2022年分式方程培优讲义 .pdf

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1、精品资料欢迎下载分式方程拔高讲练一、含有参数方程1若关于 x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是2分式方程=1的根为3若数 a 使关于 x 的分式方程+=4 的解为正数， 且使关于 y 的不等式组的解集为 y2，则符合条件的所有整数a 的和为二、方程无解1若关于 x 的方程=1 无解，则 m的值是2若=0 无解，则 m的值是3若关于 x 的分式方程=无解，求 a= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页精品资料欢迎下载三、有增根1、如果解关于 x 的分式方程=1时出现增根，那么m的值为2、关于 x 的分式方程有

2、增根，则增根为3、若关于 x 的方程有增根，则 m的值是4、解关于 x 的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程1已知在方程x2+2x+=3 中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是2、用换元法解方程2?+1=0时应设 y= 3如果实数 x 满足（ x+）2（x+）2=0，那么 x+的值是四、实际问题1某服装店用 10000 元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700 元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40% ，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10 元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进 x 件衬衫，则所列方程为（）A10= B+

3、10=C10= D+10=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页精品资料欢迎下载2一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km 所用时间相等设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A= B=C = D=3甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6 个，甲做 90 个所用的时间与乙 60 个所用的时间相等设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是（）A B C D 420XX年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木 3

4、0 万棵，由于志愿者的加入， 实际每天植树比原计划多20% ，结果提前 5 天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（）A=5 B=5 C +5= D=5 5西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车 3 小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作 1.2 小时清理完另一半垃圾设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根据题意可列出方程为（）A+=1 B+= C+= D+=1 【同步训练】1如果关于 x 的不等式组的解集为 x1，且关于 x 的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A2 B 4 C7 D8 2从2、

5、1、0、2、5 这一个数中，随机抽取一个数记为m ，若数 m使关于 x的不等式组无解，且使关于 x 的分式方程+=1 有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A1 B2 C3 D4 3若关于 x 的分式方程+3=无解，则实数 m= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页精品资料欢迎下载4 若关于 x 的分式方程+=3的解为正实数，则实数 m的取值范围是5甲、乙工程队分别承接了160 米、200 米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设 5 米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设

6、 x 米，根据题意可列出方程：6某市为绿化环境计划植树2400 棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20% ，结果提前 8 天完成任务若设原计划每天植树x 棵，则根据题意可列方程为7关于 x 的方程： x+=c+的解是 x1=c，x2=；x=c的解是 x1=c，x2=，则 x+=c+的解是 x1=c，x2= 8若数 a 使关于 x 的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2 有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A3 B1 C0 D 3 9如图， RtABC 中， B=90，AB=3cm ，BC=4cm 点 D在 AC上，AD=1cm ，点P从点 A出发，沿 AB匀

7、速运动；点 Q从点 C出发，沿 CBAC的路径匀速运动两点同时出发， 在 B点处首次相遇后， 点 P的运动速度每秒提高了2cm ，并沿 BC A 的路径匀速运动；点 Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在 D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为 xcm/s（1）点 Q的速度为cm/s（用含 x 的代数式表示）（2）求点 P原来的速度12定义新运算：对于任意实数a，b（其中 a0） ，都有 a?b=，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=+=1（1）求（ 2）?3 的值；（2）若 x?2=1，求 x 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

8、 - - - - - -第 4 页，共 15 页精品资料欢迎下载20XX年 12 月 02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1若关于 x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（）Aa1 Ba1 Ca1 且 a4 D a1 且 a4 【解答】 解：去分母得： 2（2xa）=x2，解得： x=，由题意得：0 且2，解得： a1 且 a4，故选： C2若数 a 使关于 x 的分式方程+=4 的解为正数， 且使关于 y 的不等式组的解集为 y2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A10 B12 C 14 D16 【解答】 解：分式方程+=4的解为 x=且 x1，关于 x

9、 的分式方程+=4的解为正数，0 且1，a6 且 a2，解不等式得： y2；解不等式得： ya关于 y 的不等式组的解集为 y2，a22a6 且 a2a 为整数，a=2、1、0、1、3、4、5，（2）+（1）+0+1+3+4+5=10 故选 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页精品资料欢迎下载3若数 a 使关于 x 的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A3 B1 C 0 D3 【解答】 解：解不等式组，可得，不等式组有且仅有四个整数解，10，4a3

10、，解分式方程+=2，可得 y=（a+2） ，又分式方程有非负数解，y0，且 y2，即（a+2）0，（a+2）2，解得 a2 且 a2，2a3，且 a2，满足条件的整数a 的值为 2，1，0，1，3，满足条件的整数a 的值之和是 1故选： B4分式方程=1的根为（）A1 或 3 B1 C3 D1 或3 【解答】 解：去分母得： 3=x2+x3x，解得： x=1 或 x=3，经检验 x=1 是增根，分式方程的根为x=3，故选 C 5如果解关于 x 的分式方程=1时出现增根，那么m的值为（）A2 B2 C 4 D4 【解答】 解：=1，去分母，方程两边同时乘以x2，得：m+2x=x 2，由分母可知，

