2022年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 3.pdf

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1、2008 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14 空间向量与立体几何）一、选择题：1(2008 全国卷理 )已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（C ）A13B23C33D231.解： C由题意知三棱锥1AABC为正四面体，设棱长为a，则13ABa，棱柱的高22221236()323AOaAOaaa（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为1123AOAB. 另解：设1,AB AC AAuu u r uuu r uuu r为空间向量的一组基底，1,AB AC AA

2、u uu r u uu r uuu r的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OAAAABACuu uru uu ruuu ruuu r,11ABABAAuuuru uu ruu ur2111126,333OAABaOAABuu ur uu uruuu ruuur则1AB与底面ABC所成角的正弦值为111123OA ABAO ABuuu u r u uuruuur uuur. 二、填空题：1(2008 全国卷理 )等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为33，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于611.答案：16

3、.设2AB，作COABDE面，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角3,cos1CHOHCHCHO，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则3ANEMCH11(),22ANACABEMACAEuu u ruu u ruuu ruuuu ruu u ruuu r, 11() ()22AN EMABACACAEuu u r uu uu ruu u ruuu ruuu r12故EMAN，所成角的余弦值16AN EMAN EMu uu r uuuu ruuu r uu uu r另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点( 1, 1,0),(1, 1,0),

4、( 1,1,0),(0,0,2)ABEC, 112112(,),(,)222222MN, 则3 121321(,),(,),32 222222ANEMAN EMANEMuuu ruuuu ruuu r uuuu ruu u ruuu u r, zyHoMBDECNAx1 题图（ 2）HoMBDECNA1 题图（ 1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页MABDCOQMABDCOPxyzMABDCOP故EMAN，所成角的余弦值16AN EMAN EMu uu r uuuu ruuu r uu uu r. 三、解答题：1

5、 （2008 安徽文） 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的 菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点。（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。1方法一（综合法）（1）CDQ AB,MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作,APCDP于连接MP平面ABCD，OACDMP2,42ADP DP=222MDMAAD，1cos,23DPMDPMDCMDPMD所以AB与MD所成角的大小为3（）AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作AQOP于点 Q，,APCD OACDCD

6、OAP平面,AQOAPAQCD平面又,AQOPAQOCD平面, 线段 AQ 的长就是点A 到平面 OCD 的距离2222213 24122OPODDPOAADDP，22APDP22223322OA APAQOPgg，所以点B 到平面 OCD 的距离为23方法二 (向量法 )作APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0, 0,1)222ABPDOM, (1)设AB与MD所成的角为, 22(1,0,0),(, 1)22ABMDuuu ruuu u r1cos,23AB

7、MDABMDuuu r uu u u rguuu ruuu u r,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页QENMABDCOP AB与MD所成角的大小为3(2)222(0, 2),(, 2)222OPODu uu ruuu r设平面 OCD 的法向量为( , )nx y z,则0,0n OPn ODuuu ruuu rgg即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则d为OBuuu r在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值, (1,0, 2)OBuu u r, 23

8、OB ndnuuu r. 所以点 B 到平面 OCD 的距离为232 （ 2008 安徽理） 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点。（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。2 方法一（综合法）（1）取 OB 中点 E，连接 ME ，NE MECDMECDQ， AB,AB又,NEOCMNEOCDQ平面平面MNOCD平面（2）CDQ AB,MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角 ）作,APCDP于连接MP平面ABCD， OA CD

9、MP2,42ADPDP=222MDMAAD，1cos,23DPMDPMDCMDPMD所以AB与MD所成角的大小为3（3）AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接OP,过点 A 作AQOP于点 Q，,APCD OACDCDOAPAQCD平面又,AQOPAQOCD平面,线段 AQ 的长就是点A 到平面 OCD 的距离NMABDCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页xyzNMABDCOP2222213 24122OPODDPOAADDP，22APDP222233 22OA APAQOPgg，所以

10、点B 到平面 OCD 的距离为23方法二 (向量法 ) 作APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN, (1)22222(1, 1),(0,2),(, 2)44222MNOPODuuu u ruuu ruuu r设平面 OCD 的法向量为( , , )nx y z,则0,0n OPn ODu uu ruuu rgg即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n22(1, 1) (0,4,2)044MN

