2022年线性代数试题及答案2 .pdf

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1、一. 单项选择题（每小题3 分，本题共15 分）1. 如果123123123aaabbbmccc，则123123123222333aaabbbccc =( ). A.6m； B.6m；C.332 3 m； D.332 3 m。2. 设AB、是mn矩 阵 ， 则 ( ) 成 立 . A.R ABR A()()； B. R ABR B()()；C.R ABR AR B()()()； D. R ABR AR B()()()。3. 设A是s n矩 阵 ， 则 齐 次 线 性 方 程 组0Ax有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是 ( ). A.A的 行 向 量 组 线 性 无 关B. A的 列

2、 向 量 组 线 性 无 关C.A的 行 向 量 组 线 性 相 关D. A的 列 向 量 组 线 性 相 关4. 设3523512142abab，则,a b分别等于（） A. 1 2, B. 1 3, C. 3 1, D. 6 2,5. 若1x是方程AXB的解，2x是方程AXO的解， 则（）是方程AXB的解（c为任意常数） . A.12xcx B. 12cxcx C. 12cxcx D. 12cxx二. 填空题（每小题3 分，共 15 分）1. 设A B,均为n阶方阵，且Aa Bb,，则2TA B()= . 2.11101= .3. 若对任意的3 维列向量12123132Txxxx xxAx

3、xx(,) ,，则A=4设140223ab, c与a正交，且bac则=，c= 5. 设向量组1231 0 01 3 01 21TTT( , , ) ,(, , ) ,( , ,) 线性关.三. 计算行列式（ 10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2141312112325062四. （10 分）设12341345141211232231,.aaaa求向量组1234,a aa a的秩和一个最大无关组. 五.（10 分）已知矩阵满足XAB，其中130261011A，120013B，求X.六. （8 分）设方阵A满足

4、220,AAE证明A可逆，并求A的逆矩阵 . 七.(8分）已知向量组123,a aa线性无关，1122baa，2233baa，3134baa，证明向量组123,b b b线性无关 . 八. （12 分）求矩阵110430102A的特征值和对应于特征值的所有特征向量。九. （12 分）取何值时，下列非齐次线性方程组1231231232125541xxxxxxxxx(1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？并在有无穷多解时写出通解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页一、填空题（共 5 小题，每题3 分，共计 15 分

5、）1. 2nab; 2. 11013. 110201A; 4 . 2,( 2,2, 1)Tc; 5. 无关二、选择题（共 5 小题，每题3 分，共计 15 分1. (B); 2. (D) ; 3. (D); 4(C) ; 5. (A). 三、 （10 分）解：2605232112131412260503212213041224cc3 分041203212213041224rr3 分0000003212213041214rr4 分四 （10 分）解：10A，所以 A 可逆，有1XBA，4 分1533211210A3 分1533120111211013421210XBA3 分五. （10 分）解：

6、12341345134514120153(,)1123022222310811112 分13451345134015301530153011100640011081 11 1003300026 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页向量组的秩为 4，1234,为最大无关组。2 分六、 证明：恒等变形22AAE，()2A AEE，3 分1() 2AAEE，所以A可逆，且11()2AAE。3分七、证法一：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式123123201,130 ,014b b ba aaBAK记，3 分设0BX，以B

7、AK代入得()0A Kx，因为矩阵 A 的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知0Kx，3 分又因250K，知方程0Kx只有零解0 x。所以矩阵 B 的列向量组123,b b b 线性无关。4 分证法二：把已知条件合写成123123201,130 ,014b bba a aBAK记，3分因250K，知 K 可逆， 根据上章矩阵性质4 知 R AR B3 分因矩阵 A 的列向量组线性无关，根据定理4 知3R A，从而3R B，再由定理 4 知矩阵 B 的三个列向量组123,b b b 线性无关。4 分八（12 分）解: 2110430(2)(1)102AAE的特征多项式为232,1.A1所

8、以 的特征值为4 分2,(2 )0.AE x1当时 解方程由3101002410 010100000AE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页10 p0 ,1得基础解系1(0)2.k p k1所以是对应于的全部特征向量4 分231.,(1)0.AE x当时 解方程由210101420012 ,101000AE21 p2 ,1得基础解系223(0)1k pk所以是对应于的全部特征 向量。4 分九 （12 分）解：21315121121()1120123554105566rrrrAb325121012300549rr4 分（1） 当45时，()2,(=3R AR Ab），方程组无解；（2）当4,15且时，()(=3=nR AR Ab），方程组有唯一解；（3）当1时，( )(=2n=3R AR Ab），方程组有无穷多个解。4 分原方程组同解于12332133xxxx，12311xxx，通解123111001xxcx， （cR） 。4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页