2022年计算方法复习题大全 .pdf

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1、计算方法总复习第一章绪论例 1 已知数 x=2.718281828.,取近似值x*=2.7182,那麽 x 具有几位有效数字点评；考查的有效数字的概念。解；*31 42.7182818282.71820.00008182110.0005101022exxL故有四位有效数字。例 2近似数*0.01999x关于真值*0.02000 x有几位有效数字解：*41 30.019990.020000.00001110.00005101022exxL故有三位有效数字。例 3数值 x*的近似值 x=0.1215102，若满足xx( )，则称 x 有 4 位有效数字点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差

2、。解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如1230.na a aaK的数则绝对误差限一定为41102，由于题目中的数2120.10nxa aaL,故最终的绝对误差为4261110101022例 4有效数*1233.105,0.001,0.100 xxx，试确定*123xxx的相对误差限。点评；此题考查相对误差的传播。*1()()()nrriiiife ye xxyx故有*112233123123*123123()()()()()()()rrrrex xe xxex xe xe xe xe xxxxxxxxx解：333*123123*123111101010()()()222()3.1050.0

3、010.100re xe xe xexxxxxx=0.0004993 例 5sin1 有 2 位有效数字的近似值0.84 的相对误差限是. 解法 1 ：00625.01016110821112（有效数字与相对误差限的关系）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页解法 2；21100.840.00595242（相对误差限的概念）例 6*nx 的相对误差为*x的相对误差的 -倍。解：根据误差传播公式*1()()()nrriiiife ye xxyx则有*1(*)(*)()/*nnnrrexxe xxxn第二章例 1设( )f

4、 x可微，求( )xf x根的牛顿迭代公式 -。解；化简得到( )0 xf x根据牛顿迭代格式),2, 1,0()( )(1kxfxfxxkkkk则相应的得到1()(0, 1, 2,)1()kkkkkxf xxxkfxL例 2： 求方程01)(3xxxf在区间 1, 1.5内的实根。要求准确到小数点后第2 位。思路；用二分法，这里 a = 1, b = 1.5， 且 f (a) 0。取区间a, b的中点x0 = 1.25将区间二等分，由于f (x0)0 f (1) = -7 0）的迭代公式，并用以上公式求78265.0解：设cxxf2)(， （x 0）则 c 就是 f (x) =0 的正根。由

5、为 f (x) = 2x，所以得迭代公式kkkkxcxxx221或kkkxcxx211（2.6）由于 x 0 时，f (x) 0，且 f (x) 0，根据定理 3 知：取任意初值cx0，所确定的迭代序列 xk必收敛于c。取初值 x = 0.88，计算结果见表k xk 0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3 0.88468 故可取88468.078265.0第三章例 1.用列主元消去法解线性方程组615318153312321321321xxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页计算过程保

6、留 4 位小数. 解. A b=6111151318153312(选1821a为主元 ) 6111153312151318),(21rr(换行，消元 ) 7166.54944. 07166.1053333.21015131813121811812rrrr(选1667. 132a为主元，并换行消元) 5428.98142.3001667.54944.01667.1015131823321667.11),(rrrr系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解0000. 1)18/( 0000.230000.3150000.27166.1/ 0000. 34944.07166.50000.38142.354

7、28.9123xxx方程组的解为 X (1.000 0,2.000 0,3.000 0)T例 2：用列主元高斯消去法求解方程72452413221321321xxxxxxxx由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：702145241312*第一步将 4 选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页61005 .025. 010125.15 .0125.5875.000

8、5.025.010125. 15 .01625.15. 1015 .020125. 15. 01702113124524*第三步消元第二步消元第一步消元消元过程的结果归结到下列三角形方程组：65.025.0125.15.0332321xxxxxx回代，得619321xxx例 3：用直接三角分解法解201814513252321321xxx解： （1）对于 r = 1，利用计算公式111u212u313ul21 = 2 l 31= 3（2）对于 r = 2，12212222ulau= 5 2 2 = 1 13212323ulau= 2 2 3 = -4 51)231()(2212313232uu

9、lal（3）r = 3 24)4()5(33(5)(233213313333ululau于是LUA2441321153121（4）求解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页Ly = b得到y1 = 14 y2 = b2l21y1 = 18 2 14 = -10 y3 = b3 (l31y1 + l32y2) = 20 (3 14 + (-5)(-10) = - 72 从而 y = (14, -10, -72)T由 Ux= y得到324723333uyx21)34(10)(2232322uxuyx11)3322(14)

10、(1131321211uxuxuyxTx)3,2, 1(例 5：用雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法解线性方程组877901081119321xxx解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法都收敛。D = diag (9, 8, 9) D-1 = diag (1/9, 1/8, 1/9) 009/1008/19/19/101ADI9/78/79/71bD雅克比迭代法的迭代公式为：9/78/79/7009/1008/19/19/10)()1(kkXX取 X(0) = (0, 0, 0)T，由上述公式得逐次近似值如下：k 0 1 2 3 4 X (i) 000888

