2022年全等三角形之手拉手模型与半角模型 .pdf

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1、全等三角形之手拉手模型与半角模型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页I 目录1 手拉手模型 . 21.1 定义 . 21.2 任意等腰三角形下的手拉手模型. 31.3 等边三角形下的手拉手模型. 51.4 等腰直角三角形下的手拉手模型. 51.5 例题 . 72 半角模型 . 102.1 定义 . 102.2 半角模型解题思路 . 112.3 半角模型 1（等边三角形内含半角）解题方法. 112.4 半角模型 2（等腰直角三角形内含半角）解题方法. 132.5 半角模型 3（正方形内含半角）解题方法. 142.6 例

2、题 . 15精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页2 1 手拉手模型1.1 定义ABCDE左手2左手 1右手2右手1O手拉手交点手拉手模型如上图所示，手拉手模型是指有公共顶点（ A） 、顶角相等（=BAECAD）的两个等腰三角形（ ABE ，AB=AE ； ACD ，AC=AD ） ，底边端点相互连接形成的全等三角形模型（ ABDAEC） 。因为顶角相连的四条边（腰）可形象地看成两双手，所以通常称为手拉手模型。说明：?左、右手的定义将等腰三角形顶角顶点朝上，正对我们，我们左边为左手，右边为右手。ABE左手右手ADC左手

3、右手?拉手的方式： 左手拉左手，右手拉右手。?构成手拉手模型的3 个条件：1.两个等腰三角形2.有公共顶点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页3 3.顶角相等?全等三角形的构成方式：由“顶点+双方各一只手 ”构成： “顶点+左手 +左手” ， “顶点+右手+右手” 。搞清这一点，有助于我们快速找到全等三角形。?等腰三角形的底边（ BE、CD）不是必须的，可以不连接，所以图中用虚线表示。这就是为什么做题时发现有时并不存在等腰三角形却仍然用手拉手模型的原因。1.2 任意等腰三角形下的手拉手模型下面，将给出一些重要结论，熟

4、悉这些结论有助于我们快速解题。需要强调的是，这些结论不能直接用，需要证明，所以要记住以下每个结论的证明。结论 1：ABDAEC说明：这里的全等三角形的构成方式为“顶点+双方各一只手 ”构成。ABCDE左手 2左手1右手2右手1O手拉手交点P证明： =BADBAEEADEACCADEADBAECADBADEAC（等角 +公共角相等）在 ABD 和 AEC 中+（已知）等腰（已证）等角公共角（已知）等腰ABAEBADEACADACABDAEC（SAS）结论 2：BD=EC （左手拉左手等于右手拉右手）证明： ABDAECBD=EC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

5、 - - - - - -第 4 页，共 16 页4 结论 3： +BOC=180说明： BOC 是手拉手形成的角，我们称O 为“手拉手交点 ” 。ABCDE左手2左手1右手2右手1O手拉手交点P证明： ABDAECADB= ACE 又 APC= OPD（对顶角相等）COD =180 - OPD - ADB（三角形内角和）CAD =180 -APC - ACE （三角形内角和）COD =CAD = +BOC=180结论 4：OA 平分 BOCABCDEO手拉手交点MN证明：如图，连接AO，过点 A 做 AMBD于 M，ANCE于 N ABDAECBD = EC ，S ABDSAEC 1 2BD

6、AM = 1 2EC AN AM =AN（AM、AN 分别是 BD、EC 边上的高，全等三角形的对应边上的对应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页5 中线、角平分线、高线分别相等） OA平分 BOC （角平分线的判定）1.3 等边三角形下的手拉手模型等边三角形是等腰三角的一种特例，自然也有相应的手拉手模型，具有任意等腰三角形下的手拉手模型的结论1结论 4。 但由于等边三角形更特殊， 所有还有新的结论5。左手 2右手2右手1左手 1ACBDE手拉手交点OP=60o=60o图1等边三角形下的手拉手模型结论 1：ABDAE

7、C 略（同 1.2 ） 。结论 2：BD=EC （左手拉左手等于右手拉右手）略（同 1.2 ） 。结论 3： +BOC=180略（同 1.2 ） 。结论 4：OA 平分 BOC略（同 1.2 ） 。结论 5：BOE=COD = =60说明： BOE、COD 是等边三角形底边与“交点”形成的角。证明： +BOC=180BOE=180 -BOC= =60BOE=60COD =BOE= =60 （对顶角相等）1.4 等腰直角三角形下的手拉手模型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页6 同样道理，等腰直角三角形也是等腰三角的一

