2022年解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例 .pdf

《2022年解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例 .pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品资料欢迎下载解微分方程的欧拉法，龙格- 库塔法及其 MATLAB 简单实例欧拉方法 （Euler method) 用以对给定初值的常微分方程( 即初值问题 )求解分为前进 EULER 法、后退 EULER 法、改进的 EULER 法。缺点：欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时， 误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。改进欧拉格式：为提高精度， 需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法为：微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程：xa

2、,by(a) = y0 可以将区间 a,b 分成 n 段，那么方程在第 xi 点有 y(xi) = f(xi,y(xi)，再用向前差商近似代替导数则为：在这里， h 是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi 点和 yi 点的数值计算出 yi+1 来：i=0,1,2,L 这就是向前欧拉格式。改进的欧拉公式：将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载上式便是梯形的欧拉公式。可见， 上式是隐式格式， 需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公

3、式：数值分析中， 龙格库塔法 （Runge-Kutta ）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格 - 库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为f(xn,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。龙格- 库塔方法的基本思想：在区间 xn,xn+1 内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4 ”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。则，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值 (yn+1)由现在的值 ( yn)加上时间间隔 ( h) 和一个估算的斜率的乘积

4、决定。该斜率是以下斜率的加权平均：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载 k1 是时间段开始时的斜率； k2 是时间段中点的斜率， 通过欧拉法采用斜率k1 来决定 y 在点 tn + h/2的值； k3 也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2 决定 y 值； k4 是时间段终点的斜率，其y 值用 k3 决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。注意上述公式对于标量或者向量函数( y 可以是向量 ) 都适用。例子：下面给出了数值求解

5、该微分方程的简单程序。其中 y1,y2,y3,y4分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4 级 4 阶龙格 - 库塔公式及精确解。h=0.1; x=0:h:1; y1=zeros(size(x); y1(1)=1; y2=zeros(size(x); y2(1)=1; y3=zeros(size(x); y3(1)=1; for i1=2:length(x) y1(i1)=y1(i1-1)+h*(y1(i1-1)-2*x(i1-1)/y1(i1-1); k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1); k2=y2(i1-1)+h*k1-2*x(i1)/(y2(i1-1)+h*k1)

6、; y2(i1)=y2(i1-1)+h*(k1+k2)/2; k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1); k2=y2(i1-1)+h*k1/2-2*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k1/2); k3=y2(i1-1)+h*k2/2-2*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k2/2); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载k4=y2(i1-1)+h*k3-2*(x(i1-1)+h)/(y2(i1-1)+h*k3); y3(i1)=y3(i1-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6; end y4=sqrt(1+2*x); %plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4) %legend(y1,y2,y3,y4) plot(x,y4-y1,x,y4-y2,x,y4-y3) legend(y1,y2,y3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页