2022年全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法 .pdf

《2022年全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法 .pdf（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、- 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法( 有答案 ) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三

2、种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常

3、计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页- 2 - DCBAEDFCBA换中的“对折”法构造全等三角形2)遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3)遇到角

4、平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全

5、等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5 ， AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_. 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

6、 - - - - - - -第 2 页，共 24 页- 3 - 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDCBA应用：1、 （ 09崇文二模）以ABC的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90 ,BADCAE连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（ 2） 将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(0AD+AE. EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=6

7、0， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . EDGFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页- 7 - NMEFACBAFEDCBA应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 A

8、BC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）

9、若 AB=2 ，求四边形DECF 的面积。(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页- 8 - 例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；BCDNMA应用：1、 已 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交

10、ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页- 9 - 2、 （西城 09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线 AB的两

11、侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 3、在等边ABC的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当M、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN时， BM 、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点

12、M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页- 10 - DCBAEDFCBA参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5 ， AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_. 解：延长AD至 E使 AE 2AD ，连 BE ，由三角形性质知AB-BE

13、2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG2EF，连 BG ，EG, 显然 BG FC ，在 EFG中，注意到DE DF，由等腰三角形的三线合一知EG EF 在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDCBA解：延长AE至 G使 AG 2AE ，连 BG ，DG, 显然 DG AC

14、 ，GDC= ACD 由于 DC=AC ，故ADC= DAC 在 ADB与 ADG中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页- 11 - BDAC=DG ，AD AD ，ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故 ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平分 BAE 应用：RtABD和 等 腰1、 （09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtACE，90 ,BADCAE连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图当ABC为直角三

15、角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（ 2） 将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(090)后， 如图所示， （ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解： （1）AMED2，EDAM；证明：延长AM 到 G，使AMMG，连 BG，则 ABGC 是平行四边形BGAC，180BACABG又180BACDAEDAEABG再证：ABGDAEAMDE2，EDABAG延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG90DAHHDAEDAM（2）结论仍然成立证明：如图，延长CA 至 F，使FAAC，FA 交 DE 于点 P，并连接BFBADA，AFEAABCGC

16、H A B D M N E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页- 12 - EDCBAEADDAFBAF90在FAB和EAD中DABAEADBAFAEFAEADFAB（SAS ）DEBF，AENF90AENAPEFFPDDEFB又AFCA，MBCMFBAM /，且FBAM21DEAM，DEAM21二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 解： （截长法）在AB上取中点F，连 FD ADB是等腰三角形，F 是底 AB中点，由三线合一知DF AB ，故 A

17、FD 90ADF ADC （SAS ）ACD AFD 90即： CD AC 2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求 证 ;AB AD+BC FC P A B D M N E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页- 13 - DCBAPQCBA解： （截长法）在AB上取点 F，使 AFAD ，连 FE ADE AFE （SAS ）ADE AFE ，ADE+ BCE 180AFE+BFE 180故 ECB EFB FBE CBE （AAS ）故有 BFBC 从而 ;ABAD+B

18、C 3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ， CA上，并且AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解： （补短法 , 计算数值法）延长AB至 D，使 BD BP ，连 DP 在等腰 BPD中，可得 BDP 40从而 BDP 40 ACP ADP ACP （ASA ）故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA解： （补短法）延长BA至 F，使 BFBC ，连 FD BDF BDC （

19、SAS ）故 DFB DCB ，FDDC 又 AD CD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页- 14 - P21DCBA故在等腰 BFD中DFB DAF 故有 BAD+ BCD 1805、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 解： （补短法）延长AC至 F，使 AFAB ，连 PD ABP AFP （SAS ）故 BP PF 由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2

20、 如图，在 ABC的边上取两点D 、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, D E A C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页- 16 - OEDCBADM=EM, DMNEMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE

21、。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD ，DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线, 计算数值法 )B=60度, 则BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线 , 则OAC+OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. 在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE=OAF .则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 则COF=AOC-AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD=OCF. 故OCDOCF(SA