11、nuu uu rggMNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(, 1)22ABMDuuu ruuu u r1cos,23AB MDABMDuuu r uu u u rguuu ruuu u r,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为d,则d为OBuuu r在向量(0, 4,2)n上的投影的绝对值, 由(1,0, 2)OBuu u r, 得23OB ndnu uu r.所以点 B 到平面 OCD 的距离为233 （ 2008 北京文） 如图，在三棱锥P-ABC 中， AC=BC=2， ACB=90， AP=BP=AB，PCAC. （）求证：PC

12、AB；（）求二面角B-AP-C 的大小 . 3解法一：（）取 AB 中点 D，连结 PD，CD. AP=BP，PDAB. AC=BC. CDAB. PDCDD. AB平面 PCD. PC平面 PCD，PCAB. （） AC=BC,AP=BP, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页 APC BPC. 又 PCAC，PCBC. 又 ACB90，即 ACBC，且 ACPC=C，ABBP，BEAP. EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，CEAP. BEC 是二面角B-AP-C 的平面角 . 在 BCE 中， BCE=9

13、0 ,BC= 2,BE=623AB，sinBEC=.36BEBC二面角B-AP-C 的大小为aresin.36解法二：（） AC=BC,AP=BP, APC BPC. 又 PCAC. PCBC. ACBC=C, PC平面 ABC. AB平面 ABC，PCAB. ()如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则 C（ 0，0，0） ，A（0，2，0） ，B（2，0，0）. 设 P（0，0，t） , PB=AB 22，t=2,P(0,0,2). 取 AP 中点 E，连结 BE，CE. AC=PC,AB =BP, CEAP,BEAP. BEC 是二面角B-AP-C 的平面角 . E(0,1,1

14、),),1, 1, 2(),1, 1,0(EBECcosBEC=.33622EBECEBEC二面角B-AP-C 的大小为arccos.334 （2008 北京理） 如图， 在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACBo，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离4解法一：（）取AB中点D，连结PDCD，A C B D P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页APBPQ，PDABACBCQ，CDABPDCDDQI，AB平面PCDPCQ平面PCD，PCAB（）ACBC

15、Q，APBP，APCBPC又PCAC，PCBC又90ACBo，即ACBC，且ACPCCI，BC平面PAC取AP中点E连结BECE，ABBPQ，BEAPECQ是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，90BCEo，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE二面角BAPC的大小为6arcsin3（）由（）知AB平面PCD，平面APB平面PCD过C作CHPD，垂足为HQ平面APB I平面PCDPD，CH平面APBCH的长即为点C到平面APB的距离由（）知PCAB，又PCAC，且ABACAI，PC平面ABCCDQ平面ABC，PCCD在RtPCD中，122CDA

16、B，362PDPB，222PCPDCD2 33PC CDCHPDg点C到平面APB的距离为2 33解法二：（）ACBCQ，APBP，APCBPC又PCAC，PCBCACBCCQI，PC平面ABCA C B E P A C B D P H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页ABQ平面ABC，PCAB（）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB，设(0 0)Pt， ，2 2PBABQ，2t，(0 0 2)P，取AP中点E，连结BECE，ACPCQ，ABBP，CEAP，

17、BEAPBEC是二面角BAPC的平面角(011)EQ， ，(011)ECuuu r， ，(211)EBuuu r， ，23cos326EC EBBECECEBuuu r uu u rgu uu ruuu rgg二面角BAPC的大小为3arccos3（）ACBCPCQ，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离如（）建立空间直角坐标系Cxyz2BHHEu uu ruu u rQ，点H的坐标为2 2 23 3 3， ，2 33CHuu u r点C到平面APB的距离为2 335 (2008 福建文 )如图，在四棱锥中，侧面PAD底面 ABCD, 侧棱 PA=PD=2

18、,底面 ABCD 为直角梯形，其中BCAD,AB CD,AD=2AB=2BC=2,O为 AD 中点。 （1）求证： PO平面 ABCD; （2）求异面直线PB 与 CD 所成角的余弦值； （3）求点 A 到平面 PCD 的距离5.解：如图， A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1) 所以( 1,1,0),(1, 1, 1)CDPBuuu ruu u r6,3PB CDCOSPB CDPBCDu uu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r所以异面直线所成的角的余弦值为：63(2)设平面 PCD 的法向量为( , )nx y

