2022年凸函数的性质 .pdf

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1、精品资料欢迎下载凸函数的性质【摘自前苏克拉斯诺西尔斯基等著凸函数与奥尔里奇空间（中译本） 】通常称函数)(xf在区间),(ba内是“ 下( 上 ) 凸函数 ” ，若对于),(ba内任意两点1x和2x)(21xx与任意) 1 ,0(t，都满足“ 琴生(Jesen) 不等式 ”1212()(1)()(1)()f txt xtfxt fx () 或1 1221122()()()f t xt xt f xt f x () 其中1t和2t为正数且121tt 它的特别情形 ( 取21t)是121222fxfxxxf21xx () 在2-7 中曾把它作为下 ( 上)凸函数的定义 .。我们将证明，对于连续函数

2、来说， 不等式( )与琴生不等式 ( )是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式( )定义了下( 上) 凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数） 。下凸函数简称为 凸函数 ，上凸函数简称为 凹函数。请读者注意，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。（一）琴生不等式的几何意义我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一，设231xxx，则21213112323xxxxxxxxxxx（根据解

3、析几何中的定比分点公式（*） 。根据琴生不等式 ( )，)(3xf)()(2121311232xfxxxxxfxxxx 注意1213212321,xxxxtxxxxt （*）区间 , a b上的点(1)(01)xtat bt. x3 x A B C x1 x2 图一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载从而，得不等式323212121313)()()()()()(xxxfxfxxxfxfxxxfxf（基本不等式 ）它说明( 见图一) ，弦AC的斜率小于弦AB的斜率，而弦AB的斜率又小于弦CB的斜率。（二）

4、凸函数的性质为简单起见，下面只讨论与我们的问题有关的凸函数的性质。性质 1若( )f x在区间),(ba内是下凸函数，则 在每一点),(bax都有左导数)(xf和右导数)(xf【因此（*）， 凸函数是连续函数】，而且)(xfxf； 左导数)(xf和右导数)(xf都是单调增大的函数。证设210hh，并且满足不等式 (图二) bhxhxxhxhxa2112根据基本不等式，则有22111122)()()()()()()()(hxfhxfhxfhxfhhxfxfhhxfxf考虑函数hhxfxfh)()()(（axh0）根据上述不等式中最左边的不等式，当0h时，函数)(h是单增的且有上界，所以有极限0l

5、imh)(h=)()()(lim0 xfhhxfxfh类似地，根据最右边的，函数hxfhxfh)()()(（xbh0）当0h时是单减的且有下界，所以有极限)()()(lim)(lim00 xfhxfhxfhhh根据中间一个不等式，)(h)(h，再让0h，得)(xf)(xf. 证 为证左、右导数都是单调增大的， 譬如证)(xf是单调增大的。 设21xx，并取正数h足够小，使2211xhxhxx（图三）根据基本不等式，（*）有左导数( )fx说明函数( )f x在点x左连续，有右导数( )fx说明函数( )f x在点x右连续。x-h2x- h1xx+h1x+h2b (a )x 图二x1x1+hx2

6、- hx2x 图三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载hhxfxfhxfhxf)()()()(2211注意到当0h时，左端（关于h）是单减的，右端是单增的，所以)()(21xfxf. 再根据上面已证的结论 )()(22xfxf ，就得到)()(21xfxf. 假若函数)(xf在区间),(ba内可微分，根据教科书中的定理2-3，则导数)(xf是增大的函数)(xf是下凸的。现 在 ， 我 们 又 证 明 了 “ 函 数)(xf是 下 凸 的导 数)(xf是 增 大 的 ” 注 意 ，()()()fxfxfx

7、 。因此，对于可微函数来说，它是下凸的它的导函数是增大的。根据对偶性， 它是上凸的它的导函数是减小的。性质 2若)(xf是区间),(ba内的连续函数，则不等式121222fxfxxxf21xx () 与琴生不等式211xttxf211xftxtf 10,21txx () 是等价的。证显然，在琴生不等式中取1 2t，就是不等式 ( )。剩下来就是要证明，从不等式() 也可以推出琴生不等式 ( ) 。为简单起见，我们只证明其中的情形 “” 。事实上，(反证法)假若琴生不等式 () 不成立，即至少有一个1 , 0t和有1x与212xxx，使)()1()()1(2121xftxftxtxtf作(连续)

8、 函数)()1()()1()(2121xftxtfxttxft), 10(21xxt并记它的最大值为M，则0M(根据反证法的假设 )。首先假定0M，并把函数)(t在区间1 ,0上取到最大值M的最大值点的最小者记为0t，则100t ( 因为0)1()0()。取正数足够小，使 1 ,0,00tt，于是对于点201011xtxtx和201021xtxtx则根据不等式 ( )，即222121xfxfxxf可得注意2)(21xx=2010)1(xtxt 2)1()()1 ()()1(201020102010 xtxtfxtxtfxtxtf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

9、 - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载两端再同时减去)()1()(2010 xftxft，便得到000()()()2ttMtM这是不可能的 (MM) 。其次，若0M， 根据反证法的假设， 则至少有一点) 1 ,0(t使0)(t. 重复上面的作法，则得02)()()(0Mttt这也是不可能的00。因此，对于一切) 1 ,0(t和任意1x与212xxx，都有0)(t，即函数)(xf满足琴生不等式)()1()()1(2121xftxtfxttxf, 1021xxt正因为对于连续函数来说，不等式 () 与琴生不等式 ( )是等价的，所以我们在教科书中就把简单的不等式 ( )作为下 (上) 凸函数的定义 . 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页