2022年解三角形经典例题及解答 .pdf

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1、1 正弦、余弦定理知识回忆：1、直角三角形中，角与边的等式关系：在RtABC中，设 BC =a，AC =b，AB =c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，从而在直角三角形 ABC中，sinsinsinabcABC2、 当ABC是锐角三角形时， 设边 AB上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有 CD =sinsinaBbA，则sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，从而sinsinabABsincC3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinsinabABsincC4、理解定理1正弦定理说明同一三角形中，边与

2、其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sinakA，sinckC；2sinsinabABsincC等价于，sinsincbCB，sinaAsincC3正弦定理的基本作用为： 已 知 三 角 形 的 任 意 两 角 及 其 一 边 可 以 求 其 他 边 ， 如sinsinbAaB；b已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb；sinC4 一般地，已知三角形的某些边和角， 求其它的边和角的过程叫作解三角形 5、知识拓展sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径 . 6、勾股定理：7、余弦定理：三角形中平方等于减去的两倍，即2

3、a；2b；2c。8、余弦定理的推论：Acos；Bcos；Ccos。9、在，反之成立；则中，若,222cbaABC，反之成立；则中，若,222cbaABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 ，反之成立；则中，若,222cbaABC典型例题：例 1、在ABC中，已知45A，60B，42acm ，解三角形例 2、1在 ABC中，已知a=2, b=2, c=3 1求 cosB. 2在 ABC中，已知a=3 3, c=2 、B=1500求 b. 3在 ABC中，已知a=8, b=4 2、B=300求 c.例 3、在CAac

4、BbABC, 1,60,30和求中，解：21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,60,BCCBCBcb为锐角，222cba例 4、CBbaAcABC,2,45,60和求中，解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,

5、 13CBb00120,15, 13CBb例5、 在ABC 中，求证：)coscos(aAbBcabba证明：将acbcaB2cos222，bcacbA2cos222代入右边得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab22abababba左边，)coscos(aAbBcabba例6、 在锐角 ABC 中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin证明： ABC 是锐角三角形，,2AB即022ABsinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCACBACBAcoscoscossinsinsin例7、 在ABC 中，求证：2co

6、s2cos2cos4sinsinsinCBACBA。证明：sinsinsin2sincossin()22ABABABCAB2sincos2sincos2222ABABABAB2sin(coscos)222ABABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA例8、 在ABC 中，假设0120BA，则求证：1cabcba。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 证明：要证1cabcba，只要证2221aacbbcabbcacc，即222ab

7、cab而0120 ,AB060C2222220cos,2cos602abcCabcababab原式成立。例 9、在ABC中，假设223coscos222CAbac，则求证：2acb证明：223coscos222CAbac1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCABsinsinsin()3sinACACB即sinsin2sinACB，2acb例 10、在ABC中，假设)sin()()sin()(2222BAbaBAba，请判断三角形的形状。解：22222222sin()sincossin,sin()cossinsinabABaA

8、BAabABbABBcossin,sin 2sin2 ,222cossinBAABABABAB或2等腰或直角三角形例 11、中，abc、 、分别为内角ABC、 、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC求A的大小；假设sinsin1BC，试判断ABC的形状 . 解： 由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 由得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sin

9、sinCB，得21sinsinCB因为900 ,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。例12、 在 ABC 内接于半径为R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求ABC 的面积的最大值。解： 2sinsin2sinsin( 2)sin,RAARCCabB222sinsin( 2)sin,2,aAcCabB acabb222222022,cos,4522abcabcabCCab2222 ,2sin2 ,22,sincR cRCR abRabC22222222,22RRababab ab21222sin,24422RSabCab2max212RS例13、 ABC的三边c

10、ba且2,2CAbca，求:a b c解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB3,24242BBACACB AC33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB:sin:sin:sina b cABC)77(:7:)77(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 例 14、C中，BC= a, AC=b, a, b 是