19、zr，( 1,0,1),( 1,1,0)CPCDu uu ruuu r00n CPn CDr uu u rr uu u r，所以00 xzxy；令 x=1,则 y=z=1,所以(1,1,1)nr又(1,1,0)ACuuu r则，点 A 到平面 PCD 的距离为：2 33n ACdnr uu u rrA C B P z x y H E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页6(2008 福建理 ) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD2，底面ABCD 为直角梯形，其中BCAD,AB

20、AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点 . （）求证： PO平面 ABCD；（）求异面直线PD 与 CD 所成角的大小；（） 线段 AD 上是否存在点Q， 使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由. 6本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 解法一：（）证明：在P AD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以POAD, 又侧面 PAD底面 ABCD,平面PAD平面 ABCD=AD, PO平面 PAD，所以 PO平面 ABCD. （） 连结 BO

21、，在直角梯形ABCD 中、 BCAD，AD=2AB=2BC, 有 ODBC 且 OD=BC,所以四边形OBCD 是平行四边形，所以 OBDC. 由（）知，POOB, PBO 为锐角，所以 PBO 是异面直线PB 与 CD 所成的角 . 因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB 中， AB=1,AO=1, 所以 OB2，在 RtPOA 中，因为AP2，AO 1，所以 OP 1，在 RtPBO 中， tanPBO122,arctan.222PGPBOBC所以异面直线PB 与 CD 所成的角是2arctan2. （）假设存在点Q，使得它到平面PCD 的距离为32. 设 QDx，则12DQCSx

22、，由（）得CD=OB=2，在 RtPOC 中，222,PCOCOP所以 PC=CD=DP, 233(2),42PCDSg由 Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q 满足题意，此时13AQQD. 解法二：( ) 同解法一 . ( ) 以O为坐标原点，OC OD OPuuu r uuu r uu u r、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz, 依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以11 0111CDPBuu u ruu u r（， ，）， （， ）.精选学习资料 - - - - - -

23、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页所以异面直线PB与CD所成的角是arccos63， ( ) 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32，由( ) 知( 1,0,1),( 1,1,0).CPCDu uu ruuu r设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则0,0,n CPn CDuuu rguuu rg所以00000,0,xzxy即000 xyz，取x0=1, 得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设(0,0)(11),( 1, ,0),QyyCQyu uu r由32CQ nnuuuu urg，得13,23y解y=-12或y=

24、52( 舍去 ) ，此时13,22AQQD，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD. 7、(2008 海南、宁夏理)如图，已知点P 在正方体ABC DA1B1C1D1的对角线BD1上， PDA=60 。（ 1）求 DP 与 CC1所成角的大小； （2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。7解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则(10 0)DAuuu r，(0 01)CCuu uu r，连结BD，B D在平面BBD D中，延长DP交BD于H设(1)(0)DHmmmuuu u r，由已知60DH DAouuu u r uuu r，由cosDA DHDA DHDA

25、DHuuu r uuu u ruu u r uuu u ruu u r uuu u rg，可得2221mm解得22m，所以22122DHu uu u r，（）因为22001 1222cos212DH CCuuuu r uuu u r，所以45DH CCouuu u r uuu u r，即DP与CC所成的角为45o（）平面AA D D的一个法向量是(01 0)DCuuu r， ，因为2201 1 0122cos212DH DCuuu u r uu ur，所以60DH DCou uu u r uuu r，可得DP与平面AAD D所成的角为30oB1C1D1A1CDABPA B C D P ABCD

26、x y z H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页8. (2008 湖北文 )如图，在直三棱柱111ABCA B C中，平面1A BC侧面11.A ABB（）求证：;ABBC（）若1AAACa，直线 AC 与平面1A BC所成的角为，二面角1,.2ABCA的大小为求证：8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分 12 分）( )证明：如右图，过点A 在平面 A1ABB1内作 ADA1B 于 D，则由平面 A1BC侧面 A1ABB1,且平面 A1BC侧面 A

