2022年勾股定理经典例题 .pdf

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1、优秀资料欢迎下载！勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中， C=90(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】 :如图 B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ? 类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求：BC 的长. 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这

2、种草皮至少需要（） A、450a 元B、225a 元C、150a 元D、300a 元举一反三【变式 1】如图，已知：，于 P. 求证：. 【变式 2】已知：如图， B=D=90， A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。15020m 30m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀资料欢迎下载！类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60方向走了到达 B点，然后再沿北偏西30方向走了 500m 到达目的地 C 点。

3、（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为 4cm，是上底面的直径 一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页优秀资料欢迎下载！类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。作法：如图所示举一反三【变式】在数轴上

4、表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚 （正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）7、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足

5、a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中， B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页优秀资料欢迎下载！【变式 2】已知 :ABC 的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数 ,且 mn),判断 ABC 是否为直角三角形 . 【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且 BF=AB。请问 FE 与 DE 是否垂直 ?请说明。【答

6、案】答： DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。练习一、判断直角三角形问题：1、. 满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2a2 B.abc=345 C.C=AB D.ABC=121315 2、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是A.42 B.52 C.7 D.52或 7 3、如果 ABC

7、的三边分别为 m21，2 m，m2+1(m 1) 那么A.ABC 是直角三角形，且斜边长为m2+1 B.ABC是直角三角形，且斜边长2 为 mC.ABC 是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定 D.ABC不是直角三角形4、已知 RtABC中， C=90 ，若 a+b=14cm ，c=10cm ，则 RtABC的面积是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D 、60cm25、 下面几组数 : 7,8,9; 12,9,15; m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均为正整数 ,mn); 2a,12a,22a.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.;B. ;C. ;D. 6、

8、三角形的三边长为abcba2)(22, 则这个三角形是 ( ) A. 等边三角形 ; B. 钝角三角形 ; C. 直角三角形 ; D. 锐角三角形 . 7、已知0)10(862zyx , 则由此zyx,为三边的三角形是三角形 . 9、已知 a，b，c 为ABC三边，且满足 a2+b2+c2+338=10 a+24b+26c. 试判断 ABC的形状. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页优秀资料欢迎下载！10、若 ABC的三边长为 a, b, c，根据下列条件判断 ABC的形状 . （1）a2+b2+c2+200=12a

9、+16b+20c (2) a3a2b+ab2ac2+bc2b3=0 11、已知， ABC中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC边上的中线 AD=15cm ，试说明 ABC是等腰三角形。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求 n。总结升华：注意直角三角形中

10、两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀资料欢迎下载！角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN30，点 A 处有一所中学， AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，

11、学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 _ 步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花草。【答案】 4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图

12、中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。类型三：数学思想方法方程的思想方法4、如图所示，已知 ABC 中，C=90，A=60，求、 的值。思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀资料欢迎下载！CBADE解：在 RtABC 中， A=60， B=90-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩

13、形的一边AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。解：因为 ADE 与AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF，DE=EF。因为四边形 ABCD 是矩形，所以 B=C=90，在 RtABF 中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。 所以。设，则。在 RtECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。三、折叠问题1、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B与点 D重合，折痕为 EF ，则ABE的面积为（） A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm22、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边 AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上, 且与 AE重合, 你能求出 CD的长吗？3、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点 D落在 BC边的点 F 处，已知 AB = 8cm，BC = 10 cm，求 EC的长A B E F D C 第 11题图ABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页