2022年第十五章分式与分式方程马英 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 15 章 分式【知识精讲】15.1.1 从分数到分式分式的概念： _ 拓展：分式与分数的区别：_ 分式有意义的条件： _ 变形考察：_0_0_的情况：分式值不为的条件：分式值为分式无意义的条件：分式有意义的条件：15.1.2 分式的基本性质1. 分式的基本性质： _ 2. 分式的符号法则： _ 3. 分式的约分： _ 4. 分数的通分： _ 15.2 分式的运算1. 分式的乘除运算： _ 2. 分式的乘方： _ 3. 分式的加减运算： _ 4. 分式的混合运算： _ 5. 整数指数幂： _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

2、- -第 1 页，共 23 页学习必备欢迎下载6. 科学计数法： _ 15.3 分式方程1. 分式方程基础概念： _ 2. 解分式方程的基本步骤：_ 注意点： _ 3. 无解与增根： _ 15.1.1 从分数到分式1. 分式的概念： _ 拓展：分式与分数的区别：_ 2. 分式有意义的条件： _ 变形考察：_0_0_的情况：分式值不为的条件：分式值为分式无意义的条件：分式有意义的条件：【典例分析】考点一：分式的识别（注意：_) 例 1. 在有理式yyxxyxyxyxyyxyxab2222,5,2159,23, ,321,2,2中，分式有个. 练习： 1. 判断下列各式，哪些是整式，哪些是分式？精

3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页学习必备欢迎下载,7,49 ,21,3,22xxxaaxxyyx，1x,)(22baba,312122baab1290 x,242aa,1322ba考点二：分式有（无意义的条件）及值为零需满足的条件题型一：分式有意义的条件（注意“且”“或” ；注意：不能化简）例 1、当 x取什么值时，下列分式有意义：32443(3)1453(2)2(1)22xxxxxxxx）（5）)2)(1(1xxx（6）12xx【练习】1. 下列分式中， x取何值时，分式有意义？（1）321xx（2）922xx（

4、3）11xx（4）3xx（5）yxyx2. 下列各式中，不论 x 取何值时都有意义的是（）A 131x B 1212xx C 12242xx D 213xx题型二：分式无意义的条件例 1、当 x取什么值时，分式54122xxx无意义？例 2、当 x取何值时，分式)2)(1(1xxx有意义？当 x取何值时，分式)2)(1(1xxx无意义？【练习】当 x取何值时，下列分式无意义？（1）123x（2）)1)(4(2xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载题型三：分式的值为 0 的条件例 1、当 x取何值时

5、 , 下列分式的值为零93)3(77)2(33122xxxxxx（4）112xx（5）mxmx【练习】1. 若分式11xx的值为零，则 x 得值等于 _ 2. 如果分式392xx的值为 0，那么 x的值为 _ 3. 当 x取何值时，分式) 1)(4(4xxx的值为 0？4. 已知分式5252xx的值为 0，求 x 的值. 题型四：分式值为正、负的条件例 1. 当 x取何值时，分式13xx的值为正？例 2. 当 x取何值时，分式634xx的值为负？【练习】1、使分式1432xx的值为正数的 x的取值范围是 _ 2、若分式231xx的值为负数，则 x得取值范围是 _ 精选学习资料 - - - -

6、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载题型五综合考察例 1. 已知当 x=-2 时，分式axbx无意义，当4x时，此分式的值为零，求ba例 2. 若0123522mmmxx，求代数式mxmx的值. 15.1.2 分式的基本性质15.1.2 分式的基本性质1 分式的基本性质： _ 2. 分式的符号法则： _ 3. 分式的约分： _ 4. 分数的通分： _ 题型一分式的基本性质例 1. 当 d时，等式44dndmnm成立例 2. 下列分式变形错误的是（）A.2abbcabcB.222yxxyxyxxC.mnmnmmD.xxx212133

7、例 3. 若()()xx mnyy mn成立，则,m n的关系是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 4. 分式yxxy中 x 和 y 都扩大到原来的6 倍，那么分式的值（）A.扩大为原来的 6 倍B. 不变C. 缩小为原来的61倍D. 无法确定例 5. 不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数. （1）yxyx3241212 .0；（2）.02.05 .03. 01 .0yxyx【练习】1、写出下列等式中的未知分子或分母. （1）mmnnm3241822；（2）baabb

