2022年解分式方程的特殊方法与技巧 .pdf

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1、精品资料欢迎下载分式方程意义及解法一、内容综述：1解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程即分式方程整式方程2解分式方程的基本方法(1) 去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于0 时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解) ，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解检验根的方

2、法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页精品资料欢迎下载用去分母法解分式方程的一般步骤：(i) 去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答(2) 换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅

3、助未知数）来解决辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程用换元法解分式方程的一般步骤：(i) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv) 检验做答注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（

4、2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。二、例题精析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页精品资料欢迎下载例 1解分式方程：。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以x(x+2) ，约去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2) 整理后，得 x2+4x=0 解这个方程，得x1=0, x2=-4, 代入公分母检验：当 x1=0时，x(x+2)=0 (0+2)=0, x=0

5、 是增根；当 x2=-4 时，x(x+2)=-4 (-4+2) 0, x=-4 是原方程的根。故原方程的根是x=-4。例 2解方程：。分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。解：即，移项，整理，得，即，亦即去分母，得 (x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页精品资料欢迎下载经检验， x=7 是原方程的根。 原方程的根是 x=7。例 3解方程

6、。解法 1：方程两边都乘以 (x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3) =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5) 即 4x+14=0, ，经检验知是原方程的解。解法 2：方程两边分别通分，得，即， (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3) 解得。解法 3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。原方程可化为即：，两边分别通分，得，解之，得。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页精品资料欢迎下载例 4解方程。解：

7、设， 则原方程变形为 y2-5y+6=0, 解得 y1=2, y2=3, 由=2，解得 x1=4; 由，解得 x2=3. 经检验 x1=4, x2=3，都是原方程的根。例 5用换元法解方程. 解：设 2x2+3x=y，于是原方程变为, 整理，得 y2-4y-5=0 解得 y1=5, y2=-1. 当 y=5 时，即 2x2+3x=5, 解得 x1=1, , 当 y=-1 时，2x2+3x=-1，解得 x3=-1, , 经检验，都是原方程的根。 原方程的根为。例 6解方程。分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。解：设，所以原方程变形为： y+=7, 精选学习资料 - - - - -

8、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页精品资料欢迎下载整理得： y2-7y+10=0 解得 y1=2, y2=5，当 y1=2时，即，x1=0, x2=2; 当 y2=5时，即 x2-5x+9=0 （0，此方程无实根）经检验， x1=0, x2=2是原方程的解。例 7解方程. 分析： 此方程初看起来容易把， 而实际上，所以. 但是, 就是说原方程可变形为, 变形后才可用换元法解此方程。解：原方程可化为即, 设, 则原方程可化为： 2y2-3y-5=0 解得 y1=-1, y2=, 当 y=-1 时，, 去分母整理，得x2+x+1=0 解这个方程， 0,

9、 方程无解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页精品资料欢迎下载当 y= 时，, 去分母整理，得2x2-5x+2=0 解得 x1=2, , 经检验， x1=2, 都是原方程的根。 原方程的根是 x1=2, 。注意：切勿把。例 8若分式方程有增根 x=2，求 a 的值。分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则 x=2 一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。解：原分式方程去分母，得a(x

10、+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 把 x=2 代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-, 当 a=-时, x=2是原分式方程的增根。测试选择题1方程 x- =2-的根的情况是（）A、 只有一解 x=2 B、任意实数都是解C、无解 D、解为 x2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页精品资料欢迎下载2用换元法解方程+ = ，下列变形正确的是（）A、设=y，原方程变形为 y+ = ，去分母得 2y2+5y+2=0 B、设=y，原方程变形为 y+ -1=，去分母得 2y2-7y+2=0 C、设=y，原方程变形为+

11、= ，去分母得 y2-5y+3=0 D、设=y，原方程变形为+ =，去分母得 y2-5y+6=0 3如果设 y= -5，则对于方程 ( -5)2+-13=0，下面变形正确的是（）A、y2-2y-8=0 B、y2+2y-3=0 C、y2+2y-13=0 D、y2-2y-23=0 4若 x=1 是方程的增根，则 m的值为（ c ）A、1 B、 -1 C、-3 D、3 5方程会产生增根 , 则 a 的值为（ c ）A、1 B、-2 C、1 或-2 D、以上都不对。6方程=0的根是（）A、-1 B、2 C 、-1 或 2 D、1 或-2 7使分式方程产生增根的 k 的值是（）A、0 B、0 或 2 C

12、、1 D、2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页精品资料欢迎下载8用换元法解方程, 设，则方程变形为（）。A、6y2+5y-38=0 B、6y2+5y-40=0 C、6y2+5y-26=0 D、6y2+5y-50=0 9方程的根为（）A、x=2 B、x= C、x=3 D、x=-5, 或 x=3 10某项工程，甲独做需a 天，乙独做需 b 天，甲、乙合做完成任务需要的天数是（）。A、 B、 C、a+b D、答案与解析答案： 1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D 解析：1、答

13、案：选 C。移项，整理得 x=2，但当 x=2 时，分母 x-2=0，则 x=2 为增根，原方程无解。2、答案： 2选 D。3、答案：选 B。原方程整理得：，设原方程变为： y2+2y-3=0。4答案：选 C。原方程两边乘以 (x-1)(x-2)得：x2-4+x2+2x-3=m即： 2x2+2x-7-m=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页精品资料欢迎下载则 x=1 是方程 2x2+2x-7-m=0 的根，代入 x=1 得： 2+2-7-m=0, m=-3. 5. 答案：选 C。两边乘以 x(x-1) 得 x2+

