高考数学一轮复习知识点大全-平面向量.pdf

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1、 - 15 - 高中数学知识点整理 特别提醒：,sin()sin,sincos22ABCABCABC： 锐角三角形sinsincos2ABB sinsinsincoscoscosABCABC. （2）正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R 为三角形外接圆的半径). 注意：正弦定理的一些变式： sinsini a bAB； sin2aiiAR； 2 siniii aRA； 已知三角形两边及一边的对角，求解三角形时，若运用正弦定理， 则务必注意可能有两解. （3）余弦定理：2222222cos,cos2bcaabcbcAAbc等， 解三角形中含有边角混合关系的问题时， 常运用正弦定理、

2、余弦定理实现边角互化. （4） 面积公式：111sin()222aSahabCr abc（其中r为三角形内切圆半径） . （5）大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解、哪些不是. 在三角形中，sinsinABAB，这是“正弦定理+大边对大角”的应用. 14. 致命易错点提示： （1）特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误； （2）大题第一步化简错误（应在化简完后立刻检验） ； （3）已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围. 第五部分 平面向量 1. 向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，叫向量. 向量

3、常用有向线段来表示. - 16 - 高中数学知识点整理 注意向量和数量的区别. （2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的. （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量. (与AB共线的单位向量有两个：ABAB,一个同向，一个反向). （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性. （5）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量, a 的相反向量是a. （6）平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量， 记作：ab，规定零向量和任何向量平行. 提醒：两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念

4、，两个向量平行包含基线平行与重合两种情况, 但两条直线平行不包含两条直线重合. 三点ABC、 、共线ABAC. 2. 向量的表示方法： （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意前为起点，后为终点. （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等. （3） 坐标表示法： 在平面直角坐标系内， 以与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量i，j为基底，则平面内任一向量a可表示为,axiy jx y，称, x y为向量a的坐标，a, x y叫做向量a的坐标表示. 如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 3. 平面向量的基本定理： 如果 e1和 e2是同一平面

5、内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2. 如:（1）若(1,1),ab (1, 1),( 1,2)c ，则c _ （用, a b表示） （答：1322ab）. （2）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD， 则sr 的值是_（答：0）. 4. 实数与向量的积： 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下： - 17 - 高中数学知识点整理 （1）;aa （2）当0时，a的方向与a的方向相同; 当0时，a的方向与a的方向相反; 当0 时，0a，注意：a0. 5. 平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角

6、：对于非零向量a，b，作,OAa OBb， AOB0称为向量a，b的夹角. 当0 时，a，b同向; 当时，a，b反向; 当2时，a，b垂直. （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量 |cosa b叫做a与b的数量积（或内积，或点积） ， 记作：ba，即bacosa b. 规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注意数量积是一个实数，不再是一个向量. 如：已知2a，5b，3ba，则ab等于_.（答：23） 已知非零向量, a b满足abab， 则, a ab 的大小为_. （答：30） （3）b在a上的投影为|cosb，它是一个实数，但不一定大于 0. 如:已知

7、3|a，5|b， 且12ba， 则向量a在b上的投影为_.(答：512) （4）ba的几何意义：数量积ba等于a的模|a与b在a上的投影数量的积. （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： 0baba. 当a，b同向时，baa b，特别地，22|aaaa，2|aa . 当a与b反向时，baa b. 当为锐角时，ba0，且 a b、不同向， - 18 - 高中数学知识点整理 0a b是为锐角的必要非充分条件. 当为钝角时，ba0，且 a b、不反向， 0a b 是为钝角的必要非充分条件. 非零向量a，b夹角的计算公式：|cosbaba. |baba. 如 ：已知)2 ,(a，

8、)2 ,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_.（答：43 或0且13） 6向量的运算： （1）几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行. 向量加法还可利用 “三角形法则” ： 设,ABa BCb， 那么向量AC 叫做a与b的和，即abABBCAC. 向量的减法： 用 “三角形法则” ： 设,ABa ACbabABACCA那么， 由减向量的终点指向被减向量的终点. 注意：此处减向量与被减向量的起点相同. （2）坐标运算：设1122( ,),(,)ax ybxy，则： 向量的加减法运算：12(abxx，12)yy. 实数与向量的积： 1111,ax yxy. 若1122( ,)

9、,(,)A x yB xy，则2121,ABxx yy， 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 平面向量数量积：2121yyxxba. 向量的模：222222|,|axyaaxy. 两点间的距离：若1122,A x yB xy，则222121|ABxxyy. 7. 向量的运算律： （1）交换律：abba， aa ，abba. ( 2 ) 结合律：,abcabc abcabc， - 19 - 高中数学知识点整理 )()()(bababa. （3）分配律：,aaaabab， cbcacba )(. 如:在下列命题中： cabacba)(. cbacba)()(. 2(

10、)ab2|a22| |abb. 若0ba，则0a或0b. 若,a bc b 则ac. 22aa. 2a bbaa. 222()a bab. 222()2abaa bb . 其中正确的是_.（答：） 提醒： （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约). （2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(.(为什么？) 8. 向量平行(共线)的充要条件： /abab22()(|)a ba b1212x yy x0. 如:(

11、1)已知(1,1),(4, )abx，2uab，2vab，且/uv，则 x_.（答：4）. (2)设( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk，则 k_时，A,B,C 三点共线. （答：2 或 11） 9. 向量垂直的充要条件 ： 0| |aba babab 12120 x xy y. 如：已知( 1,2),(3,)OAOBm ，若OAOB，则m .（答：32） 10向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用. （2）| | |ababab， 特别地，当 a b、同向或有0| |abab| |abab. 当 a b、反向或有0| |abab|

12、 |abab. - 20 - 高中数学知识点整理 当 a b、不共线| | |ababab. (这些和实数比较类似) （3）在ABC中， 若112233,A x yB xyC x y，则其重心坐标为123123,33xxxyyyG. 如 ：若ABC的三边的中点坐标分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1）， 则ABC的重心坐标为_.（答：2 4(, )3 3） 1()3PGPAPBPCG 为ABC的重心， 特别地，0PAPBPCP为ABC的重心. PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心. 向量()(0)|ACABABAC的基线经过ABC的内心. （4）P为12PP的中点122MPM

13、PMP. （5）向量 PA PB PC、的终点ABC、 、共线 存在实数、，使得PAPBPC，且1. 如：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知) 1 , 3(A,)3 , 1(B,若点C满足 OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是_. （答：直线AB） 第六部分 数列 1数列的定义：数列是一个定义域为正整数集*N（或它的有限子集n, 3 , 2 , 1）上 的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 2. 一般数列的通项na与前 n 项和nS的关系：)2() 1(11nSSnSannn 3. 等差数列的概念： （1）等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）. （2）等差数列的通项公式：1(1)naand或()nmaanm d. （3）等差数列的前n项和：1()2nnn aaS1(1)2n nnad， 注意nS与中间项的关系. （4）等差中项：若, ,a A b成等差数列，那么 A 叫做a与b的等差中项,2abA. 4等差数列的性质： （1）当公差0d 时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是