8、a2；2、若分式2aab中 a，b的值同时扩大到原来的10 倍，则此分式的值（）A 是原来的 20 倍 B 是原来的 10 倍 C 是原来的110 D 不变3、如果把5xxy的 x与y都扩大 10倍，那么这个代数式的值（）A 不变 B 扩大 10 倍 C 扩大 50 倍 D 缩小为原来的1104、若分式mnmn中的 m，n的值同时扩大到原来的2 倍，则此分式的值 （）A 不变 B 是原来的12 C 是原来的 2 倍 D 是原来的 4 倍5、不改变分式的值，把分式235100.40.5xx中的分子、分母的各项系数化为整数，然后选着一个你喜欢的数代入求值精选学习资料 - - - - - - - -

9、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页学习必备欢迎下载222abaab题型二分式符号的变化例 1. 不改变分数的值，使下列各分式的分子和分母中都不含“- ”（1）12a（2）2xx（3）2ba（4）3cab【练习】1. 不改变分式的值，使下列各分式本身的符号位正（1）xyxy（2）32yx（3）23abc（4）2xyxy2. 不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数都是正数. （1）223121xxxx；（2）.1212xx题型三分式的约分例 1. 约分：323642m nm n231227ayxxy22444xxx22233xxyyxy22233xxyyx

10、y例 2. 下列各式中，是最简分式的是（）A.22224nmnmB.32mmn C 211xx D xyxy例 3. 要使式子21236xxxx从左到右变形成立， x 应满足的条件是（）A 2x B 2x C 2x D 2x例 4. 若21x，化简.2211xxxx例 5. 先化简，再求值：1681622xxx，其中 x=3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 6. 已知3,4m求232(1)(3)(2)()(2)(3)mmmmmmmm的值题型四分式的通分例 1. 求下列各式的最简公分母：（1）

11、22223,8,6acbcbabac；（2）.483,122,2222xxxxx例 2. 通分：（1）;34,2142xyyx（2）.1612122mmmm，（3）222,35zxx yx y（4）2211,+2+1xxx（5）11,1x x（6）224,22aaaaa（7）2111,1 2221xxxx题型五分式的综合运用例 1. 函数31xy中，自变量 x 的取值范围是 . 例 2. 若0432cba，求2222232cabacbca的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 3. 若整数 a

12、 使a16为正整数，试求 a 的值. 例 4. 加工一批零件，甲乙两人合作需要a h 完成，甲单独完成需b h，则乙单独完成需多少小时？例 5. 已知, 411ba求abbababa7223的值；例 5. 已知3yx，求222232yxyxyxyx的值. 例 6. 如果分式312xx的值是负数，求x的取值范围 . 例 7. 观察下面一组分式：,81,27,9,3,15432xxxxx则第 10个分式是什么？第n个分式是什么？（ n 为正整数）15.2 分式的运算1. 分式的乘法 : _ 2. 分式的除运算： _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

13、 - -第 9 页，共 23 页学习必备欢迎下载3. 分式的乘方： _ 题型一 分式的乘法例 1. 计算：22338(1)();(2).4629nmxyyzmnyzx z【练习】例 1. 计算：2222314(1);(2).3332xababxxxabab（3）229113xxxx（4）222144421aaaaaa223644(1)42xxxxx（6）2224332aaaa aa题型二 分式的除法例 1. 计算：2223322324(1);(2).243a ba ba caccdcbb例 2. 计算：（1）21111mmm（2）2222().xxyyxyxxy例 3. 化简求值：22221x

14、xyyxxyx，其中2,1xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 4. 求使式子5364xxxx有意义的x的取值范围 . 题型三：分式的乘方例 1. 计算（ 1）2)3(baa； （2）2)2(ab； （3）2342)52(zyx； （4）343)53(yx题型四 分式的乘除混合运算例 1 计算：（1）2221()xyxyxyxyxy（2）222366+510252106aaaaaaaa（3）32232()()()22aabbb（4）22223()()()xyxxyxyxy例 2. 先化简222

15、42(1)42xxxxx，再任选一个你喜欢的数代入求值. 例 3. 已知3,1ax，求代数式2222442232222212xaxaxaxaxaxaxa的值. 例 4.2221412211aaaaaa，其中 a满足20aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载题型四 分式的加减例 1 计算：22()()22(1);(2)xyxymnnnxyxynmmnnm例 2 计算：（1）222576812aba bb ca c（2）22144424mmmm（3）22ababab（4）22142aaa（5）2+32