11、方程02322xx的两个根，且2cos(A+B)=1 求1角 C的度数2AB的长度3ABC 的面积解： 1cosC=cos(A+B)=cos(A+B)=21C=1202由题设：232babaAB2=AC2+BC22AC ?BC ?osC120cos222abbaabba22102)32()(22abba即 AB= 103SABC=2323221120sin21sin21abCab课后小结：1. 正弦定理：sinsinabABsincC2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有 等积法，外接圆法，向量法. 3应用正弦定理解三角形：已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角课后练习：一、选择题1

12、在 ABC 中，假设0030,6,90BaC，则bc等于A1 B 1 C 32 D 322假设A为ABC 的内角，则以下函数中一定取正值的是AAsin BAcosCAtan DAtan13在 ABC 中，角,A B均为锐角，且,sincosBA则ABC 的形状是A直角三角形 B锐角三角形 C 钝角三角形 D等腰三角形4等腰三角形一腰上的高是3 ，这条高与底边的夹角为060，则底边长为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 A2 B 23 C 3 D 325在ABC中，假设Babsin2，则A等于A006030 或 B

13、006045 或 C 0060120 或 D 0015030 或6边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 A 090 B0120C0135 D 0150二、填空题1在RtABC中，090C，则BAsinsin的最大值是 _ 。2在 ABC 中，假设Acbcba则,222_。3在 ABC 中，假设aCBb则,135,30, 200_。4在 ABC 中，假设sin Asin Bsin C7813，则C_ 。5在 ABC 中，,26AB030C，则ACBC的最大值是 _。三、解答题15在 ABC 中，已知2b，c=1，45B，求 a，A，C16在 ABC 中，a+b=1，A=600，B=45

14、0，求 a，b 17. 在ABC 中，12 3ABCS，48ac，2ac，求 b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 18. 如图，在四边形 ABCD 中，AC平分 DAB ，ABC=600，AC=7 ，AD=6 ， SADC=2315，求 AB的长. 19、BC中，AB 5，AC 3，D为 BC中点，且 AD 4，求 BC边长解：设 BC边为，则由 D为 BC中点，可得 BD DC 2x，在ADB 中，cosADB ,2425)2(42222222xxBDADABBDAD在ADC中，cosADC.2423)2

15、(42222222xxDCADACDCAD又ADB ADC 180cosADB cos180 ADC cosADC2423)2(42425)2(4222222xxxx解得， 2, 所以， BC边长为 2一、选择题1.C 00tan30 ,tan302 3,24 4,2 3bbacbcba6002 1 D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 2.A 0,sin0AA3.C cossin()sin,22AABA B都是锐角，则,222AB ABC4.D 作出图形5.D 012 sin,sin2sinsin

16、,sin,302baBBABAA或01506.B 设中间角为，则22200005871cos,60 ,1806012025 82为所求二、填空题1.1211sinsinsincossin 222ABAAA2.012022201cos,12022bcaAAbc3.2600sin6215 ,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB4. 0120ab csin Asin BsinC7813，令7 ,8 ,13ak bk ck22201cos,12022abcCCab5. 4,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBACACBC2(62)(sinsin

17、)4(62)sincos22ABABABmax4cos4,()42ABACBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 第二讲正弦、余弦定理的应用例 1、在某点 B处测得建筑物 AE的顶端 A的仰角为，沿 BE方向前进 30m ，至点 C处测得顶端 A的仰角为 2，再继续前进 103m至 D点，测得顶端 A的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。解法一： 用正弦定理求解由已知可得在ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=103，ADC =180 -4，2sin310=)4180sin(30。因为 sin4=2

18、sin2cos2cos2=23, 得 2=30=15 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 在 RtADE 中，AE=ADsin60 =15 答：所求角为 15 ，建筑物高度为 15m 解法二： 设方程来求解设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(103+ x)2 + h2=302在 RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得 x=53,h=15 在 RtACE中,tan2=xh310=332=30 ,=15答：所求角为 15 ，建筑物高度为 15m 解法三： 用倍角公式求解设建筑物高为AE=8

19、，由题意，得BAC= ，CAD=2 ，AC = BC =30m , AD = CD =103m 在 RtACE 中，sin2=30 x在 RtADE 中，sin4=3104, 得 cos2=23,2=30 ,=15 ，AE=ADsin60 =15 答：所求角为 15 ，建筑物高度为 15m 例 2、某巡逻艇在 A处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以 10 海里/ 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 海里/小时的速度沿着直线方向追去， 问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