11、分式方程的增根可能是2，当 x=2 时，m+4=2 2，m= 4，故选 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页精品资料欢迎下载6某服装店用 10000 元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700 元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40% ，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10 元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（）A10=B+10=C10=D+10=【解答】 解：设第一批购进 x 件衬衫，则所列方程为：+10=故选： B7一艘轮船在静水中的最大航速为35k

12、m/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等 设江水的流速为 v km/h，则可列方程为（）A= B=C= D=【解答】 解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，故选： D8甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6 个，甲做 90 个所用的时间与乙 60 个所用的时间相等设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是（）ABC D【解答】 解：设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（x6）个零件，由题意得，=故选 A920XX年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木 30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原

13、计划多20% ，结果提前 5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（）A=5 B=5 C+5=D =5 【解答】 解：设原计划每天植树x 万棵，需要天完成，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页精品资料欢迎下载实际每天植树（ x+0.2x ）万棵，需要天完成，提前 5 天完成任务，=5，故选（ A）10西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车 3 小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作 1.2 小时清理完另一半垃圾 设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小

14、时，根据题意可列出方程为（）A+=1 B+=C +=D+=1 【解答】 解：由题意可得，故选 B11若关于 x 的方程=1 无解，则 m的值是（）Am= Bm=3 C m= 或 1 Dm= 或 3 【解答】 解：去分母得： 32x+mx 2=x+3，整理得： （m 1）x=2，当 m 1=0，即 m=1时，方程无解；当 m 11 时，x3=0，即 x=3 时，方程无解，此时=3，即 m= ，故选 C 12若=0无解，则 m的值是（）A2 B2 C 3 D3 【解答】 解：方程两边都乘（ x4）得：m+1 x=0，方程无解，x4=0，即 x=4，m+1 4=0，即 m=3 ，故选 C13如果关于

15、 x 的不等式组的解集为 x1，且关于 x 的分式方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页精品资料欢迎下载+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A2 B4 C7 D8 【解答】 解：，解得 xm ，解得 x1不等式组的解集是x1，则 m 1解方程+=3，去分母，得 1xm=3 （2x） ，去括号，得 1xm=6 3x，移项，得 x+3x=61+m ，合并同类项，得 2x=5+m ，系数化成 1 得 x=分式方程+=3有非负整数解，5+m 0，m 5，5m 1，m= 5，3，1，符合条件的 m的所有值的和

16、是 7，故选 C14从 2、1、0、2、5 这一个数中，随机抽取一个数记为m ，若数 m使关于x 的不等式组无解，且使关于x 的分式方程+=1 有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A1 B2 C 3 D4 【解答】 解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到m+2 2m 1，解得： m 1，即 m= 1，0，2，5，分式方程去分母得： xm+2= x+2，即 x=m ，把 m= 1 代入得： x=，不符合题意；把 m=0代入得： x=0，符合题意；把 m=2代入得： x=1，符合题意；把 m=5代入得： x=2.5，不符合题意，则所有满足条件 m的个数是 2，故选 B 精选

17、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页精品资料欢迎下载二填空题（共15小题）15若关于 x 的分式方程+3=无解，则实数 m= 3 或 7 【解答】 解：方程去分母得： 7+3（x1）=mx ，整理，得（ m 3）x=4，当整式方程无解时， m 3=0，m=3 ；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，m 3=4，m=7 ，m的值为 3 或 7故答案为 3 或 716若关于 x 的分式方程+=3 的解为正实数， 则实数 m的取值范围是m6 且 m 2 【解答】 解：+=3，方程两边同乘（ x2）得， x+m 2m=3x

18、6，解得， x=，2，m 2，由题意得，0，解得， m 6，故答案为： m 6 且 m 217甲、乙工程队分别承接了160米、200 米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设 5 米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设 x 米，根据题意可列出方程：=【解答】 解：设甲工程队每天铺设x 米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=故答案是：=18某市为绿化环境计划植树2400 棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20% ，结果提前 8 天完成任务若设原计划每天植树x 棵，则根据题意可列方程为=8 【解答】 解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树（ 1+20%

19、）x=1.2x ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页精品资料欢迎下载根据题意可得：=8，故答案为：=819 若关于 x 的分式方程=2的解为非负数， 则 m的取值范围是m 1 且 m1 【解答】 解：去分母得， m 1=2（x1） ，x=，方程的解是非负数，m+1 0 即 m 1 又因为 x10，x1，1，m 1，则 m的取值范围是 m 1 且 m 1故选： m 1且 m 120若关于 x 的分式方程+=2有整数解， 整数 m的值是1，3，4，2，6 【解答】 解：去分母得： mx 1+1=2x4，整理得： （m