16、24xxxx（5）222mnmnmnmnmn例 3 已知23(1)(2)12xABCx xxxxx（, ,A B C 是常数） ，求,A B C 的值. 例 4. 计算abcabc所有可能的值题型五 分式的混合运算例 1. 221411(1)(1);(2)()2222xxxyxyxxxxxxyx例 2. 已知22320 xxyy，求2222224239xyxyxxyyxyyxxy的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 3. 先化简，再求值：22222222xxyxxxyyxyxy，其中,x

17、y满足方程组235xyxy. 例 4. 已知22334422,33,44,112233若1010aabb（ ,a b都是正整数） . 求22222222222aa babababababbaabaabb的值. 例 5. 有一道题： “先化简，再求值：22361399xxxxx，其中2011x” ，小亮同学做时把 “2011x”抄错成了“2011x” ，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事. 15.2.3 整数指数幂1. 整数指数幂： _ 2. 科学计数法： _ 题型一 负整数指数幂例 1 计算：231232(1);(2)3a b c；(3)332)2(nm精选学习资料 - - - -

18、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 2 计算：31231(1);a ba bab323221024120(2);1(3)333 ;31(4)15(2004) .2a ba b(5)1-0415(3）（ ）+(-1) 例 3. 已知350 xy，试求 82xy的值. 例 4. 已知112,533mn，求29m n的值. 例 5. 已知3xa，求22xxxxaaaa的值. 例 6. 若03(4)2(48)xx有意义，求x的取值范围 . 例 7. 若20.3a，23b，21()3c，01()3d，则, , ,a b c d的大小

19、关系是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学习必备欢迎下载题型二：科学记数法例 1. 用科学计数法表示下列各数（1）0.0000963； （2）0.000168； （3）-0.00000094 ； （4）-0.00000023 例 2. 用小数表示（1）53.1710； （2）85.62 10； （3）4105； （4）51068.2例 3. 计算：（1）53(4.210)(510);（2）3222(610)(310) .（3）3426)10()102(；（4）)104 .4(102.2119例 4. 计算（1）1

20、122yxyx；（2）22xxxxaaaa例 5. 在某次飞行特技表演中，飞行员需要在空中作一个以1510 ma为半径的圆，飞行的速度为5010m/sb，那么完成这个动作所需的时间为多少？例 6. 一根长1m， 直径为80mm的光纤预制棒，可均匀拉成至少400km长的光纤，试问：21cm 是这种光纤的横截面面积的多少倍（结果保留两位有效数字）？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页学习必备欢迎下载难题总结题型一：整体思想例 1. 已知33xyxy，则11xy的值【练习】1. 若320aa，则3322aaaa的值是 _

21、 2. 已知, 311ba求babababa2232的值3. 已知1ab，求11bbaa的值4. 已知11mm，求1222mm的值题型二：完全平方公式变形例 2 已知15,aa求221aa的值【练习】1. 若13aa，求（ 1）22aa； （2）44aa的值2. 已知2310aa，求(1)221aa的值;(2)44aa3. 已知2310 xx，求84431xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页学习必备欢迎下载题型三：巧设 k 值例 3. 已知abckbcacab，求k的值【练习】1. 已知432zyx，求xzy

22、zxyzyx3232222的值2. 已知3:2: yx，求yxyxyxyx7665432的值3. 已知xyzabbcca（, ,a b c互不相等），求 xyz的值4. 已知(0)xyxzyzxyzzyx，求xyzxyz的值题型四：倒数、裂项变形例 1. 已知三个数zyx,，满足43,43,2xzzxzyyzyxxy，则zxyzxyxyz的值【练习】1. 已知, ,a b c为实数，且13abab，14bcbc，15acac，求abcabbcac题型五：消元法化简分式例 4. 已知230,3260,0abcabcabc，求333222223abca bb cac的值【练习】精选学习资料 - -

23、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页学习必备欢迎下载1. 若0623,0zyxzyx，且0 xyz。求2222222zyxzyx的值15.3 分式方程1. 分式方程基础概念： _ 2. 解分式方程的基本步骤：_ 注意点： _ 3. 出现“无解”的原因：_ 出现“增根”的原因：_ 考点一：识别分式方程例 1、下列关于 x的方程中，是分式方程的是（）A.6131223xxB.xxxxx41212C.0312xxD.xbaax（a，b 为非零实数）【练习】下列分式是分式方程的有（）yx11；6311xx；611yx；.132yxA.1 个B

