2022年任意角的三角函数-弧度制-同角三角函数的基本关系专题复习讲义 .pdf

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1、学习必备欢迎下载三角函数的概念关键词：角的定义三角函数的定义弧度制同角三角函数的关系 对“角”的认识：1. 角的概念角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。注：我们一般约定以原点和x 的正半轴组成的射线为起始边。我们规定：（1）逆时针旋转得到的角是正角 。（2）顺时针旋转得到的角角负角 。（3）一条射线没有作任何旋转，就把它叫做零角 。做一做：与 300终边相同的角有_ 个，请写出四个与300终边相同的角（要求两个正角，两个负角）_ ,_ ,_ , _ 。理解角的概念应注意：（1）注意分清正角和负角；（2）角具有 无界性 ；意思是说任意角的范围是),(（3）角具

2、有周期性：终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差 3600的整数倍。2. 终边相同的角的表示：启问：与 300终边相同的角如何用一个式子表示？解答：把与 300终边相同的所有角看成一个集合，这个集合可表示为：Zkk,3603000于是我们有：与任意角终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：Zkk,3600例如： 与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答：25；536）3.弧度制（1）定义：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做1 弧度。 1弧度记作 1 rad ；1 弧度 (1rad)57.3. （2） 弧度制与角度制之间的转化，记住核心关系：0180弧度制相

3、比角度制的优点在于： 公式的表达更简洁； 可以省略单位不写，与实数集建立了一一对应关系，可用实数直接表示角的大小。是实数与角的统一。常用角的互化： 弧长公式 ：|lR，扇形面积公式：211|22SlRR角度00300450弧度323243652起始边终边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载例如： 已知扇形AOB的周长是6cm ，该扇形的中心角是1 弧度，求该扇形的面积。（答： 22cm）例： （1）已知扇形的周长为20cm ，面积为9 cm2 , 求扇形圆心角的弧度数；（2）若扇形的圆心角为750，半径

4、为15cm ，求扇形的面积；（3）若扇形的周长为60cm , 那么当它的圆心角为多少时，扇形的面积最大？ 角与角的位置关系的判断（1） 终边相同的角（2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如： 若是第二象限角，则2是第 _象限角：一、三）（ 1）终边与终边共线 (的终边在终边所在直线上) ()kkZ. （ 2）终边与终边关于x轴对称2()kkZ. （ 3）终边与终边关于y轴对称2()kkZ. （ 4）终边与终边关于原点对称2()kkZ. （ 5）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ. 例如：的终边与6的终

5、边关于直线xy对称，则_。（答：Zkk,32） 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。但既有联系，又有区别。定义：设是任意一个角，P( , )x y是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0 x，csc0ryy。三角函数值只与终边的位置有关，而与终边上点P的位置无关。例如： （1）已知角的终边经过点P(5， 12) ，则cossin的值为。?（答：713） ；（2） 设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是_ （答：（ 1，)23） ；（3） 若0|c

6、os|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载（答：负）7.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22sincos1,1tansec,1cotcsc（2）商数关系：sincostan,cotcossin做一做：（1） 已知31sin，求tan,cos的值；（2） 已知21cos，且在第三象限，求tan,sin的值；（3） 已知2tan，且在第二象限，求cos,sin的值。8. 特殊角的三角函数值：304560sin2122costan课

7、堂练习：（1）若220 x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是_ （答：0,4,43） ；（2）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan_ （答：125） ；（3）已知11tantan，则cossincos3sin_；2cossinsin2_ （答：35；513） ；（4）已知a200sin，则160tan等于A 、21aaB、21aaC、aa21D、aa21（答： B） ；课堂练习：1.设分别是第二、三、四象限角，则点)cos,(sinP分别在第 _、_、 _象限 . 规律： 同角的正弦和余弦成平方关系 ； 若与互余，则一个角的余弦等于另一个角的正弦，一个角的正弦等

8、于另一个角的余弦；?同角三角函数的基本关系式的主要作用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载2. 已知1,2( ,cossinmmmxx且， 求xx cossin3若角 的终边在直线y x 上，则coscos1sin1sin22. 4使 tanxxsin1有意义的x 的集合为. 5已知 是第二象限的角，且cos245，则2是第象限的角 . 任意角的三角函数练习题一、选择题1. 设角属于第二象限，且2cos2cos，则2角属于（）A. 第一象限B. 第二象

9、限C. 第三象限D. 第四象限2. 给出下列各函数值：)1000sin(0；)2200cos(0；)10tan(；917tancos107sin. 其中符号为负的有（）A. B. C. D. 3. 02120sin等于（）A. 23B. 23C. 23D. 214. 已知4sin5，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）A . 43B. 34C. 43D. 345若 （54，32） ，则12sincos 等于A.cossinB.sincosC.sincosD.cossin6若 tan13，则 cos2sin cos的值是A.65B.45C. 45D. 65三、解答题精选学习资料 - - -

10、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载1. 已知1tantan，是关于x的方程2230 xkxk的两个实根，且273，求sincos的值 . 2. 设 cosm nmn（mn 0)，求 的其他三角函数值. 3证明 (1) 12sin coscos2 sin21tan1tan(2)tan2sin2tan2sin2任意角的三角函数练习题参考答案一、选择题1. C 22,(),(),2422kkkZkkkZ当2 ,()knnZ时，2在第一象限；当21,()knnZ时，2在第三象限；而coscoscos0222，2在第三象限；2. C

11、00sin( 1000 )sin800；000cos( 2200 )cos( 40 )cos400tan( 10)tan(310)0；77sincossin7171010,sin0,tan01717109tantan993. B 2003sin 120sin1202精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载4. A 43sin4sin,cos,tan55cos35. A 6.D 二、填空题1. 四、三、二当是第二象限角时，sin0,cos0；当是第三象限角时，sin0,cos0；当是第四象限角时，sin0,c

12、os0；2. 1 71 7s i n0 , c o s01 81 8M PO M30 4x|xR 且 x2k， kZ 5三三、解答题1.解：21tan31,2tankk，而273，则1tan2,tank得tan1，则2sincos2，cossin2. 2. 解： mn0， cosmnmn0 是第一象限角或第四象限角. 当是第一象限角时：sin222)()(1cos1nmnmmnnmnmnmnm2)()()(222tanmnnm2cossin当是第四象限角时：sinmnnm2cos12tanmnnm2cossin3. （1）证明：左)sin)(cossin(coscossin2cossin22)

13、sin)(cossin(cos)cos(sin2sincossincoscossincoscossincos(cos 0，分子、分母可同除以cos) 1 tan1 tan右，证毕 . 还可用其他证法. (2)证明：左22cossinsin2 2222coscossinsin222cos)cos1(sin222cossinsintan2sin2右，证毕 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载4. 解：由sincos,xxm得212sincos,xxm即21sincos,2mxx（ 1）233313sincos(sincos )(1sincos )(1)22mmmxxxxxxm（ 2）24244222121sincos12sincos12()22mmmxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页