拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60；(3)根据推论2，证明三个角都相等推论 3(1)推论 3 的内容：在

7、直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师总结优秀知识点(2)用符号语言表示为：如图19 所示，在 RtABC 中， C 90， A30， BC21AB(3)推论 3 的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2 倍知识点 5 反证法先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法拓展反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：(1)假设命

8、题不成立；(2)从假设出发推导出矛盾；(3)否定假设，从而肯定命题的结论规律方法小结1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的2类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习3用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况探究交流想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析有，作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD，如图 12 所示 . , )(),(21, )(公共边角平分线定义已知ADADACAB ABD ACD(SAS). B C(全等三角形的对应角相等) 课堂检测1、如图 1

9、10 所示，在 ABC 中， ABAC， AD32AC，AE32AB求证 BDCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师总结优秀知识点2、如图 1 12 所示，已知点D，E 在 ABC 的边 BC 上， ABAC， ADAE求证 BDCE3、如图 113 所示，已知CAE 是 ABC 的一个外角，1 2，ADBC，求证 ABC 是等腰三角形4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC 的 A等于 30，求其余两角同学们经过片刻

10、的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30和 120 ”王华同学说： “其余两角是 75和 75 ”还有一些同学也提出了不同的看法假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么 ? 5、已知等边三角形ABC 和点 P，设点 P 到 ABC 三边 AB，AC，BC 的距离分别是h1，h2，h3，ABC的高为 h，若点 P 在边 BC 上，如图117(1)所示，此时h30，可得结论：h1+h2+h3h请直接应用上述信息解决下列问题：点 P 在 ABC 内，如图117(2)所示点 P 在 ABC 外，如图 117(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立 ?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，

11、h3与 h 之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师总结优秀知识点体验中考1、已知等腰三角形ABC 的周长为10若设腰长为x，则 x 的取值范围是2、如图 120 所示，在 ABC 和 DEF 中， ABDE，BECF， B 1求证 ACDF (要求：写出证明过程中的重要依据)2 直角三角形知识概览图知识点 1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2a2+b2(c 为斜边长 )勾股定理的作用(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知

12、直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系(3)用于证明平方关系的问题(4)利用勾股定理作出长为n 的线段勾股定理的各种表达形式勾股定理： a2+b2c2（a，b 为直角边长，c 为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（）直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师总结优秀知识点在 RtABC 中， C90， A，B，C 的对边长分别为a，b，c，则 a2c2b2，b2c2a2，c2a2+b2，c22

13、ba，a22bc，b22ac勾股定理的逆定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定(1)首先确定最大边 (如 c)(2)验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系若 c2a2+b2，则 ABC 是直角三角形；若 c2a2+b2，则 ABC 不是直角三角形勾股数(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数或勾股弦数(2)勾股数必须是正整数如3，4，5；5，12，13 等拓展应用勾股定理时， 必须是在同一直角三角形中；

14、应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角知识点 2 互逆命题与互逆定理在两个命题中， 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题拓展每个命题都有逆命题 原命题是真命题， 而它的逆命题不一定是真命题原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师总结优秀知识点如果一个定理的逆命题经过证明是真命题那么它也是一个定理， 这两个定理称

15、为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理拓展每个命题都有逆命题但不是所有的定理都有逆定理. 知识点 3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示定理的作用：判定两个直角三角形全等定理的证明：如图130 所示，已知 RtABC，RtABC，CC90，ABAB，ACAC，求证 RtABCRtABC证明：在 ABC 和ABC中， CC90，BC22ACAB，BC22CABA.ABAB，ACAC，BCBCRtABCRtABC(SSS)知识拓展“HL”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角

16、形不成立判定两个直角三角形全等时， 这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等与一般三角形全等一样， 只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等课堂检测1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师总结优秀知识点2、如图 131 所示，在 RtABC 中， ACB90，AB50，BC30，CDAB 于点 D，求 CD 的长3、 在正方形 ABCD 中， 如图 132 所示，F 为 DC 的中点，E 为 BC

17、 上一点，且 EC41BC，求证 EFA904、试判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形5、如图 1-38 所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得 MAD30，货轮以每小时 20 海里的速度航行， 1 小时后到达 B 处，测得 MBD=45，该货轮到达灯塔M 的正东方向的 D 处时，货轮与灯塔M 的距离是多少 ?(精确到 01 海里，3 1732) 体验中考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师总结优秀知识点1、如图 1-41所示，在 ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求 AD 的长度2、如图 145 所示，在直角梯形 ABCD 中ADBC，ABC90，DEAC 于点 F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AEAC（1）求证 BGFG；（2）若 ADDC2，求 AB 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页