24、.2 个C.3 个D.4 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页学习必备欢迎下载考点二：解分式方程：题型一：解分式方程例 1. 解下列分式方程（1）572xx（2）512552xxx（3）222273711xxxxxx【练习】（1）1122xxx（2）223124xxx（3）2133193xxx（4）21221933xxx（5）2532112xxx（5）2227361xxxxx题型二：无解例 1. 若关于 x的方程322133xmxxx无解，求 m的值【练习】1. 若关于 x的分式方程2233mxx无解，求常数 m

25、的值2. 若关于 x的分式方程111xmxxxx无解，求 m的值3. 关于 x的方程131xxax无解，则 a 的值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页学习必备欢迎下载题型三：增根例 1. 若关于 x的方程2222xmxx有增根，则 m的值是 _ 【练习】1. 当a为何值时，方程233xaxx会产生增根？2. m为何值时，关于 x的方程223242mxxxx会产生增根？3. 已知方程21242kxx有增根，求k的值4. 当 m为何值时，去分式解方程xmxxx2516314会产生增根？5. 已知关于 x 的方程)

26、1(163xxmxxx有增根，求 m的值？6. 若解关于 x 的分式方程234222xxmxx会产生增根，求 m 的值题型四：求分式方程中字母取值范围例 1. 当 a取何值时，关于 x的方程123(2)(3)xxxaxxxx的解为负数？【练习】1. 当m为何值时，关于 x的方程(2)3(1)11m xmx有负数解？2. 已知关于 x的分式方程211ax的解是非正数，则 a的取值范围是 _ 3. 已知关于 x 的方程323xmxx解为正数，求 m的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页学习必备欢迎下载4. 已知

27、关于 x 的分式方程22124xmxx的解也是不等式组1222(3)8xxxx的解，求 m 的取值范围题型五：特殊分式方程的解题技巧例 1. 解方程：1111.(1)(1)(2)(21)28x xxxxx例 2. 解关于 x的分式方程：1(1)abbxa题型六分式方程的实际应用（1）工程问题例 1 （2011?泰安）某工厂的甲车间承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了 900 个零件后，由于任务紧急， 要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12 天完成任务已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5 倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？例 2 玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙

28、两个装饰公司合作，需6 周完成，共需装修费为 5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成， 共需装修费 4.8 万元玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 3 （2010?通化）某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2 倍；甲、乙两队合作完成工程需要20 天；甲队每天的工

29、作费用为1000元，乙队每天的工作费用为 550 元根据以上信息， 从节约资金的角度考虑， 公司应选择哪个工程队？应付工程队费用多少元？（2）路程问题例 4 （2011?徐州）徐州至上海的铁路里程为650km从徐州乘“ C”字头列车A， “D”字头列车 B 都可到达上海，已知A 车的平均速度为 B 车的 2 倍，且行驶时间比 B 车少 2.5 h（1）设 A 车的平均速度是 x km/ h，根据题意，可列分式方程：（2）求 A 车的平均速度及行驶时间例 5 （2011?珠海）八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，走了40 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达

30、若汽车的速度是骑自行车同学速度的3 倍，求骑自行车同学的速度？例 6 （2012?十堰）一辆汽车开往距离出发地180 千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶 60 千米后，再以原来速度的1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前40 分钟到达目的地，求原计划的行驶速度（3）利润问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学习必备欢迎下载例 7 （2011?莱芜）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200 吨，计划采用批发和零售两种方式销售经市场调查，批发每天售出6 吨（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务

31、在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2 吨，结果提前5天完成销售任务那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（ 1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000 元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润例 8 （2011?来宾）某商店第一次用3000 元购进某款书包，很快卖完，第二次又用 2400 元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2 倍，数量比第一次少了 20 个（1）求第一次每个书包的进价是多少元？（2）若第二次进货后按80 元/ 个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于 480 元，问最低可打几折？例 9 （2011?河池）大众服装店今年4 月用 4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完， 服装店于 5 月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20 元，结果第二批衬衣进货用了5000元（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120 元/ 件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页