27、1ABB1A1B，得 AD平面A1BC.又 BC平面 A1BC所以 ADBC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱 , 则 AA1底面 ABC,所以 AA1BC. 又 AA1AD=A,从而 BC侧面 A1ABB1, 又 AB侧面 A1ABB1，故 ABBC. ( )证法 1： 连接 CD,则由 ()知 ACD 就是直线AC 与平面 A1BC 所成的角， ABA1就是二面角A1BCA 的颊角， 即ACD ，ABA1=. 于是在 RtADC 中， sin=aADACAD,在 RtADA1中， sinAA1DaADAAAD1, sin=sinAA1D,由于与 AA1D 都是锐角，所以 AA1D.

28、 又由 Rt A1AB 知， AA1D AA1B2，故2. 证法 2：由 ()知，以点B 为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AB=c（c a，则 B(0,0,0)，A(0,c,0)， C(0, 0,22ca), A1(0,c,a)，于是)0 ,0 ,(22caBC，1BA（ 0，c,a） , )0,(22ccaAC1AAc,a设平面 A1BC 的一个法向量为n=(x,y,z), 则由?.0,0, 0, 0221xcaazcyBCnBAn得可取 n（ 0， a，c） ，于是nAC=ac0，AC与 n 的夹角为锐角 ,则s

29、in =cos =222222222)()0,(),0(|cacccacaccacaACnACn?, cos =,), 0, 0(), 0(|222211cacacaacaBABABABA?所以 sin =cos =sin(2),又 0 ，2，所以+ =2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页9. (2008 湖北理 )如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC 侧面 A1ABB1. （）求证：AB BC；（）若直线AC 与平面 A1BC 所成的角为,二面角 A1-BC-A 的大小为的大小关系，并予以证明

30、. 9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分 12 分）（）证明：如右图，过点A 在平面 A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1, 且平面A1BCI侧面 A1ABB1=A1B,得AD 平面A1BC, 又 BC平面 A1BC，所以ADBC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC. 又AA1IAD=A,从而 BC侧面A1ABB1，又AB侧面 A1ABB1，故 ABBC. （） 解法 1：连接 CD，则由（）知ACD是直线 AC 与平面 A1BC所成的角，1ABA是二

31、面角A1BCA 的平面角，即1,ACDABA于是在 RtADC 中，sin,ADAC在 RtADB 中，sin,ADAB由 ABAC，得sinsin，又02 ，所以 ，解法 2：由（）知，以点B 为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b, AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 221(,0,0),(0, , ),CbcAc a于是221(,0,0),(0, , ),BCbcBAc auu u ruuu r221(,0),(0,0, ).ACbccAAauu u ruu ur设平面 A1BC

32、 的一个法向量为n=(x,y,z)，则由10,0,n BAn BCuu u rguu u rg得220,0,cyazbc x可取 n=(0,-a,c)， 于是0n ACacACu uu ruuu rg ，与 n 的夹角为锐角，则与互为余角 . 22sincos,n ACacnACbacu uu rgu uu rg1221cos,BA BAcBABAacuu u r uu u rguuu ruu u rg所以22sin,aac于是由 cb，得2222,acab acac即sinsin,又0,2 ， 所以,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

33、 11 页，共 30 页10. (2008 湖南理 )如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为1 的菱形， BCD60，E 是 CD 的中点， P A底面 ABCD， PA2. （）证明：平面PBE平面 PAB; （）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 10解 : 解法一（）如图所示，连结BD，由 ABCD 是菱形且 BCD=60知，BCD 是等边三角形 .因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD,又 ABCD, 所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD，BE平面 ABCD，所以PABE.而PAAB=A,因此 BE平面 PAB. 又BE平面 PBE，所

34、以平面PBE平面 PAB. （）延长AD、BE 相交于点F，连结 PF. 过点 A 作 AHPB 于 H，由（）知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE. 在 RtABF 中，因为 BAF60，所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG. 则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以 AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰 RtPAF 中，22.2AGPA在 RtPAB 中，2222 5.55AP ABAP ABAHPBAPABgg所以，在RtAHG 中，2 5105sin.52