8、种特例，自然也有相应的手拉手模型，具有任意等腰三角形下的手拉手模型的结论1结论 4。但由于等腰直角三角形更特殊，所有还有新的结论5。A右手1B左手1E手拉手交点OP右手 2D左手2C=90o=90o图2等腰直角三角形下的手拉手模型1 在 1.1 手拉手模型定义一节中指出： “等腰三角形的底边（ BE、CD）不是必须的，可以不连接，所以图中用虚线表示。这就是为什么做题时发现有时并不存在等腰三角形却仍然用手拉手模型的原因”。下图就是这样一种情况（图中正方形ABFE、正方形ACGD） ，称为等腰直角三角形下的手拉手模型2，这个模型考题中也比较常见。A右手1B左手 1E手拉手交点OP右手2D左手2C=

9、90o=90oFG图3等腰直角三角形下的手拉手模型2 结论 1：ABDAEC 略（同 1.2 ） 。结论 2：BD=EC （左手拉左手等于右手拉右手）略（同 1.2 ） 。结论 3： +BOC=180略（同 1.2 ） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页7 结论 4：OA 平分 BOC略（同 1.2 ） 。结论 5：BOE=COD = =90 （等边三角形底边与“交点”形成的角）证明： +BOC=180BOE=180 -BOC= =90BOE=90COD =BOE= =90 （对顶角相等）1.5 例题手拉手模型题

10、型是一种常见的题型，但考试时不会告诉我们是手拉手题型，因此首选需要我们识别出是手拉手模型题型，然后再利用手拉手题型的几个结论进行求解。熟悉手拉手模型的几个结论以及证明方法可以高效解题。例：如图 1， ABC和 CDE为等边三角形ABDCEABDCEFG图 1 图 2（1）求证： BD=AE ；（2）若等边 CDE绕点 C旋转到 BC 、EC在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；（3）旋转到如图 2 位置时，若 F为 BD中点， G为 AE中点，连接 FG ，求证：CFG为等边三角形；FG BC 分析：识别出手拉手模型是解题的关键，而（1）问就是证明“结论2：BD=EC （左手拉左手

11、等于右手拉右手）” ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页8 解答：（1）证明： ABC与 CDE是等边三角形ACE= 60 -ACD ，BCD= 60 -ACD ，AC=BC ，CE=CDACE= BCD在 ACE与 BCD中ACBCACEBCDCECD ACE BCD （SAS ）BD=AE（2）结论仍然成立，证明如下：顺时钟旋转 ABC与 CDE是等边三角形ACE= 60 +ACD ，BCD= 60 +ACD ，AC=BC ，CE=CDACE= BCD在 ACE与 BCD中ACBCACEBCDCECD ACE

12、BCD （SAS ）BD=AE逆时针旋转 ABC与 CDE是等边三角形ACE= 60 ，BCD= 60 ，AC=BC ，CE=CDACE= BCD在 ACE与 BCD中ACBCACEBCDCECD ACE BCD （SAS ）ABCDEABDCEABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页9 BD=AE综上， BD=AE。（3）证明： ACE BCD CBF= CAG ，AE=BD F是 BD中点， G是 AE中点BF=AG ，又 BC=AC 在 ACG与 BCF中ACBCCAGCBFAGBFACG BCF （SA

13、S ）CF=CG ，BCF= ACG=60 CFG= CGF （等边对等角）， FCG= ACG =60 CFG= CGF= 180 - FCG 2= 180 -60 2=60CFG= CGF= ACG =60 CFG是等边三角形证明： CFG= ACB=60FG BC ABDCEFG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页10 2 半角模型2.1 定义把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。以上定义不直观，下面举例说明：半角模型 1：下图中， ABC 是等边

14、三角形， DBC 是等腰三角形， BDC=120 ，EDF=60 。BEDCFA60o图4半角模型 1 半角模型 2：下图中， ABC 是等腰直角三角形， BAC=90 ，DAE=45 。BEDCA45o图5半角模型 2半角模型 3： 下图中，在正方形 ABCD中， E、 F分别是 BC、 CD边上的点，EAF= 45 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页11 BEDCFA45o图6半角模型 3 说明：?同手拉手模型一样，定义时为了描述方便，出现了“等腰三角形”，但事实上，“等腰三角形的底边不是必须的，可以不连接

