2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习32：中位线 .pdf

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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（32）中位线一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直

2、线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5. 有关线段中点的其他定理还有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。二、例题例1. 已知： ABC 中，分别以 AB 、AC为斜边作等腰直角三角形ABM 和 CAN ，P是 BC的中点。求证：PM PN 证明：作 ME AB ，NF AC ，垂足 E，F ABM 、CAN 是等腰直角三角形AE EB ME ，AF FC NF ，根据三角形中位线性质PE 21AC NF ，PF 21A

3、B ME PE AC ，PFAB PEB BAC PFC 即PEM PFN PEM PFN ABCMNPEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页PM PN 例 2. 已知 ABC中，AB 10，AC 7，AD是角平分线， CM AD于 M ，且 N是 BC的中点。求 MN 的长。分析：N是 BC的中点，若 M是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN的长，根据轴称性质作出 AMC 的全等三角形即可。辅助线是：延长 CM交 AB于 E（证明略）例 3. 求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。已知：梯形 A

4、BCD 中，AB CD ，M 、N分别是 AC 、BD的中点求证：MN AB CD ，MN 21（AB CD ）分析一： M是 AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质。连结 CN并延长交 AB于 E（如图 1）证 BNE DNC 可得 N是 CE的中点。 （证明略）分析二：图 2 与图 1 思路一样。分析三：直接选择 ABC ，取 BC中点 P连结 MP 和 NP ，证明 M ，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。例4. 如图已知： ABC中，AD是角平分线， BE CF ，M 、N分别是 BC和 EF的中点求证：MN AD 证明一：连结 EC ，取 E

5、C的中点 P，连结 PM 、PN MP AB ，MP 21AB ，NP AC ，NP 21AC BE CF ，MP NP 3=4=2MPN-180MPN BAC 180 （两边分平行的两个角相等或互补）1=2=2MPN-180，2=3 4321ABCDEFMNP321NABCDEABCDEABCDMNMMNE7101 2ABCDMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页NP AC MN AD 证明二：连结并延长EM到 G ，使 MG ME连结 CG ，FG 则 MN FG ，MCG MBE CG BE CF BBCG A

6、B CG ，BAC FCG 180CAD 21（180 FCG ）CFG 21（180 FCG ）=CAD MN AD 例5. 已知： ABC 中，AB AC ，AD是高，CE是角平分线， EF BC于 F，GE CE交 CB的延长线于 G 求证： FD 41CG 证明要点是：延长GE交 AC于 H，可证 E是 GH的中点过点 E作 EM GC交 HC于 M ，则 M是 HC的中点， EM GC ，EM 21GC 由矩形 EFDO 可得 FD EO 21EM 41GC 三、练习 32 1. 已知 E、F、G 、H是四边形 ABCD 各边的中点则四边形 EFGH 是形当 AC BD时，四边形 E

7、FGH 是形当 AC BD时，四边形 EFGH 是形当 AC和 BD 时，四边形EFGH 是正方形形。2. 求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。3. 已知 AD是锐角三角形 ABC的高， E，F，G分别是边 BC ，CA ，AB的中点，证明顺次连结E，F，G ，H 所成的四边形是等腰梯形。4.已知：经过 ABC顶点 A任作一直线 a, 过 B，C两点作直线 a 的垂线段BB，和 CC，设 M是BC的中点，求证： MB，MC，MjABCGDEFNO21ABCGDEFHMABCDMENABCDEFGH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

8、3 页，共 5 页5. 如图已知 ABC中，AD BE ，DM EN BC 求证 BC DM EN 6. 如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段 AE ，BF，CG ，DH 。求证 AE CG BF DH 7. 如图已知 D是 AB的中点， F是 DE的中点，求证 BC 2CE 8. 平行四边形 ABCD 中，M ，N分别是 BC 、CD的中点，求证 AC平分 MN 9. 已知 ABC 中，D是边 BC上的任一点， M ，N，P，Q分别是 BC ，AD ，AC ，MN 的中点，求证直线PQ平分 BD 。10.等腰梯形 ABCD 中，AB CD ，AD BC ，点 O

9、是 AC和 BD的交点， AOB 60 ，P，Q ，R分别是 AO ，BC ，DO的中点，求证 PQR 是等边三角形。11.已知： ABC 中，AD是高， AE是中线，且 AD ，AE三等分 BAC ，求证： ABC是 Rt。12.已知：在锐角三角形ABC中，高 AD和中线 BE相交于 O ，BOD 60 ，求证 AD BE 13.如图已知：四边形 ABCD 中，AD BC ，点 E、F 分别是 AB 、CD的中点， MN EF 求证： DMN CNM DABCFEMNR60OABCDPQS(9)ABCDMNPRAoBCDaGHED1FF(7)ABCED8ODABCMN精选学习资料 - - -

10、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页练习 32 参考答案：1.平行四边形菱形矩形相等且互相垂直2.取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边3.DG EF 21AB 4.过点 M作 a 的垂线 , 必平分 B，C，5.ABC 的中位线也是梯形BCD，D中位线6.同上，有公共中位线7.取 BC中点 G ，连结 DG 8.连结 BD交 AC于 O ，易证四边形 MCNO 是平行四边形9.证四边形 MPNS 是平行四边形10. COD 是等边三角形， CR DO ，RQ 21BC ，11. 作 EF AC ，EFED 21EC ，C30 ，12. 作 EF BC于 F，AD ，BE都等于 2EF 13. 过 AC的中点 O作 MN 的平行线，则 OE OF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页