11、9.08750.07778.09753.09723.09738.09993.09993.09942.09993.09993.09993.0高斯赛得尔迭代法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8091781791)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx迭代结果为：k 0 1 2 3 4 x(i) 0009753.09722.07778.09993.09993.09942.00000.10000.19998.0000.1000.1000.1例 6考察用高斯赛

12、德尔迭代法解方程组1231231239268888xxxxxxxxx收敛性，并取(0)(1,0,0)Tx，求近似解(1)kx，使得(1)( )310kkiixx（i=1，2，3）解法同上（ 1，1，-1）例 7. 设矩阵 A52111021210， 那么以 A 为系数矩阵的线性方程组AXb 的雅可比迭代矩阵为 ( A ) (A)04. 02.01.002.01.02. 00(B) 14.02.01. 012.01. 02.01(C) 04.02.01.002.01.02.00(D) 021102120例 8、高斯- 塞尔德迭代法解线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

13、归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页的迭代格式中求例 9、 若则矩阵 A的谱半径(A)= 第五章第六章1 矛盾方程组112.83.2xx的最小二乘解为 -。2 给出拟合三点(0,1),(1,0)AB和(1,1)C的直线方程。第七章1插值型求积公式的求积系数之和为1已知1)(2xxf，则差商3 ,2, 1f。3 求积公式31( )2 (2)f x dxf有几次的代数精确度？（ 1）4插值型求积公式0( )()nbiiaif x dxA f x的代数精确度至少是 -次。N5已知 n=4 时牛顿科茨求积公式的科茨系数,152,4516,907)4(2)4(1)4(0CCC那么

14、)4(3C( ) 903915245169071)D(152)C(4516)B(907)A(6设求积公式nkkkbaxfAxxf0)(d)(，若对的多项式积分公式精确成立， 而至少有一个 m+1 次多项式不成立。 则称该求积公式具有m次代数精度 . 7 取 m=4,即 n=8，用复化抛物线求积公式计算积分2. 102d)1ln(xx计算过程保留 4 位小数. 解 n=8, h=15.0802.1,f(x)=ln(1+x2) 计算列表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页)(kxf=)1ln(2kxkkx奇数号偶数号端点

15、0 0.00 0 1 0.15 0.022 3 2 0.30 0.086 2 3 0.45 0.184 4 4 0.60 0.307 5 5 0.75 0.446 3 6 0.90 0.593 3 7 1.05 0.743 1 8 1.20 0.892 0 1.396 1 0.987 0 0.892 0 代入抛物线求积公式)(2)(43d)1ln(6427531802.102fffffffffhxx4225. 0987. 023961.148920.0315. 0第八章例 1 用欧拉法求初值问题000.912()10yyxy xx当 h = 0.02时在区间 0, 0.10上的数值解。解把yx

16、yxf219.0),(代入欧拉法计算公式。就得5, 1,021018.01219. 01nyxyxhyynnnnnn具体计算结果如下表：n xn yn y(xn) n = y(xn) - yn 0 0 1.0000 1.0000 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192

17、 0.923 0.0021 例 2.取 h=0.1, 用改进欧拉法预报校正公式求初值问题1)0(12yyxy在 x=0.1, 0.2处的近似值 . 计算过程保留 3 位小数 . 预报校正公式为)2(2),(),(2)1(),(211211121kkkkkkkkkkkkkkkxkkyxyxhyyxfyxfhyyyxhyyxhfyyh=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有227.1)2. 11.0102(21.012.1)101(1.0122121yyh=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有528.1)488.12. 0227.11. 02(21. 0227.1

18、488.1)227. 11.01( 1. 0227.122222yy所求为 y(0.1) y1=1.227 y(0.2) y2=1.528 例 3导出用三阶泰勒级数法解方程22yxy的计算公式解: 因22),(yxyxfy)(222222yxyxyyxfy)3()(242) (22222222yxyxxyyyyfy)32)(8)53(4462422222222)4(yxyxyyxxyyyyyyyyyyyfy故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页nnnnnfhfhhfyy3216121而1)4(43)(! 4nnnx

19、xfhR其中)(knf表示 f(x, y)对 x 的 k阶偏导数在 x = xn点上的值。例 4 用龙格库塔法解初值问题y = x2 y(0 x1) y(0) = 1 解 ：取 h = 0.1， 由下面公式342312143211,2,212,21),()22(6hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn)1.0()1.0()05.0()05.0()05.0()05.0(32422312221kyxkkyxkkyxkyxknnnnnnnn把初始条件 x0 = 0， y0 = 1， 代入,得 k1 = -1， k2 = -0.9475， k3 = -0.9501， k4 = 0.8950，将这些 k值代，得90516. 08950.0)9501.09475.0(2161.011y重复上述步骤可算出y2，y3， y10等。例 5设有求解初值问题00( , ) ()yf x yy xy的如下格式11(,)nnnnnyaybychf xy如假设11(),()nnnnyy xyy x问常数, ,a b c为多少时使得该格式为二阶格式？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页