22、S),OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DC DG垂直平分BC ，故 BD DC 由于 AD平分 BAC ， DEAB于 E，DF AC于 F，故有ED DF 故 RTDBE RTDFC （HL）故有 BE CF。EDGFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

23、第 16 页，共 24 页- 17 - AB+AC 2AE AE （ a+b） /2 BE=(a-b)/2 应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：

24、（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE（2）答：（1）中的结论FDFE仍然成立。证法一： 如图 1，在 AC 上截取AEAG，连结 FG 21，AF 为公共边，AGFAEFAFGAFE，FGFE60B， AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线603260AFGCFDAFE60CFG43及 FC 为公共边CFDCFGFDFGFDFE证法二： 如图 2，过点 F 分别作ABFG于点 G，BCFH于点 H 60B， AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线可得6032，F 是ABC的内心160GEF，FGFH又1BHDF(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C

25、E F B D 图图图F B E A C D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页- 18 - FEDCBAHDFGEF可证DHFEGFFDFE五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ，AF=AG，所以三角形 AEF 全等

26、于 AEG 所以 EAF=GAE=BAE+GAB= BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以 EAF=45 度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。(1) 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。(2) 若 AB=2，求四边形DECF 的面积。解： (计算数值法 ) （1）连接 DC ，D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，故有CD AB，CD DA CD平分 BCA 90， ECD DCA 45由于 DM DN ，有 EDN 90由于 CDAB ，有 CD A90从而 CDE FD A故有 CDE ADF （AS

27、A ）故有 DE=DF （2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页- 19 - 例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；解： (图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD 的延长线交于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBM ABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=

28、120 ， MBD= MBC+ DBC=60 +30 =90 ，DCE=180 -ACD=180 -ABD=90 ，又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ， DE=DM ，NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 -60 =60 ，在 DMN 和 DEN 中，DM=DE MDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ，MN=NE 在 DMA 和 DEF 中，DM=DE MDA=60 - MDB=60 - CDE= EDF (CDE= BDM) DAM= DFE=30 DMN DEN (AAS) ，MA=FE AMN 的周

29、长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页- 20 - 应用：1、 已 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解： （1）A

30、DAB，CDBC，BCAB，CFAECBFABE（SAS ） ；CBFABE，BFBE120ABC，60MBN30CBFABE，BEF为等边三角形BFEFBE，BEAECF21EFBECFAE（2）图 2成立，图3 不成立。证明图 2，延长 DC 至点 K，使AECK，连接 BK则BCKBAEBKBE，KBCABE60FBE，120ABC60ABEFBC60KBCFBC60FBEKBF（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMNK A B C D E F M N 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

31、第 20 页，共 24 页- 21 - EBFKBFEFKFEFCFKC即EFCFAE图 3 不成立， AE、CF、EF 的关系是EFCFAE2、 （西城 09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 分析： （1） 作辅助线， 过点 A 作PBAE于点 E， 在PAERt中，已知APE， AP 的值，根据三角函数可将AE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求

32、BE 的值，在ABERt中，根据勾股定理可将 AB 的值求出； 求 PD 的值有两种解法， 解法一：可将PAD绕点A 顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，求PD 长即为求BP的长，在PAPRt中，可将PP的值求出，在BPPRt中，根据勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点P 作 AB 的平行线，与DA 的延长线交于F，交 PB 于 G，在AEGRt中，可求出AG，EG 的长，进而可知PG 的值，在PFGRt中，可求出PF，在PDFRt中，根据勾股定理可将PD 的值求出；（2）将PAD绕点 A 顺时针旋转90，得到ABP，PD 的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B 三点共线时，BP取

