2021考研数学一真题试卷(Word版).pdf

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1、2021 年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题一、选择题（1-10 小题，每小题 5 分，共 50 分）ex1，x 0(1)函数f(x) x，在x 0处（）1，x 0(A)连续且取得极大值(B)连续且取得极小值(C)可导且导数等于零(D)可导且导数不为零(2)设函数f(x,y)可微，且f(x1,e ) x(x1)，f(x,x) 2xlnx，则df(11)，=( )(A)dxdy(B)dxdy(C)dy(D)dy(3)设函数f(x) x222sinx23在x 0处的 3 次泰勒多项式为axbxcx，则( )21x77(A)a1，b 0，c (B)a1，b 0，c6677(C)a 1，b 1，c

2、 (D)a 1，b 1，c66(4)设函数f(x)在区间0， 1上连续，则(A)lim10f(x)dx( )nk12nnn2k112k1 1)f()(B)limf(n2nn2n2nk12nk1 1k2f()(D)limf()n2n n2nnk1(C)limnk1222(5)二次型f(x1,x2,x3) (x1x2) (x2x3) (x3x1)的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A)2,0 (B)1,1 (C)2,1 (D)1,2113 (6)已知 10， 22， 31， 记 1 1， 2 2k 1， 3 3l1 1l2 2，112 若 1, 2, 3两两相交，则l1,l2依次为( )(A)，

3、(B)，(C)，5 12 25 12 252151(D)，222(7)设A A,B B为n阶实矩阵，下列不成立的是( )(A)rA AO OA AABAB(B) 2r(A A)r 2r(A A)TTO OA A A AO OA A第 1 页 共 4 页(C)rA ABABAA AO O(D) 2r(A A)r 2r(A A)TTO OAAAABABAA A(8)设A,B为随机事件，且0 P(B) 1，下列为假命题的是( )(A)若P(A| B) P(A)，则P(A| B) P(A)(B)若P(A| B) P(A)，则P(A| B) P(A)(C)若P(A| B) P(A| B)，则P(A| B

4、) P(A)(D)若P(A| AB) P(A| AB)，则P(A) P(B)2(X2,Y2)， ， (Xn,Yn)为来自总体N(1,2;12,2;)的简单随机样本，令(9)设(X1,Y1)，1n1n X Y，则( )12，X Xi，Y Yi，ni1ni1是的无偏估计，D() (A)2122n不是的无偏估计，D() (B)2122n2122212(C)是的无偏估计，D() n2122212不是的无偏估计，D() (D)(10)设X1, X2,n, X16是来自总体N(， 4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0:10;H1:10(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W X 11，其

5、中116X Xi，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为( )16i1(A)1(0.5)(B)1(1)(C)1(1.5)(D)1(2)二、填空题（11-16 小题，每小题 5 分，共 30 分）(11)0dx _.2x 2x2第 2 页 共 4 页td2yx 2e t1，(12)设函数yy(x)由参数方程确定，则2t2dxy 4(t1)e t2t0 _.(13)欧拉方程x yxy4y 0满足条件y(1) 1，y(1) 2的解为y _.0 z 2表面的外侧，则曲 面积分(14)设为 空间区域(x，y，z)|x4y 4，22xdydzydzdxzdxdy _.22(15)设A A a(ij)为

6、3 阶矩阵，Aij为代数余子式，若A A的每行元素之和均为 2，且| A A| 3，则A11A21A31 _.(16)甲、乙两个盒子中有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球， 令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则X与Y的相关系数为_.三、解答题（70 分）1etdt10).17.（本题满分 10 分）求极限lim(x0ex1sinx18.（本题满分 12 分）设un(x) e和函数.nxxn1(n1， 2， )，求级数un(x)的收敛域及n(n1)n1x2x22y2z 619.（本题满分 12 分）已知曲线C:，求C上的点到xOy坐

7、标面距离的最4x2yz30大值.第 3 页 共 4 页20.（本题满分 12 分）设DR2是有界单连通闭区域，I(D) 最大值的积分区域记为D1(1)求I(D1)的值；(2)计算界.22(4xy)dxdy取得DD1(xex24y2y)dx(4yexx24y224y2x)dy，其中D1是D1的正向边a11a121.（本题满分 12 分）已知A A 111aT(1)求正交矩阵P P，使得P P APAP为对角矩阵；(2)求正定矩阵C C，使得C C (a3)E E A A.222. （本题满分12分） 在区间(0，将该区间分成两段， 较短一段长度记为X，2)上随机取一点，较长一段的长度记为Y，令ZYXX).Y(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度；(3)求E(第 4 页 共 4 页