2022年北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载cbaDCAB第一章勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm和 4cm的直角 ABC ，量 AB的长；一个直角边为5 和 12 的直角 ABC ，量 AB的长发现 32+42与 52的关系， 52+122和 132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即： a2+b2c2）1如图，直角ABC的主要性质是：C=90， （用几何语言表示）两锐角之间的关系：；若 D为斜边中点，则斜边中线；若 B=30，则 B的对边和斜边：； （给出证明）三边之间的关系：。知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例

2、 1。已知：在 ABC中， C=90 ， A、 B、 C的对边为a、b、 c。求证： a2b2=c2。证明：例 2。已知：在 ABC中， C=90 ， A、 B、 C的对边为a、b、 c。求证： a2b2=c2。证明：知识点四：勾股定理简单应用在 RtABC中， C=90(1) 已知： a=6, b=8 ，求 c (2) 已知： b=5，c=13，求 a 知识点五：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为cba,，满足222cba，那么，这个三角形是直角三角形bbbbccccaaaabbbbaaccaaACBD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

3、第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载A B 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：先找出最大边（如c）计算2c与22ab，并验证是否相等。若2c=22ab，则 ABC是直角三角形。若2c22ab，则 ABC不是直角三角形。1. 下列各组数中，以a，b， c 为边的三角形不是Rt的是（） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 2. 三角形的三边长为abcba2)(22, 则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形3. 已知0)10(862zyx , 则

4、由此zyx,为三边的三角形是三角形 . 知识点六：勾股数（1）满足222cba的三个正整数，称为勾股数（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5 是勾股数， 6、8、10 也是勾股数（3）常见的勾股数有：3、4、55、12、13； 8、 15、17； 7、24、25；11、 60、61； 9、40、411. 设a、b、c是直角三角形的三边, 则a、b、c不可能的是（） . A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15 1.若线段 a，b，c 组成 Rt，则它们的比可以是（）A.2 34 B.34 6 C.51213 D.467 知识点七：确定最短路线

5、1. 一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm, 有一只甲虫从A出发，沿表面爬到C，最近距离是多少？2. 如图 , 一圆柱高 8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点 B处吃食 , 要爬行的最短路程（取 3）是 . 知识点八：逆定理判断垂直1在ABC中，已知AB2BC2CA2，则ABC的形状是 ( ) A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D无法确定2如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D 以上答案都不对知识点九：勾股定理应用题1. 在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意

6、思是：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ABCDABCDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载5 米3 米2. 如图为某楼梯 , 测得楼梯的长为5米, 高 3米, 计划在楼梯表面铺地毯, 地毯的长度至少需要_米. 3. 一根直立的桅杆原长25m ，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4. 某中学八年级学生想知道学

7、校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 米，当他们把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数: 7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n 均为正整数 ,mn); 2a,12a,22a. 其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A. ; B. ; C. ; D.2 已知一个Rt的两边长分别为3 和 4，则第三边长的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7 或 25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

8、3 页，共 11 页学习必备欢迎下载3. 三角形的三边长为abcba2)(22, 则这个三角形是( ) A. 等边三角形 ; B. 钝角三角形 ; C. 直角三角形 ; D. 锐角三角形 . 4. ABC的三边为a、b、c 且(a+b)(a-b)=c2，则 ( ) A.a 边的对角是直角 B.b边的对角是直角C.c 边的对角是直角 D.是斜三角形5. 以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（）6、7、8， 8、15、17， 7、24、25， 12、35、37， 9、40、41 A、 1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个6. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形

9、是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7. 若 ABC 的三边 a、 b、 c满足 (a-b)(a2+b2-c2)=0， 则 ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8. 如图，C=B=90，AB=5，BC=8，CD=11，则AD的长为（）A、 10 B、11 C、12 D、13 9. 如图、 山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树 , 则从上到下共 ( ) A、 19 棵 B、20 棵 C、21 棵 D、22 棵10.Rt ABC中，C=90，A、B、C

10、所对的边分别是a、b、c，若c=2，则2a+2b+2c的值是（）A、 6 B、8 C、10 D、4 11. 下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（）、 9，12，15 B、45，1，43 C、0.2 ，0.3 ，0.4 D、 40，41，9 12. 已知，一轮船以16 海里 / 时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 海里 / 时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距（）A.25 海里B.30 海里C.35 海里D.40 海里二、填空题1. 在 RtABC中， C=90 ，若a=5，b=12，则 c=_；若 a=15，c=25，则 b=_；若

11、c=61，b=60，则 a=_；若 ab=3 4，c=10 则 SRt ABC=_ 2. 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为cm3. 勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明4. 如图中字母所代表的正方形的面积：A= B= 5. 在ABC中，C90，若a5，b 12，则c6. ABC 中， AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高 AD= ，SABC = 。7. 在RtABC 中，有一边是 2，另一边是 3，则第三边的平方是。8. 在 ABC中， AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9

12、 cm，这是一个 _三角形（按角分） 。9. 已知一个三角形的三边长分别是12cm， 16cm ，20cm ，则这个三角形的面积为。三、简答题1. 判断正误，并指出为什么？（1） ABC的两边为 3 和 4，求第三边解：由于三角形的两边为3 和 4，所以它的第三边c 为 5。400225AB81225精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）若已知 ABC为直角三角形，则第三边为5 2. 在 ABC 中， BC=m2-n2，AC=2mn ，AB=m2+n2(mn)。求证： ABC 是直角三角形。3.