33、得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB解： （1）如图，作PBAE于点 E PAERt中，45APB，2PA1222PEAE4PB3PEPBBE在ABERt中，90AEB1022BEAEAB解法一： 如图，因为四边形ABCD 为正方形， 可将将PAD绕点 A 顺时针旋转90得到ABP， ，可得ABPPAD，BPPD，APPA90PPA，45PAP，90PBP2PP，2PA52422222PBPPBPPD；E P A D C B PP A C B D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共

34、24 页- 22 - PP A C B D PP A C B D 解法二：如图，过点P 作 AB 的平行线，与DA 的延长线交于F，设 DA 的延长线交PB于 G在AEGRt中，可得310coscosABEAEEAGAEAG，31EG，32EGPEPG在PFGRt中，可得510coscosABEPGFPGPGPF，1510FG在PDFRt中，可得523101510105102222FGAGADPFPD（2）如图所示， 将PAD绕点 A 顺时针旋转90, 得到ABP，PD 的最大值， 即为BP的最大值BPP中，PBPPBP，22PAPP，4PB且 P、D 两点落在直线AB 的两侧当P、 P、B

35、三点共线时，BP取得最大值（如图）此时6PBPPBP，即BP的最大值为6 此时135180PAPAPB3、在等边ABC的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当M、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN时， BM 、NC、MN 之间的数量GF P A C B D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

36、 - -第 22 页，共 24 页- 23 - 图 1 N M A D C B 关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）分 析 ：（ 1 ） 如 果DNDM，DNMDMN， 因 为DCBD， 那 么30DCBDBC，也就有903060NCDMBD，直角三角形MBD 、NCD中，因为DCBD，DNDM，根据HL定理，两三角形全等。那么NCBM，60DNCBMD，三角形NCD

37、 中，30NDC，NCDN2，在三角形DNM 中，DNDM，60MDN， 因 此 三 角 形DMN是 个 等 边 三 角 形 ， 因 此BMNCNCDNMN2，三角形AMN 的周长MNANAMQABACABNCMBANAM2，三角形ABC 的周长ABL3，因此3:2:LQ（2）如果DNDM，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC 至 E，使BMCE，连接DE （1）中我们已经得出，90NCDMBD，那么三角形MBD和 ECD 中，有了一组直角，CEMB，DCBD，因此两三角形全等，那么DEDM，CDEBDM，60MDNBDCEDN三角形 MDN 和 EDN 中，有DEDM，60MD

38、NEDN，有一条公共边，因此两三角形全等，NEMN，至此我们把BM 转换成了 CE，把 MN 转换成了NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ 与 L 的关系的求法同（ 1） ，得出的结果是一样的。（3） 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同 （2） 过 D 作MDBCDH，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的90MBDCH，我们做的角CDHBDM，CDBD，因此两三角形全等（ASA） 那么CHBM，DHDM，三角形 MDN 和 NDH 中，已知的条件有DHMD，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道HDNMDN，因为MDBCDH，因此120BDCMDH，因为60

39、MDN，那么60120NDH60，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN 和 DNH就全等了那么BMACANNHNM，三角形AMN的周长BMABANMNAMANQABANBMACAN22 因 为xAN，LAB31， 因 此 三 角 形AMN的 周 长LxQ322解： （1）如图 1，BM、NC、MN 之间的数量关系：MNNCBM；此时32LQ（2）猜想：结论仍然成立证明：如图2，延长 AC 至 E，使BMCE，连接 DECDBD，且120BDC30DCBDBC又ABC是等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

40、23 页，共 24 页- 24 - 90NCDMBD在MBD与ECD中DCBDECDMBDCEBMECDMBD（SAS ）DEDM，CDEBDM60MDNBDCEDN在MDN与EDN中DNDNEDNMDNDEDMEDNMDN（SAS ）BMNCNEMN故AMN的周长MNANAMQABACABNCANBMAM2而等边ABC的周长ABL33232ABABLQ（3）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若xAN，则LxQ322（用x、L 表示） 点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的， 当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。E 图 2 N M A D C B H 图 3 N M A D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页