20、 2）x=4，解得： x=，由分式方程有整数解，得到m 2=1，1，2，2，4，4，且 x20，解得： m=1 ，3，4，2，6，故答案为： 1，3，4，2，6 21已知在方程 x2+2x+=3 中，如果设 y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是y23y+2=0 【解答】 解：设 y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，去分母，得 y23y+2=0故答案是： y23y+2=022用换元法解方程2?+1=0时应设 y= 【解答】 解：设 y=，则原方程变为 y+1=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页

21、精品资料欢迎下载故答案为：23如果实数 x 满足（x+）2（x+）2=0，那么 x+的值是2 【解答】 解：设 x+=u，原方程等价于 u2u2=0，解得 u=2 或 u=1，x+=2或 x+=1（不符合题意，舍），故答案为： 224关于 x 的分式方程有增根，则增根为x=1 【解答】 解：原方程有增根，最简公分母 x1=0，解得 x=1故答案为 x=125若关于 x 的方程有增根，则 m的值是4 【解答】 解：方程两边都乘（ x2） ，得 x+2=m 原方程有增根，最简公分母（ x2）=0，解得 x=2，当 x=2 时，m=2+2+4 ，故答案为： 426若分式方程的解为正数， 则 a的取值

22、范围是a8，且 a4 【解答】 解：分式方程去分母得： x=2x8+a，解得： x=8a，根据题意得： 8a0，8a4，解得： a8，且 a4故答案为： a8，且 a427关于 x 的方程： x+=c+ 的解是 x1=c，x2=；x=c的解是 x1=c，x2=，则 x+=c+的解是 x1=c，x2= 3+【解答】 解：x+=c+的解是 x1=c，x2=；x=c的解是 x1=c，x2=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页精品资料欢迎下载x+=c+可化为 x3+=c3+，x+=c+的解是 x1=c，x2=3+，故答案

23、为 3+28若关于 x 的分式方程=无解，求 a= 1 或 2 【解答】 解：去分母得： 3xa（x2）=2，即（ a+1）x=2a+5，当 a=1 时，显然方程无解；当 a1 时，x=，当 x=2 时，a 不存在；当 x=3 时，a=2，综上， a 的值为 1 或 2故答案为 1 或 229解关于 x 的方程+=产生增根，则常数a= 4 或 6 【解答】 解：去分母得： 2x+4+ax=3x6，由分式方程有增根，得到（x+2） （x2）=0，即 x=2 或 x=2，把 x=2 代入得： 8+2a=0 ，即 a=4；把 x=2 代入得： 2a=12，即 a=6，综上，常数 a=4 或 6，故答

24、案为： 4 或 6 三解答题（共6 小题）30如图， RtABC中， B=90 ，AB=3cm ，BC=4cm 点 D在 AC上，AD=1cm ，点 P从点 A出发，沿 AB匀速运动； 点 Q从点 C出发，沿 CBAC的路径匀速运动两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm ，并沿 BCA的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在 D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为 xcm/s（1）点 Q的速度为x cm/s（用含 x 的代数式表示）（2）求点 P原来的速度【解答】 解： （1）设点 Q的速度为 ycm/s，精选学习资料 - - - - -

25、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页精品资料欢迎下载由题意得 3x=4y，y=x，故答案为：x；（2）AC=5，CD=5 1=4，在 B点处首次相遇后，点P的运动速度为（ x+2）cm/s，由题意得=，解得： x=（cm/s） ，经检验 x=是原方程的根，答：点 P原来的速度为cm/s31若关于 x 的方程=1的根是 2，求（ m 4）22m+8的值【解答】 解：关于 x 的方程=1的根是 2，把 x=2 代入方程得： 2=1，解得： m=4 ，则（m 4）22m+8= （44）224+8=032设 A=，B=（1）求 A与 B的差；（2）若 A

26、与 B的值相等，求 x 的值【解答】 解： （1）AB=（2）A=B 去分母，得 2（x+1）=x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页精品资料欢迎下载去括号，得 2x+2=x 移项、合并同类项，得x=2 经检验 x=2 是原方程的解33定义新运算：对于任意实数a，b（其中 a0） ，都有 a?b=，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=+=1（1）求（ 2）?3 的值；（2）若 x?2=1，求 x 的值【解答】 解： （1）原式=3 （2）由题意可知：=1 1（x2）=x 1x+2=x x=经检验， x=是原方程的解，34 （1）计算： （2）0+（1）2013（2）解分式方程：=1【解答】 解： （1）原式=1+214 =2；（2）去分母得 x（x1）（ x+1）=（x+1） （x1） ，解得 x=0，经检验， x=0为原方程的根35解方程：+=【解答】 解：去分母得： x4+x3=2x6，解得： x=，经检验 x=是分式方程的解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页