13、求斜边长17 厘米，一条直角边长15 厘米的直角三角形的面积( 画图求解 ) 4. 已知一艘轮船以16/km h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12/km h的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？(画图求解 ) 5. 如图，一根旗杆在离地面9 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处，旗杆折断之前有多高？6. 如图，在四边形ABCD 中， BAD =90， DBC =90， AD = 3 ，AB = 4 ，BC = 12 ，求 CD ；家庭作业：一、基础达标 : 1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b、c 是 ABC的三边，则a2b2c2； B

14、.若 a 、b、c 是 RtABC的三边，则a2b2c2；C.若 a 、b、c 是 RtABC的三边，90A，则 a2b2c2；D.若 a 、b、c 是 RtABC的三边，90C，则 a2 b2 c22. ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）DABC12米 9米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载3m4m 20m AcbaB. cbaC. cbaD. 222cba3直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A 121 B120 C 90 D不能确定4

15、斜边的边长为cm17，一条直角边长为cm8的直角三角形的面积是5假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足，其中边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a、b、c满足222bca，那么这个三角形是三角形，其中b边是边，b边所对的角是6一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形7如图，已知ABC中，90C，15BA，12AC，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是8 一长方形的一边长为cm3，面积为212cm，那么它的一条对角线长是二、 综合发展 : 1如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长2. 一个三角形三条边的长分别为cm

16、15，cm20，cm25，这个三角形最长边上的高是多少？3如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高 3m ，长 20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 4如图， 有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高 8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？勾股定理综合二1如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6， BC=8。现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，则 CD等于2已知，如图长方形ABCD 中， AB=3cm，

17、AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与 D重合，折痕为EF，则 ABE的面积为（）cm23已知：将正长方形纸片ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在F处. 若长方形长为4，宽为 3，求DE. ACBA C D BE 1 题A B C D E F A B E F D C 第 2 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载4已知：如图，ABC中，C90o，AD是角平分线，CD15，BD 25求AC的长分类讨论思想1 在 RtABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为2在 RtABC

18、中，已知两边长为5、12，则第三边的长为3等腰三角形的两边长为10 和 12，则周长为 _，底边上的高是_，面积是 _。4. 一个直角三角形，有两边长分别为6 和 8，下列说法正确的是（）A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10 确定三角形形状1已知 a、 b、c 是 ABC的三边，且a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状2. 在 ABC中，BC=1997 ，AC=1998 ，AB2=1997+1998，则 ABC是否为直角三角形？为什么？3. 若 ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，

19、则 ABC为三角形（填锐角、直角或钝角）4. 已知三角形的三边分别是n-2 ， n，n+2，当 n 是多少时，三角形是一个直角三角形？最短距离问题1. 如图， A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米， BD=30千米，且 CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3 万，请你在河流CD上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？2. 如图，一个牧童在小河的南4km的 A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？A B

20、 C D L 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载3. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6 ，BD=8 ，点 E、F 分别是边AB 、 BC的中点，点P在 AC上运动，在运动过程中，存在 PE+PF的最小值，则这个最小值是4. 如图，在直角ABC中， AB=4， BAC=45 ， BAC的平分线交BC于点 D， M 、N分别是 AD和 AB上的动点，则BM+MN 的最小值是（）5. 如图，在正方形ABCD的边 AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，

21、如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第n个正方形的面积为综合练习三一、选择题1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（ A）30 （B）28 （ C ）56 （D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm 3. 已知一个Rt的两边长分别为3 和 4，则第三边长的平方是（） （A）25 （B）14 （ C）7 （D）7 或 25 4. 等腰三角形的腰长为10, 底长为 12, 则其底边上的高为( ) （A） 13 （ B）8 （C ） 25 （D

22、） 64 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15， 20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载A B D C E 5米3 米DCBA715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) （A） 钝角三角形（B） 锐角三角形（C） 直角三角形（D） 等腰三角形 . 7. 如图小方格都是边长为1 的正方形 , 则四边形ABCD 的面积是 (

23、 ) （A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5 8. 三角形的三边长为abcba2)(22, 则这个三角形是( ) （A） 等边三角形（B） 钝角三角形（ C） 直角三角形（D） 锐角三角形 . 9. ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地. 已知 C=90 ，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）. （A）50a元（B） 600a元（C）1200a元（D）1500a元10. 如图， AB CD于 B， ABD和 BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17 ，BE=5 ，那么 AC的长为（） . （A）12 （B

24、 ） 7 （ C）5 （D）13 （第 10 题）（第 11 题）（第 14 题）二、填空题11. 如图为某楼梯 , 测得楼梯的长为5米, 高3米, 计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米. 12. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则222ABACBC=_. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 . 14. 如图，在 ABC中， C=90， BC=3 ，AC=4.以斜边 AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是_. （第 15 题）（第 16 题）（第 17 题）15. 如图，校园内有两棵树，相距12 米，一棵树高13 米，另一棵树高8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树

25、的顶端，小鸟至少要飞_米. 16. 如图，ABC中，C=90，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于 _. E A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载A B C D L 第 21 题图17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是_. 18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B， C，D的面积之和为_cm2. 三、解答题19. 11世纪的一位阿拉伯数学家

26、曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望. 一棵树高是30 肘尺（肘尺是古代的长度单位） ，另外一棵高20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50 肘尺 . 每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标. 问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4. 求这个三角形各边的长. 21. 如图， A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米， BD=30千米，且 CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设

27、水管的费用为每千米3 万，请你在河流CD上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，ADC=90 ， AD=12m ， CD=9m ， AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。A B C D 第18题图7cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载23. 如图， 一架 2.5 米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 米，那么梯足将向外移多少米？CA1B1ABCADB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页