20、归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过 x 小时后在 B处追上走私船，则CB=10 x, AB=14x,AC=9, ACB=75+45=120(14x) 2= 92+ (10 x) 2 -29 10 xcos120化简得 32x2-30 x-27=0 ，即 x=23, 或 x=-169( 舍去) 所以 BC = 10 x =15,AB =14x =21, 又因为 sinBAC =ABBC120sin=211523=1435BAC =3831, 或BAC =14174钝角不合题意，舍去 ，3831+45=8331答：巡逻艇应该沿北偏

21、东8331方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船 . 例 3、 07宁夏，海南如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D现测得BCDBDCCDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB解：在BCD中，CBD由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD在ABC中tansintansin()sABBCACB例 4、 08 湖南在一个特定时段内，以点E为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 . 点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东45且与点 A相距

22、 402 海里的位置 B，经过 40分钟又测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 得该船已行驶到点A 北偏东45+( 其中 sin=2626，090) 且与点 A 相距 10 13 海里的位置C. I 求该船的行驶速度单位：海里/ 小时 ; II 假设该船不改变航行方向继续行驶. 判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解: I 如图， AB =40 2 ，AC=10 13，26,sin.26BAC由于090, 所以 cos=2265 261().2626由余弦定理得 BC=222cos10 5.ABACAB

23、AC所以船的行驶速度为10 515 523海里 / 小时 . II 解法一如下图，以 A为原点建立平面直角坐标系，设点 B、C的坐标分别是 B x1，y2, C x1，y2, BC与 x 轴的交点为 D.由题设有， x1=y1=22AB=40, x2=AC cos10 13cos(45)30CAD, y2=AC sin10 13sin(45)20.CAD所以过点B、C的直线l的斜率k=20210, 直线 l 的方程为 y=2x-40. 又点 E0，-55到直线 l 的距离 d=|05540|3 57.14所以船会进入警戒水域 . 解法二 : 如下图，设直线AE与 BC的延长线相交于点Q . 在

24、ABC 中，由余弦定理得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 222cos2ABBCACABCAB BC=2224021051013240 210 5=3 1010. 从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中，由正弦定理得，AQ=1040 2sin1040.sin(45)22 10210ABABCABC由于 AE =5540= AQ ，所以点 Q位于点 A和点 E之间，且 QE=AE-AQ=15. 过点 E作 EP BC于点 P，则 EP为点 E到直线 BC的距离 .在 RtQPE中，PE

25、 =QE sinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC=5153 57.5所以船会进入警戒水域 . 课后练习：1、 07山东如图 , 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行 , 当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105的方向1B2A处时, 乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处, 此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页15 解：如图，连结12A B，2210 2A B，122030 210260A

26、 A，122A A B 是等边三角形，1121056045B A B，在121AB B 中，由余弦定理得2221211121112222cos45220(10 2)220 10 22002B BA BA BA BA B，1210 2.B B因此乙船的速度的大小为10 260302.20答：乙船每小时航行 30 2 海里. 2、某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A 点处钓鱼。从 C点处测得 A的俯角为 45o； 同一时刻，从 A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离结果保留整数。3、人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，

27、发现在其所处位置O点的正北方向 10 海里处的 A点有一涉嫌走私船只正以24 海里/ 小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26 海里/ 小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问1需要几小时才能追上？点B为追上时的位置2确定巡逻艇的追赶方向精确到01 . 如图 4解：在中，Rt ABCBCAB tan45在中，Rt ABGBGAB tan60ABABtantan60458AB443AC424 6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页16 图 4 参考数据：sin.cos.sin.

28、cos.sin.cos.sin.cos.6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322，分析： 1由图可知ABO是直角三角形，于是由勾股定理可求。2利用三角函数的概念即求。解：设需要 t 小时才能追上。则ABtOBt2426，1在Rt AOB中，OBOAAB222，()()261024222tt则t1负值舍去故需要1 小时才能追上。2在Rt AOB中sin.AOBABOBtt24260 9231AOB67 4 .即巡逻艇沿北偏东67 4 .方向追赶。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页