14、2x-2-a=0, 若原方程有增根，则有增根x=1 或 x=0，而 x=1 或 x=0 是整式方程 x2+2x-2-a=0的两根，将 x=1 或 x=0 代入整式方程得 a=1 或 a=-2，选 C。6答案：选 B。由，去分母得 (x+1)(x-2)=0 得 x=-1 或 x=2，经检验， x=-1 是增根，则原方程的根为 x=2。7答案：选 A。分式方程的增根为 x=2 或 x=-2，而 x=2 或 x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。原方程两边乘以 (x-2)(x+2)得 x2-2x-x2+4=k2x+2k2整理得： (k2+2)x=4-2k2, , 则：，解得： k=0. 8答案：

15、选 D。分析：原方程变形为，则原方程变形为6(y2-2)+5y-38=0 ，整理得： 6y2+5y-50=0. 9 答案：选 D。方程两边乘以 x2-4 得 15=2x+4+x2-4 即：x2+2x-15=0, 解得： x1=-5 或 x2=3， 经检验， x=-5 或 x=3 都是原方程的根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页精品资料欢迎下载10答案：选 D。整个工程看成整体1，则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。中考解析分式方程考点讲解1解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通

16、过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。2去分母法解分式方程的步骤： （1）去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；（2）解这个整式方程；（ 3）验根。3用换元法解分式方程的步骤： （1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母；（ 2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；（3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值；（ 5）验根。4分式方程验根的方法： （1）将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两边相等的未知数

17、的值是原方程的根，否则是增根；（2）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0，就是原方程的根，反之则为增根。考题评析1（甘肃省）一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有 2 人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3 元，原来这组学生的人数是（）（A）8 （B）10 （C ）12 （D ）30 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页精品资料欢迎下载考点：分式方程的应用评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的等量关系有两个：一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增

18、加2 人后，每人少分摊 3 元。根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题, 设原来这组学生的人数 x 人，所以列方程为：，解得 x=8, 经检验 x=8 是原方程的根。答案： A 说明：所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。2(杭州市 ) （本题 8 分）解方程：考点：分式方程的解法评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定要检验。答案： x=2 3（重庆市）方程的解是 _ 。考点：分式方程的解法评析：思路：本题运用等式的性质两边乘以x(x 1)化分式方程为整式方程，然后求解。说明：右边的 1 必须乘以 x(x 1) 同时要进行验根。答案： x24(

19、吉林省 ) 解方程：。考点：分式方程。评析思路，根据方程的形式可知用换元法解本方程，设，方程变为关于 y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页精品资料欢迎下载的整式方程，然后求解。说明：分式方程一定要检验。答案： x=2 或 x=5（辽宁省）用换元法解方程. 考点：分式方程的解法换元法评析思路：设，原方程可变为关于y 的一元二次方程是y2-5y-6=0.该题用换元法变为整式方程将用 y 代替即可。答案： x= 或 x=6 （安徽省）解方程+ = 时，设 y=, 则原方程可化为：（）A、5y2+5y-26=0 B、5y

20、2+y-26=0 C、5y2-y-26=0 D、5y2-26y+5=0 考点：换元法解分式方程评析: 原方程是一个分式方程，其中两个分式互为倒数，当设y=时，原方程变为 y+ = 化简得 5y226y+5=0，所以正确选项是D 分式方程（组）的特殊解法吴行民 王爱灵同学们已经知道， 把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程，是解分式方程的基本思路。而对于一些特殊的分式方程（组），我们还可以根据它的特精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页精品资料欢迎下载征，采取灵活多变的方法求解。下面以课本习题、中考题和

21、竞赛题为例，介绍解分式方程（组）的若干特殊方法与技巧。一、观察法例 1、解关于 x 的方程：精讲与解：由限制条件和方程两边a，b 及 x 的“对称”关系不难看出，当x=ab时等式成立。而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程，最多只有一个解，故原方程的解是 x=ab。二、拆项法例 2、解方程：。精讲与解：先注意，将左边第一个分式“一分为二”，就可以避开“去分母”而另辟新路。原方程可化为，即 1=8，这是不可能的，故原方程无解。试一试：解方程：。提示：将拆成。三、添项法例 3、解方程：。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共

22、17 页精品资料欢迎下载精讲与解：原方程可化为。即。解之，得 x=7。经检验， x=7 是原方程的解。试一试：用拆项法来解此题。四、消去常数法例 4、解方程组：精讲与解：两个方程左边的分母都是x+y 和，右边的常数都是3，因此，消去常数就能得到 x、y 之间更为明显的数量关系。，得。去分母、整理，得x=6y。代入，解之得。故 x=18。经检验，是原方程组的解。五、整体消元法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页精品资料欢迎下载例 5、解方程组：精讲与解： 常规方法是通过换元化为二元一次方程组求解。 如果把“”看成一个

23、整体，代入消元，则更加简捷。将代入，得，解之，得 x=18。把 x=18 代入，得 y=9。经检验，是原方程组的解。六、倒数法例 6、解方程组：精讲与解：对每一个方程进行取倒数处理，原方程组可化为+，整理，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页精品资料欢迎下载分别减去、，可得经检验，它们是原方程组的解。该题应用两个数相等（ 0 除外），这两个数的倒数也相等这一关系，对原方程组进行简化，从而找到了解题的简捷方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页