35、AHAGHAG故平面 P AD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5解法二 : 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，33(,0),22C13(,0),22DP（0，0，2）,3(1,0).2E（）因为3(0,0)2BE，平面 PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n，所以0BEn和共线 .从而 BE平面 PAB. 又因为BE平面 PBE，故平面 PBE平面 PAB. ( )易知3(1,0, 2),(0,02PBBEu uu ru uu r，），13(0,0,2),(,0)22PAADuu u ruu

36、u r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页设1111(,)nx y zr是平面PBE的一个法向量，则由110,0n PBn BEur uuu rgur uuu rg得111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2 .(2,0,1).yxznu r故可取设2222(,)nxyzuu r是平面PAD的一个法向量，则由220,0nPAnADuu r u uu rguu r u uu rg得2222220020,1300.22xyzxyz所以2220,3.zxy故可取2( 3, 1,0).nuu r于是，1

37、212122 315cos,.552n nn nnnu r u u rur u u rgu ruu rg故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.511 (2008 湖南文 ) 如图所示， 四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1 的菱形，060BCD，E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD ，3PA。（I）证明：平面PBE平面 PAB；（II）求二面角A BEP和的大小。11解：解法一（I）如图所示 , 连结,BD由ABCD是菱形且060BCD知，BCD是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点，所以,BECD又,ABCD/ /所以,BEAB又因为 PA平面 A

38、BCD ，BE平面 ABCD ，所以,BEPA而,ABAIPA因此BE平面 PAB. 又BE平面 PBE，所以平面PBE平面 PAB. （II）由（ I）知，BE平面 PAB, PB平面 PAB, 所以.PBBE又,BEAB所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中, tan3,60.PAPBAPBAABo故二面角ABEP的大小为60.o解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是(0 0 0),A，(1 0 0),B ，33(0),22C，13(0),22D，(0 03),P，3(10).2E，（I）因为3(0,0),2BEuuu r，平面 PAB 的一个

39、法向量是0(01 0),nu u r， ，所以BEu uu r和0nuu r共线 . 从而BE平面 PAB. 又因为BE平面 PBE，所以平面PBE平面 PAB. （II）易知3(10,3),(0,0),2PBBEu uu ruuu r，设1nur111()xyz，是平面 PBE 的一个法向量, PABCED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页则由1100nPBnBEu r uu u ru r uuu r，得11111103030002xyzxyz，所以1113 .yxz=0，故可取1nu r( 3 0 1).，而

40、平面 ABE 的一个法向量是2(0 01).nu u r， ，于是 ,1212121cos,.2| |n nn nnnu r uu ru r u u ruru u rg故二面角ABEP的大小为60.o12 (2008 江苏 )记动点 P 是棱长为1 的正方体1111-ABCD A B C D的对角线1BD上一点，记11D PD B当APC为钝角时，求的取值范围12 解： 由题设可知， 以DAuuu r、DCuuu r、1DDuuuu r为单位正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,1,0)C,(0,0,1)D由1(1 ,1, 1)D Bu

41、uuu r，得11( , ,)D PD Buuuu ruu uu r，所以11(,)(1,0, 1)(1,1)PAPDD Au uu ru uu u ruu u u r11(, )(0,1, 1)(,1,1)PCPDDCu uu ruuu u ruuuu r显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于coscos,0PA PCAPCPA PCPAPCuu u r uu u ru uu r uuu rguu u ruuu rg，则等价于0PA PCu uu r u uu rg即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0，得113因此，的取值范围是1( ,1)313(2008 江西文、理 ) 如图

42、，正三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为 2E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点， 过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于1A、1B、1C，已知132OA（1）求证：11B C面OAH；（2）求二面角111OA BC的大小13解： （1）证明：依题设，EF是ABC的中位线，所以EFBC，则EF平面OBC，所以EF11B C。又H是EF的中点，所以AHEF，则AH11B C。因为OAOB，OAOC，所以OA面OBC，则OA11B C，xyzCBADD1C1B1A1P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

