2022年华南理工大学《高等数学》期末试题及答案三 .pdf

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1、高等数学（下册）测试题三一、填空题1若函数22( , )22f x yxaxxyy在点(1, 1)处取得极值，则常数a52设1( )e dxyxf xy，则10( )f x dx12e3设 S是立方体1,0zyx的边界外侧，则曲面积分567d dd dd dsxy zyz xzx y 3 4设幂级数0nnna x的收敛半径为3，则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为2,45微分方程2434exyyyx用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为24exyx axbxc二、选择题1函数22222222sin 2(),0,( , )0,2,xyxyfx yxyxy在点(0,0)处（ D ） （

2、A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续2设sec(1)zxy，则zx（ B ） （A）sec(1)tan(1)xyxy；（B）sec(1)tan(1)yxyxy；（C）2tan (1)yxy；（D ）2tan (1)yxy3两个圆柱体222xyR，222xzR公共部分的体积V为（ B ） （A）2222002ddRRxxRxy；（B）2222008ddRRxxRxy；（C）222222ddRRxRRxxRxy；（D）2222224ddRRxRRxxRxy4若0na，1nnkkSa，则数列nS有界是级数收敛的（ A ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

3、纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页（A）充分必要条件；（ B）充分条件，但非必要条件；（C）必要条件， 但非充分条件；（D）既非充分条件， 又非必要条件5函数sinyCx（C为任意常数）是微分方程22dsindyxx的（ C ） （A）通解；（B ）特解；（C）是解，但既非通解也非特解；（D）不是解三、 求曲面ee4xyzz上点0(ln 2,ln 2,1)M处的切平面和法线方程解：022M11e,e,ee2,2,4ln 2 / 1,1, 2ln 2xyxyzzzzxynzzzz切平面为ln2ln22ln212 ln20 xyzxyz法线为1ln 2ln 22ln 2zxy

4、四、 求通过直线0:20 xyLxyz的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线1:Lxyz解：设过直线L的平面束为20,xyzxy即1120,1,1,1xyzn第一个平面平行于直线1:Lxyz，即有111,1,11,1,1210,2n s从而第一个平面为1111120,324,1, 3,223xyzxyzn第二个平面要与第一个平面垂直，也即11, 3,21,1,11332260,3n n从而第二个平面为4220 xyz五、求微分方程430yyy的解，使得该解所表示的曲线在点(0, 2)处与直线2240 xy相切解：直线2240 xy为2,1yxk，从而有定解条件01,02yy，特征方程为2

5、12430,310,3,1rrrrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页方程通解为312xxyc ec e，由定解的初值条件122cc3123xxyc ec e，由定解的初值条件1231cc从而1215,22cc，特解为31522xxyee六、设函数( )f u有二阶连续导数，而函数(e sin)xzfy满足方程22222exzzzxy试求出函数( )f u解：因为222sin,sinsinxxxzzfu eyfueyfu eyxx222cos ,cos( sin )xxxzzfu eyfueyfu eyyy2222

6、22( )e ,( )0 xxzzfu ef ufuf uxy特征方程为2121210,1,1,uurrrfuc ec e七、计算曲面积分222(coscoscos )dSxyyxz，其中是球体2222xyzz与锥体22zxy的公共部分的表面，cos，cos，cos是其外法线方向的方向余弦解：两表面的交线为22222212222122 ,0,1,1xyzzxyzz zzzzxy原式222xyz dv，投影域为22:1D xy，用柱坐标2: 02 ,01,11rrzr原式22211111122200022rrrrdrdrrz dzr r zzdr122222021111r rrrrrdr精选学习

7、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页113134220013 122ttdtrrrdr11532452200221113125345ttrrr21181127022154551010另解：用球坐标:02 ,0,02cos4原式2cos24222000sin2cossinddd2cos4433002sin2cos sindd545735022coscos2 coscos5d116845722229494216555658ttttdt1682231161010tt2710八、试将函数20()edxtfxt展成x的幂级数（要求写出该

8、幂级数的一般项并指出其收敛区间） 解：2200n=01()eddn!nxxtnfxttt21n=01,! 21nnxxnn九、判断级数)0, 0(1nnn的敛散性解：11limlim1nnnnnnunun当01,1，级数收敛；当1,1，级数发散；当1,1时级数收敛；当1,01时级数发散精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页十、计算曲线积分222(1e)d(e1)dyyLxxxy，其中L为22(2)4xy在第一象限内逆时针方向的半圆弧解：再取1:0, :04Lyx，围成半圆的正向边界则 原式11222(1e)d(e1)dy

9、yLLLxxxy44200101122Ddxdyx dxxx十一 、求曲面S：222124xzy到平面：2250 xyz的最短距离解：问题即求225441xyzd在约束222124xzy下的最小值可先求22, ,9225fx y zdxyz在约束222124xzy下的最小值点取2222, ,225124xzL x y zxyzy4 2250,4 22520,xyLxyzxLxyzy2222 2250,1224zzxzLxyzy0时212,41,12xyzyyxz，2 1 1521 151111,13,1, 123233dd这也说明了0是不可能的，因为平面与曲面最小距离为13。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页