15、。图6 就是这种情况。?常见的构成半角模型的图形有正三角形（图4） ，等腰直角三角形（图5） ，正方形（图 6） ，这三种我们要熟悉。?解题时要善于识别出半角模型，识别时抓住以下两个特征：1.大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；2.大角的两边相等2.2 半角模型解题思路半角模型解题思路是 构造旋转型全等 ，应用 两次全等 （两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下：Step1：将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；Step2：证明 Step1 中构造的三角形与 原三角形 全等（ SAS ） ；（如

16、果 Step1 中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）Step3：证明 合并形成的新三角形 与原半角形成的三角形 全等（ SAS ） ；Step4：通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题。上面步骤不是很好理解，可以结合下面具体的例子理解。2.3 半角模型 1（等边三角形内含半角）解题方法例：下图中， ABC 是等边三角形， DBC 是等腰三角形， DB=DC，BDC=120 ，EDF=60 。求证： EF=BE+CF 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页12 BEDCFA60oBEDCFA60oG

17、分析：通过条件可知本题是半角模型题，可以运用上面介绍的解题方法做。为了更好地理解思路，题中按步骤分成了几部分。证明：Step1：将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常不是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；如图，延长 FC到 G，使 CG=BE ，连接 DG （记住辅助线的作法）Step2：证明Step1中构造的三角形与原三角形全等（如果Step1中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；DB=DC ，BDC=120 BCD= DBC = 1 2（180 -120 ）=30 ABC是等边三角形ABC= ACB=60 DCG =180 -ACB- B

18、CD=180 -60 -30 =90DBE = ABC+ DBC=60 +30 =90DCG = DBE 在 CDG和 BDE CDBDDCGDBECGBECDG BDE （SAS ）Step3：证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等；DG=DE ，CG=BE ，CDG = BDE GDF = CDG+ CDF= BDE+ CDF= BDC- EDF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页13 BDC=120 ，EDF=60 GDF =120 -60 =60EDF= GDF=60 在 DEF和 DGF DED

19、GEDFGDFDFDFDEF DGF （SAS ）Step4：通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题。EF=GF GF=FC+CG（共线的线段关系）EF =FC+ BE（等量代换）即 EF = BE+CF（变成问题形式）2.4 半角模型 2（等腰直角三角形内含半角）解题方法例：下图中， ABC是等腰直角三角形， BAC=90 ，DAE=45 。求证： DE2=BD2+CE2。BEDCA45oBEDCA45oF分析：通过条件可知本题是半角模型题，可以运用上面介绍的解题方法做。为了更好地理解思路，题中按步骤分成了几部分。证明：Step1：将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角

20、形（但要注意解题时通常不是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；如图，将 ABD绕点 A 逆时针旋转得到 ACF ，连接 EF 。Step2：证明Step1中构造的三角形与原三角形全等（如果Step1中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；(本题没有这一步)Step3：证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页14 BAC=90 ，DAE=45 ，BAD +EAC = 90-45=45 ACF由 ABD旋转得到CAF= BAD ，AF=AD，CF =BD FA

21、E= CAF +EAC = 45 DAE=EAF在A DE和 AFE AEAEDAEFAEADAFADE AFE （SAS ）Step4：通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题。DE=FE ECF= BCA +ACF = 45+45=90EF2=CF2+CE2DE2=BD2+CE2（等量代换）2.5 半角模型 3（正方形内含半角）解题方法例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是 BC 、CD边上的点， EAF=45 ，求证： EF=BE+DF 。BEDCFA45oB EDCFA45oG123分析：通过条件可知本题是半角模型题，可以运用上面介绍的解题方法做。为了更好地理解思路，题中

22、按步骤分成了几部分。证明：Step1：将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常不是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页15 如图，延长 CB到 G，使 GB=DF ，连接 AG。Step2：证明Step1中构造的三角形与原三角形全等（如果Step1中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；在 ABG和 ADF中90ABADABGDGBDF ABG ADF （SAS ）Step3：证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等；3=2，A

23、G=AF BAD=90 ，EAF=45 1+2=45GAE= 1+3=45 =EAF 在 AGE和 AFE AEAEGAEEAFAGAF AGE AFE （SAS ）GE=EF Step4：通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题。GE=GB+BE EF =DF+BE 2.6 例题半角模型题型是一种常见的题型，但考试时不会告诉我们是半角题型，因此首选需要我们识别出是半角模型题型，然后再利用半角题型的解题思路进行求解。熟悉半角模型的解题思路可以高效解题。详见 2.3 半角模型 1 （等边三角形内含半角）解题方法、2.4 半角模型 2（等腰直角三角形内含半角）解题方法、2.5 半角模型 3（正方形内含半角）解题方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页