43、- -第 14 页，共 30 页因此11B C面OAH。（2）作ON11A B于N，连1C N。因为1OC平面11OA B，根据三垂线定理知，1C N11A B，1ONC就是二面角111OA BC的平面角。作EM1OB于M，则EMOA，则M是OB的中点，则1EMOM。设1OBx，由111OBOAMBEM得，312xx，解得3x，在11Rt OA B中，221111352A BOAOB，则，111135OA OBONA B。所以11tan5OCONCON，故二面角111OA BC为arctan5。解法二：（ 1）以直线OAOCOB、分别为xy、 、z轴，建立空间直角坐标系，Oxyz则1 1(2,

44、0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,)2 2ABCEFH所以1 11 1( 1, ),(1, ,),(0,2, 2)2 22 2AHOHBCu uu ruuuruuu r所以0,0AHBCOHBCu uu r uuu ruuu ru uu r所以BC平面OAH由EFBC得11B CBC，故：11B C平面OAH(2)由已知13(,0,0),2A设1(0,0,)Bz则111(,0,1),( 1,0,1)2A EEBzuu uruuu r由1A Euu ur与1EBu uu r共线得 :存在R有11AEEBu uu ruuu r得11321(1)(0,0

45、,3)zzB同理 :1(0,3,0)C111133(,0,3),(,3,0)22A BACu uu u ru uuu r设1111(,)nx y zr是平面111A B C的一个法向量 , 则 令2x得1yx1(2,1,1).nu r又2(0,1,0)nu u r是平面11OA B的一个法量1216cos,641 1n nu r u u r所以二面角的大小为6arccos6B1C1A1HFECBAOxyzNMB1C1A1HFECBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页14(2008 辽宁文 )如图，在棱长为1 的

46、正方体ABCDA B C D中， AP=BQ=b （0b1） ，截面PQEFA D，截面 PQGHAD（）证明：平面PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若12b，求D E与平面 PQEF 所成角的正弦值14本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分12 分解法一：（）证明：在正方体中，ADA D，ADAB，又由已知可得PFA D，PHAD，PQAB，所以PHPF，PHPQ，所以PH平面PQEF所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 4 分（）证明：由（）知22PF

47、APPHPA，又截面PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面 PQGH 面积之和是( 22)2APPAPQ，是定值 8 分（）解：设AD交PF于点N，连结EN，因为AD平面PQEF，所以D EN为D E与平面PQEF所成的角因为12b，所以PQEF， ，分别为AA，BB，BC，AD的中点可知3 24D N，32D E所以3 224sin322D EN 12 分解法二：以 D 为原点，射线 DA， DC， DD 分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz 由已知得1DFb，故(10 0)A ，(101)A，(0 0 0)D，(0 0 1)D，(10

48、)Pb，(11)Qb， ，(11 0)Eb， ，(10 0)Fb，( 11)G b， ，(01)H b，（）证明：在所建立的坐标系中，可得(01 0)(0)PQPFbbuu u ruuu r， ，(10 1)PHbbuu ur，( 1 01)( 101)ADA Duu uu ruu uu r，因为00AD PQAD PFu uu u r uuu ru uu u r uu u rgg，所以ADu uu u r是平面 PQEF 的法向量因为00A D PQA D PHu uu u r uuu ru uu u r uuu rgg，所以A Du uu u r是平面 PQGH 的法向量因为0AD A D

49、u uu u r uu uu rg，所以A DADuuuu ruuuu r，所以平面PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分A B C D E F P Q H ABCDG A B C D E F P Q H ABCDy x z G A B C D E F P Q H ABCDG N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页（）证明：因为(01 0)EFuuu r， ，所以EFPQ EFPQuuuu ruuuu ru uu ruuu r，=，又PFPQu uu ru uu r，所以 PQEF 为矩形，同理PQGH 为

50、矩形在所建立的坐标系中可求得2(1)PHbuu uu r，2PFbuuuu r，所以2PHPFu uu u ruuuu r，又1PQuu uu r，所以截面PQEF 和截面 PQGH 面积之和为2，是定值 8 分（）解：由（）知( 10 1)ADu uu u r，是平面PQEF的法向量由P为AA中点可知，QEF， ，分别为BB，BC，AD的中点所以11 02E， ，1112D Euuuu r， ，因此D E与平面PQEF所成角的正弦值等于2| cos|2AD D Eu uuu r uuuu r， 12 分15(2008 辽宁理 )如图，在棱长为1 的正方体ABCDA B C D中， AP=BQ