2022届湖南省八校高三第一次联考数学试题.pdf

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1、 1 2022 届高三第一次联考数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 只有一项是符合题目 要求的. 1.“ 0 3 ” 是 “ 0 sin |, 则 ( + ) ( ) 4.已知函数 = () 的图象与函数 = 2 的图象关于直线 = 对称, () 为奇函数, 且当 0 时, () = () , 则 (8)=( )A. 5 B. 6 C. 5 D. 6 5.如图,抛物线 :2= 4 的焦点为 , 直线 与 相交于 , 两点, 与 轴相交于 点. 已知 | =7,| = 3, 记 的面积为 1, 的面积为 2, 则( ) A. 1= 22 B. 21= 3

2、2 C. 1= 32 D. 31= 42 6.已知 3tan20+ cos70= 3, 则 的值为( )A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 7.如图,已知四棱柱 1111 的底面为平行四边形, , 分 别为棱 1,1,11 的中点, 则( ) A. 直线 1 与平面 平行, 直线 1 与平面 相交 B. 直线 1 与平面 相交, 直线 1 与平面 平行 C. 直线 1、1 都与平面 平行 D. 直线 1、1 都与平面 相交 8.设 , 都为正数, e 为自然对数的底数, 若 e+1+ e B. e+1 C. D. 0, 0,| 0, 0) 的左、右焦点分别为 1,2, 点 在 的右支

3、上, 且不与 的顶点重合, 则下列命题中正确的是( ) A. 若 = 3, = 2, 则 的两条渐近线的方程是 = 32 B. 若点 的坐标为 (2,42), 则 的离心率大于 3 3 C. 若 1 2, 则 12 的面积等于 2 D. 若 为等轴双曲线, 且 |1| = 2|2|, 则 cos12=35 12. 在矩形 中, = 2, = 23, 沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 , 若 cos =13, 则( ) A. 四面体 外接球的表面积为 16 B. 点 与点 之间的距离为 23 C. 四面体 的体积为 423 D. 异面直线 与 所成的角为 45 三、 填空题: 本题共 4

4、 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设函数 () = e1+ 3 的图象在点 (1,(1) 处的切线为 , 则直线 在 轴上的截距为_ 14.已知 ( 2) 的展开式中第 3 项为常数项, 则这个展开式中各项系数的绝对值之和为 _ (用数字作答) 15.数列 :1,1,2,3,5,8,13,21,34, 称为斐波那契数列 (Fibonacci sequence), 该数列是由 十三世纪意大利数学家莱昂纳多斐波那契 (Leonardo Fibonacci) 以兔子繁殖为例子而引人, 故又称为 “兔子数列”. 在数学上, 斐波那契数列可表述为 1= 2= 1,= 1+ 2( 3 ， ).

5、 设该数列的前 项和为 , 记 2023= , 则 2021= _(用 表示) 16.在平面直角坐标系中, 若正方形的四条边所在的直线分别经过点 (1,0),(2,0),(4,0), (8,0), 则这个正方形的面积可能为 _或_(每条横线上只填写一个可能结果) 四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 () = 3sin2cos2 cos22+12. (1) 设 () = (), 求函数 () 的单调递减区间; (2)设 的内角 , 所对的边分别为 , 为 边的中点, 若 () =12, = 3, 求

6、线段 的长的取值范围。 18.（本小题满分 12 分） 设等差数列 的前 项和为 , 已知 1= 3,3= 51. (1) 求数列 的通项公式; (2) 设 = 1+2, 数列 的前 项和为 . 定义 为不超过 的最大整数, 例如 0.3 = 0,1.5 = 1. 当 1 + 2 + + = 63 时,求 的值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱雉 的底面是正方形,平面 平面 , = , 为 的中点. 4 (1) 若 = 60, 证明: ; (2) 求直线 与平面 所成角的余弦值的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 :22+22= 1( 0), 圆 :( 2)2+

7、( 4)2= 1( 0), 点 1,2 分别为 的左、右焦点, 点 为圆心, 为原点, 线段 的垂直平分线为 . 已知 的离心率为 12, 点 1,2 关于直线 的对称点都在圆 上.(1) 求椭圆 的方程; (2) 设直线 与粗圆 相交于 , 两点, 问: 是否存在实数 , 使直线 与 的斜率之和 为 23 ? 若存在, 求实数 的值; 若不存在, 说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 元旦将至,学校文学社拟举办“品诗词雅韵, 看俊采星驰”的古诗词挑战赛. 初赛阶段有个人 晋级赛和团体对决赛. 个人晋级赛为 “信息连线” 题, 每位参赛者只有一次挑战机会. 比赛规 则为: 电脑随机给出

8、错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景 (如诗词题名、诗词作者 等), 要求参赛者将它们一一配对,有三对或三对以上配对正确即可晋级. 团体对决赛为 “诗 词问答”题, 为了比赛的广泛性, 要求以班级为单位, 各班级团队的参赛人数不少于 30 人, 且 参赛人数为偶数. 为了避免答题先后的干扰, 当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后, 电 脑会依次显示各人的答题是否正确, 并按比赛规则裁定该班级才队是否挑战成功. 参赛方式 有如下两种,各班可自主选择其中之一参赛。 方式一: 将班级团队选派的 2 个人平均分成 组, 每组 2 人. 电脑随机分配给同一组两个人 一道相同试题,两人同时独立答题,

9、若这两人中至少有一人回答正确, 则该小组间关成功. 若 这 个小组都鸠关成功, 则该班级团队挑战成功. 方式二: 将班级团队选派的 2 个人平均分成 2 组, 每组 人. 电脑随机分配给同一组 个人 一道相同试题, 各人同时独立答题, 若这 个人都回答正确, 则该小组间关成功. 若这 2 个小 组至少有一个小组间关成功, 则该班级团队挑战成功. (1)甲同学参加个人晋级赛, 他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对, 其余四组 都只能随机配对,求甲同学能晋级的概率; (2) 在团体对决赛中, 假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 (0 1), 为使本班团队挑战成功的可能性更大, 应选择哪种参赛方式? 说明你的理由. 5 22.( 本小题满分 12 分) 已知函数 () = ln sin + , 其中 为非零常数. (1) 若函数 () 在 (0,+) 上单调递增, 求 的取值范围; (2)设 (,32), 且 cos = 1 + sin , 证明: 当 2sin 0 时, 函数 () 在 (0,2) 上恰 有两个极值点.